数论基础

章节摘录

版权页：   插图：   只有唯一解，所以除了一个t外，剩下的P一1个t（modp）均使（17）式成立。所以我们可以用g或g+P去试算，看其是否为p2的原根，因为两者必有一个是P2的原根。下面来证明这样的g+top是所有的Pα（α1≥1）的原根。从（16）式容易看出，这样的t0一定满足下面的α—1个式子， （g+top）p—1≠1（mod p2），所以为P2的原根， （g+top）P（P—1）≠1（modp3），所以为P3的原根， （g+top）p—2（p一1）≠1（mod pα），所以为pα的原根。 引理证毕。 引理4设α≥1，若g为Pα（p>2）的原根，则g和g+Pα中为奇数者是2pα的原根。 证因为g和g+Pα均为Pα的原根，所以不妨假设g为奇数，（g，2pα）=1.设g对2pα的次数为d，所以d｜ψ（2pα）=ψ（pα），但另一方面从gd≡1（mod 2pα）推出gd≡1（modpα），所以ψ（pα）｜d。因此必有d=ψ（pα）=ψ（2pα），亦即g为2pα的原根，证毕。 由上面几个引理立即得到下面的定理。 定理11当n=2，4，Pα，2pα（P>2）时，必有原根存在。 定理12若模n有原根存在，则对模n次数为d的数的个数为ψ（d），特别地，对模n有ψ（ψ（n））个原根。 证因为g为模n的原根，所以 g0，g1，…，gψ（n）—1 为模n的一个简化系，我们要在这ψ（n）个数中去找出次数为d的数，即在gλ，0≤λ≤ψ（n）—1中找出有多少个入，使得gλ的次数为d，由定理5，得到 δn（gλ）=δn（g）／（δn（g），λ）=ψ（n）／（ψ（n），λ）。所以δn（gλ）=d的数的个数，即为当0≤λ≤ψ（n）—1且满足 （ψ（n），λ）=ψ（n）／d （19） 的λ的个数，由（19）式看出入必有形式λ=（ψ（n）／d）k，0≤k≤d—1，因此k必须满足（d，k）=1，0≤k≤d—1，由此推出k的个数为ψ（d）个，亦即λ有ψ（d）个，定理得证。

内容概要

潘承洞（1934—1997），数学家、教育家，中国科学院院士，曾任山东大学校长，在哥德巴赫猜想等著名数论难题研究中取得卓越成就，著有《哥德巴赫猜想》和《解析数论基础》等专著（与胞弟潘承彪合作）。本书原稿是潘承洞先生生前所写的一本讲义。

书籍目录

第一章 整数的可除性

1 整除，带余数除法

2 最大公约数，最小公倍数

3 辗转相除法

4 一次不定方程

5 函数[x]{x}

习题

第二章 数论函数

1 数论函数举例

2 Dirichlet乘积

3 可乘函数

4 阶的估计

5 广义Dirichlet乘积

习题

第三章 素数分布的一些初等结果

1 函数π（x）

2 Chebyshev定理

3 函数w（n）与Ω（n）

4 Bertrand假设

5 函数M（x）

6 函数L（x）

习题

第四章 同余

1 概念及基本性质

2 剩余类及剩余系

3 同余方程的一般概念，一次同余方程

4 孙子定理

5 多项式的（恒等）同余

6 模p的高次同余方程

习题

第五章 二次剩余与Gauss互反律

1 二次剩余

2 Legendre符号

3 Jacobi符号

习题

第六章 指数、原根和指标

1 指数和原根

2原根存在定理

3模Pα（P≥2）简化系的改造

4指标与指标组

5二项同余方程

习题

第七章 Dirichlet特征

1模为素数幂的特征的定义及其性质

2任意模的特征的定义及其性质

3特征和

校后记

编辑推荐

《数论基础》可供数学及相关专业的本科生、研究生和教师使用参考，也可供对数论感兴趣的数学爱好者阅读。

作者简介

《数论基础》秉承了潘先生著作的一贯风格，内容由浅入深、循序渐进，既精选紧凑，又全面深刻，同时附有大量的习题。《数论基础》内容独具一格，富有启发性，能够引导读者迅速进入数论的核心领域，了解数论最基本的思想和方法。书中定理和结论的证明简洁明快，既注重数论的技巧之美，又清晰地勾勒出数论方法的系统性。全书共分七章，内容包括：整数的可除性，数论函数，素数分布的一些初等结果，同余，二次剩余与Gauss互反律，指数、原根和指标，Difichlet特征等。

图书封面

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