《逻辑与演绎科学方法论导论》章节试读

《逻辑与演绎科学方法论导论》的笔记-第126页 - 第五章 关系的理论

* “关系”是包含两个自由变项的语句函项的普遍形式
在类的理论中，我们看到每个包含一个自由变项的语句函项都对应一个确定的类。“关系”也有类似的性质。比如，
x + y = 0
这个语句函项定义了x和y具有正负符号相反的关系。因此，与类相似，我们把公式
xRy
看作是包含了两个自由变项的语句函项的普遍形式。
* 关系的积有两种，绝对积和相对积
两个关系R、S的绝对积表示为
R∩S
表示两个事物之间有R关系，也有S关系。还有一种相对积运算，
R/S
x与y之间有关系R/S，当且仅当有一个z，使得
xRz，而且zSy
相对积不是大家很熟悉的运算，这个举个例子，比如R是父女关系，S是夫妻关系，那么R/S就是女婿关系了。
* 一多关系
一多关系的定义是，如果对于任何事物y，之多有一个事物x，使得xRy，那么R就是“一多关系”，或者“函项关系”，或简称为“函项”。它的后继也叫做“主目值”，前趋也叫做“函项值”。一多关系就是数学中的“函数”，主目值是自变量，函项值是函数值。因此，函项通常也记作：
x = R(y)
* “函项”和“语句函项”、“指示函项”的关系
“语句函项”、“指示函项”严格来说并不是逻辑或者数学的概念，它们只是一种表达知识的方式。而“函项”是逻辑与数学研究的重要对象。它们之间是有本质不同的。

《逻辑与演绎科学方法论导论》的笔记-第92页 - 第四章 类的理论

* 只含有一个自由变项的语句函项的关系
首先，有这样一个语句函项，
x > 0
如果在它前面加上一个短语，
（A） 这个由所有的x构成的集合，使得，x > 0
如果用P表示这个集合，那么“x > 0”将和
x ∈ P
是等值的。因此，可以把“x ∈ P”看作是只含有一个自由变项的语句函项的最普遍的形式。前面的语句(A)也可以用符号来表示。接下来，可以构建下面的表达式很明显，这个表达式是个（真）语句。因此它是不能包含任何自由变项的。尽管它不包含任何量词，但是在一定意义上起到了量词的作用，能够约束变项，因此，它是一种运算子。

《逻辑与演绎科学方法论导论》的笔记-第48页 - 第二章 论语句的演算

第二章* 形式蕴函与实质蕴函
蕴函只有在“条件真，结果假”的情况下才是假的，因此会出现下面的一些句子：
如果木头是金属，那么木头具有延展性。
如果粘土是金属，那么粘土具有延展性。
如果2*2=4，那么北京是个大城市。
这些句子从逻辑学的角度上讲，都是“真”。但是，很明显，第二句不那么顺口，通常会说“即使粘土不是金属，粘土也有延展性。”第三句就根本是前言不搭后语（但是“2*2＝4”和“北京是个大城市”都为真，所以这句话也为真）。由于这些句子的存在，导致逻辑学上的“蕴函”和日常语言中的“蕴函”并不完全相同。日常语言中的蕴函的特征是前件与后件要有形式上的联系。因此，日常语言中的蕴函称为“形式蕴函”，而逻辑学中的蕴函称为“实质蕴函”。很明显，一个形式蕴函必然也是实质蕴函，但是一个实质蕴函并不一定是形式蕴函。尽管很少见，但是日常语言中也会刻意使用一些非形式蕴函，比如
如果你明天能按时到，我就吃了我的帽子。
显然，这句话的后件为假（我不可能吃帽子），因此若想这句话为真，前件必须为假，所以“你”明天不能按时到。另外，句子中的前件和后件没有任何形式上的关系，因此它是实质蕴函。
* 语句演算定律
这段比较无聊，介绍了一系列的定律，比如加法简化定律，假言三段论定律，矛盾律，排中律，重言定律，结合律等等。其中一个比较有意思的是逆反定律（又叫易位定律）。假设有一个蕴函式（称为原语句），分别对应一个逆语句、反语句、逆反语句。这四个语句共称为“共轭语句”。逆反定律是指，原语句和逆反语句等价，逆语句与反语句等价。既
原语句 <-> 逆反语句
逆语句 <-> 反语句语句演算定律非常基础，在任何科学领域，几乎所有的推理都直接或间接地基于语句演算定律。
* 代入规则与分离规则
这里的“规则”并不是“逻辑定律”，只是一些指南，告诉我们如何将一个已经为真的语句，转变为另一个为真的语句。
代入规则：一个为真的全称语句包含语句变项，如果这些变项被其他语句变项、语句函项或者语句代替，所得的新语句应该也为真。
分离规则：如果有两个语句都为真，其中一个是蕴函式，另一个是蕴函的前件，那么，蕴函式的后件也为真。

《逻辑与演绎科学方法论导论》的笔记-第71页 - 第三章 同一理论

感觉这个同一理论的基础——莱布尼兹定律，就是用很不严谨的语言说了一件非常严肃的事情。。。
* 数的量词（基于同一概念）
“至少有一个”： 等同于存在量词，即删除“至少”两个字并不影响语义。
“至多有一个”： 对于任意x和y，如果x满足条件，而且如果y满足条件，那么x=y。
“恰恰有一个”： “至少有一个”，而且“至多有一个”。
“至少有两个”： 存在x和y，x和y都满足条件，而且x≠y。

