数值分析

章节摘录

　　§0.1研究数值分析的必要性　　数值分析是研究用计算机解决数学问题的数值计算方法及有关理论。　　一般的，用计算机进行科学与工程计算时要经历如下过程：　　实际问题=>数学建模=>提出数值问题=>设计实用的数值计算方法=>软件实现=>程序的执行=>结果的分析验证及可视化。　　可见，数值分析是科学与工程计算过程中必不可少的环节。它以纯数学为基础，但不只研究数学本身的理论，而着重研究解决问题的数值方法及效果，如怎样使计算速度最快、存储量最少等问题，以及数值方法的收敛性、稳定性、误差分析。虽然有些方法在理论上还不够完善与严密，但通过对比分析、实际计算和实践检验等手段，被证明是行之有效的方法，也可采用。因此，数值分析这门课程既带有纯数学高度抽象性和严密科学性的特点，又具有应用的广泛性和实际试验的高度技术性特点，是一门与计算机密切相连的实用性很强的计算数学课程。　　例如，用cramer法则解一个n阶线性代数方程组需要计算n+1个n阶行列式。不计加减运算，求解总共需要n！（n+1）+n次乘除法。当n很大时，这个计算量是相当惊人的。比如解一个不算太大的20阶线性方程组，大约要做9。7×1020。次乘除法，显然，这样的方法是毫无实用意义的。然而，如果采用数值分析中介绍的任何一种解线性方程组的数值方法，比如Gauss消元法，乘除法次数不超过3 000次，即使在微型计算机上，也只需几秒钟时间就能很容易地完成。这个例子说明了研究实用的数值方法是非常有必要的。而数值分析研究的正是在计算效率上最佳的或近似最佳的方法。而不是像Gramer法则这样的方法。评价一个算法的优劣主要有两个标准：计算结果的精度和得到这个精度结果需要付出的代价。　　§0.2　误差概念　　对数学问题进行数值求解，求得的结果一般都包含有误差。即数值计算绝大多数情况是近似计算，因此，误差分析和估计是数值计算过程中的重要内容，由它们可以确切地知道误差的性态和误差的界。

前言

　　随着科学技术的发展，科学与工程计算愈来愈显示出其重要性，与实验、理论三足鼎立，成为科学实践的三大手段之一，其应用范围渗透到所有的科学活动领域。作为科学与工程计算的数学工具，“数值分析”从20世纪80年代起，就逐渐成为各高等院校工科硕士研究生学位公共必修课。　　本教材考虑到工科各专业对数值分析的实际需要，重点突出学以致用的原则，着重介绍在计算机上常用的数值计算方法的构造和使用，同时对数值计算方法的计算效果、稳定性、收敛性、误差分析、适用范围及优缺点也作了必要的分析与介绍。教材中每章都配有难易程度不等的习题，有些习题必须通过上机实践来完成。这样，能让学生通过习题来消化课堂内容，结合实验课中上机实习的要求，可使学生对所学数值方法有更深刻确切的理解。　　由于编者水平所限，教材中难免有不妥之处，恳请读者指正，以便今后做进一步的修改。

书籍目录

绪论§0．1 研究数值分析的必要性§0．2 误差概念§0．3 数值计算中应注意的若干问题习题零第一章 线性代数方程组数值解法§1．1 向量范数、矩阵范数和连续函数的范数§1．2 Gauss消元法§1．3 三角分解法§1．4 方程组的性态、条件数§1．5 线性方程组的迭代解法§1．6 梯度法习题第二章 非线性方程和方程组的数值解法§2．1 基本问题§2．2 迭代法§2．3 单点迭代法§2．4 多点迭代法§2．5 重根上的迭代法§2．6 迭代加速收敛的方法§2．7 拟Newton法习题二第三章 插值和拟合§3．1 多项式插值§3．2 样条插值§3．3 有理逼近§3．4 最佳平方逼近§3．5 周期函数逼近与快速Fourier变换习题三第四章 数值积分与微分§4．1 数值积分的一般问题§4．2 等距节点的Newton-Cotes公式§4．3 Romberg积分法§4．4 Gauss求积公式§4．5 带权函数的Gauss型求积公式§4．6 振荡函数的求积公式§4．7 自动变步长Simpson方法和自适应Simpson方法§4．8 数值微分法习题四第五章 矩阵特征值和特征向量的计算§5．1 乘幂法与反幂法§5．2 Jacobi方法§5．3 Householder方法§5．4 QR算法习题五第六章 常微分方程数值解法§6．1 初值问题数值解法的一般概念§6．2 单步法的局部截断误差和阶§6．3 Runge-Kutta法§6．4 单步法的收敛性与稳定性§6．5 线性多步法§6．6 预测一校正方法§6．7 高阶方程和方程组§6．8 Stiff方程简介习题六参考文献

作者简介

《数值分析》结合作者多年的教学经验编写而成。书中详细介绍了数值分析的基本理论，强调其思想方法的灵活应用，提供大量的典型例题，理论完整，内容丰富，具有广泛的实际意义。《数值分析》每章内容都分为八章。前六章是数值分析的基本内容；后两章是作者的科研总结。 《数值分析》是为工科院校本科生高年级和研究生编写的公共课教材。内容主要包括非线性方程和方程组的数值解法；线性代数方程组数值解法；插值方法和数值逼近；数值积分；矩阵特征值和特征向量的计算；常微分方程数值解法；小波分析在工程中的应用；再生核空间中的数值分析。《数值分析》还配有学习指导书，便于学生加深理解。

图书封面

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