物理学中的分形

内容概要

刘式达，北京大学物理学院教授。长期从事物理学中的分形研究和大气动力学研究。在我社出版专著多部，较有广泛影响力。

书籍目录

第一章物理学中的分形现象

1.1相变和临界指数

1.2湍流涡旋

1.3逾渗（渗流）

1.41/f噪声

1.5雪花形成及生长现象

1.6地震

1.7气候

1.8异常扩散！

小结

第二章分数维的物理意义

2.1多尺度系统的标记

2.2临界现象和奇异性的特征

2.3间歇（间隙）性的表现

2.4级联过程和自我复制

2.5分形层次结构

2.6处处不可微

2.7记忆性

小结

第三章标度变换和迭代函数方程

3.1标（尺）度变换

3.2演化方程的标度变换

3.3物理学中的幂律函数

3.4与标度有关的函数方程

3.5迭代函数方程

3.6迭代变换的非线性物理

3.7尺度的"伽利略变换"和"洛伦兹变换"

3.8复杂结构的涌现

小结

第四章重正化群变换

4.1重正化群变换的实质

4.2一维重正化群变换逾渗模型

4.3二维重正化群逾渗模型

4.4一维伊辛模型的重正化群

4.5简单生长过程的重正化群

4.6相变和分岔

4.7相变和突变

4.8突变和重正化群

小结

第五章从布朗运动到列维运动

5.1布朗运动的概率密度分布

5.2布朗运动下的扩散方程和自相关函数

5.3自相似的随机过程

5.4分数维布朗运动

5.5方差、自相关函数、功率谱等标度指数的关系

5.6列维运动

5.7列维分布图像及应用

5.8广义列维分布

小结

第六章小波（子波）变换

6.1傅里叶变换和小波变换描述自然界的异同

6.2小波变换的标度不变性

6.3常用的小波及卷积的含义

6.4小波变换检出处信号的突变性

6.5哈尔标度函数

6.6随机函数的哈尔标度函数表示

6.7哈尔标度函数表示分形

6.8二维哈尔标度函数

6.9小波变换的最大值

小结

第七章多重分形

7.1多重分形的来源及其描述方法

7.2两尺度康托尔集合的配分函数

7.3多重分形的物理意义

7.4人口分布的多分维过程

7.5均匀和不均匀的τ（q）

7.6求τ（q），α（q）和f（α）的较好方法

7.7二维面包师映射的多分维！

7.8三标度的多重分形！

7.9分层电阻网络和增长模型的多重分形！

7.10混沌动力系统的多重分形！

小结

第八章混沌、湍流与分形

8.1费根鲍姆常数和两尺度康托尔集

8.2圆映射和标度律

8.3湍流及其统计描述

8.4对数正态分布和列维分布

8.5均匀各向同性湍流的科尔莫戈罗夫模型

8.6间歇湍流的β模型

8.7佘湍流模型

8.8对数正态模型

小结

第九章时间序列的分形

9.1相空间和相轨迹

9.2重构相空间的原因

9.3塔肯斯定理

9.4混沌和噪声

9.5延迟时间和时间序列长度

9.6李雅普诺夫特征指数和科尔莫戈罗夫熵

9.7经验模态分解

9.8长记忆性的时间序列

9.9去趋势涨落分析

小结

第十章自组织、自相似和结构

10.1动力系统

10.2反应扩散系统中的斑图

10.3临界性和自组织临界性

10.4沙堆模型

10.5与斐波那契数有关的自相似螺旋结构

10.6由伸长、折叠、扭转而形成的多层次结构

10.7可激发系统的行波结构和孤波宽谱结构

10.8分形结构出现的原因

10.9熵和结构

小结

第十一章分数阶导数的物理来源及定义

11.1分数阶导数的物理来源

11.2常数的分数阶导数不为零，分数阶导数为零的函数是幂函数

11.3将整数阶导数扩展到分数阶导数的定义

11.4分数阶导数的傅里叶和拉普拉斯变换

11.5和分数阶导数有关的几个新的函数

11.6从分数阶导数看记忆性

11.7分数阶微分方程

11.8分数阶积分和导数的标度不变性

小结

第十二章分数阶动力学

12.1湍流速度场的分数阶导数

12.2分数阶布朗运动的朗之万方程的解

12.3等时降速的轨迹问题

12.4分数阶摩擦力和调和振荡

12.5分数阶弛豫过程

12.6分数维电学

12.7分形介质的流体力学方程组

12.8异常扩散方程

小结

参考文献

索引

作者简介

《物理学中的分形》首先介绍了物理学中的分形现象，如连续相变、逾渗、随机游动、 噪声、生长现象、异常扩散、湍流、气候等，进而引出标度对称性这一重要概念。之后，本书介绍了分数维的物理含义，如临界奇异性、间隙性、串级过程、层次结构等，特别是近代物理学所关注的记忆性。接下来，本书讲解了涉及分形的一些数理基础和概念，如标度变换、重整化变换、函数方程、自相似随机过程、小波变换、多重分形等。本书也介绍了分形在混沌、湍流、时间序列，自组织及自组织临界现象等问题中的研究进展。最后，本书还讲述了分数阶微积分及分数阶动力学。它们是非线性分形物理学的最新研究成果。

《物理学中的分形》涵盖了作者近二十多年来的研究成果，力求将分形概念物理化，并用直观和相对简单的方法去说明有关分形的概念，使读者能从应用数学的范畴去了解新的物理问题，以便应用于物理学的各个分支领域。

本书可作为理工科大学本科生、研究生的教材和参考书，也可供理工科大学教师和有关科研人员阅读参考。

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