《逻辑与演绎科学方法论导论》的笔记-第16页 - 第一章 论变项的用法

论变项的用法
变项与常项是组成语言的两种基本元素。常项是像“一”，“加法”，“自然数”这样具有明确含义的事物，而变项则相反，它没有确定的含义，比如，方程中的未知数、数学函数中的变量、编程语言中的变量等等，在逻辑学中都是“变项”。常项组成的句子是有明确含义的，比如
1是整数
而变项组成的句子不能判定其真假，比如
x是整数
* 关于自由变项与约束变项
自由变项（真变项）是决定一个表达式是语句函项还是语句的决定因素。既只有这些变项被常项替换后，才能使表达式由语句函项转变成语句。其余的变项则为约束变项（假变项）。比如，在语句函项
有一个数z，使得x＝y＋z
中，z是约束变项，x和y则是自由变项。从它们的名称中也可以看出，z是被“有一个数”这个存在量词所约束着，也就不是真正的变项，因此是“约束”变项，“假”变项。
* 变项在数学中的应用
变项简化了数学定理的表述，它的发明是数学的转折点，为人类提供了强大的工具，为数学及其逻辑基础的巩固铺平了道路。

《逻辑与演绎科学方法论导论》的笔记-第161页 - 第六章 论演绎方法

* 演绎理论
演绎科学方法论研究的对象是，在构造逻辑和数学时所用的基本原则。
构造一门学科时，首先要定义一些“基本词项（不定义词项）”，我们使用它们，但是不解释它们的含义。与基本词项相对的是“被定义词项”。
除了词项外，还需要一些“公理（基本命题）”，我们认为它们是真的，而不去建立它们的正确性。与公理相对的是“定理（被证明的命题）”。根据公理及已有的定理，建立新定理的过程称为“推导（演绎）”。
严格遵守上述原则和过程来构造学科的方法称为“演绎方法”。用演绎方法构造出来的学科称为“演绎理论”。如果把基本词项与推导过程也严格地进行定义，那么这样的理论称为“形式化的演绎理论”。
* 一种演绎理论的模型和解释
在此分析一个简单的演绎理论，它研究了线段的一些特征。它包括
- 基本词项：
1. “S”：所有线段的集合
2. “≌”：线段的全等关系
3. “x，y，z...”：表示线段
- 公理：
I：对于集合S中的任一元素x，xx。
II：对于集合S中的任意元素x，y，z，如果x≌z，那么x≌y。
-定理：
I：对于集合S中的任意元素y、z，如果y≌z，那么z≌y。
II：对于集合S中的任意元素x、y、z，如果x≌z，那么x≌z。
（公理证明略）
如果把S抽象我为某种类K，≌抽象为某种关系R，那么上述公理I，定理I，定理II分别表述了关系R在类K中是自反、对称、传递的。而公理II则表述了一种没有名字的性质（姑且将它命名为P）：

对于K中的任意元素x，y，z，如果xRz，而且yRz，那么xRy。
这样，就可以用关系理论的定律来重写定理I和定理II了：
I‘：每一种在类K中自反且具有性质P的关系R在K中是对称的。
II’：每一种在类K中自反且具有性质P的关系R在K中是传递的。
如果一种关系R在类K中是自反的，而且具有性质P，我们说K与R形成了理论的公里系统的一种“模型”或一种“实现”。
我们可以为这个公理系统在逻辑或者数学领域找到不同的模型，下面是来在于代数领域的一种模型：
- 基本词项：
1. “N”：整个数的集合
2. “≡”：两个数的差为整数，即3.5≡5.5，而3≡5.5则不成立。
有了这两项词项后，可以很容易地将它们代入到原来的公理、定理中。
* 证明某些语句不能从公理系统中推出
还以前面关于线段的公理系统为例，下面语句是否成立？
集合S中存在两个元素x与y，而x≌y不成立（即存在两个线段不全等）。
这句话看上去显然为真，但是无法用公理I和公理II来证明。如果该语句能在公理系统的基础上加以证明，则这个系统的每一个模型都应该满足这个语句。所以如果能够找个这个公理系统的某一个模型不满足该语句，就能表明该语句不能由公理I和公理II推出。找出这样的模型并不能难，只要对前面的第二个模型中的基本词项N的含义做修改就行了，
“N”：所有整数的集合
那么这个模型很明显是不满足前面的语句的。
* 公理与基本词项的选择
- 公理与基本词项的选择有很大的自由性
- 选择过程不完全基于理论，同时也受到实践、教学、美学方面的影响
- 公理与基本词项应尽量保持独立性，但是并不强制
* 演绎理论的矛盾性、完整性与判定问题
如果一个演绎理论是“无矛盾的”，是指在该理论中，没有任何语句即能被证真，又能被证否。如果一个演绎系统是“完全的”，是指在该理论中，任何语句都能被证真或者被证否。
“判定问题”和完全性或者不完全性密切相关，对于给定的演绎理论，找出一个一般的方法，使我们能够判定这一理论的词项所构成的任一语句能否在这一理论中加以证明。