数学分析原理（第一卷）

章节摘录

版权页：   插图：   1.微积分前史 217.17世纪与无穷小分析 这是一个由中世纪过渡到新时代的时期，资本主义开始发展，而它在其与封建制度的斗争中代表了进步的力量。精确科学由当时的生活得到了迅速发展的动力。航海学引起了对天文学及光学的高度兴趣，造船学、堤坝及运河的建修、机器制造和建筑、弹道学问题及一般的军事方面的问题等，促进了力学的发展，而天文学、光学、力学以及，直接地，工业技术本身，又要求对当时的数学作彻底的革新。 这种革新的标志是变量的引入，恩格斯很恰当地称它为“数学中的转折点”（参看14段中所引证）。只有变量的数学才能适应数理自然科学的需要。新的问题导向新的“无穷小”量研究法（或“无限小”方法）的建立。接近该世纪之末，成为一门独立的学科的数学分析，也就因此而得到“无穷小分析”的名称，至今都还沿用。 起初在这领域内大半可以说是“手工业生产”。建立每种个别的事实都要研究者采取特殊办法。但情况随着时间渐渐改变了。终于出现了一般的方法来解同类型的问题，建立了各类问题间的联系。逐渐阐明了作为这些问题求解的基础的一般概念，而所有这些乃辉煌地在牛顿和莱布尼茨手中由微积分学的创立所完成。 在第一节里我们来综述一下，在五十来年时间内给这项发明作了准备的，至少是两代数学家的成就。

内容概要

作者序言

《数学分析原理》是作为大学数学系一二年级学生的分析教科书而编写的; 因此也就把书分成两卷. 在编写本书时, 广泛地采用了我的三卷本《微积分学教程》的材料; 但为了要使本书接近于正式的数学分析教学大纲与讲课的实际可能性, 我已把这三卷中包含的材料加以精简与修改.

我给自己定下的任务是这样的:

1. 我认为在数学分析原理中主要的一个任务是要做到叙述上的系统性与在可能范围内的严格性. 为了使给予学生的知识有一定的系统, 我认为对于教科书来说,材料的叙述有必要按照逻辑的顺序.

虽然如此, 但教本这样的编排仍然使讲课者在个别的地方——从教学法着眼——有可能放弃严格的系统性(也许, 甚至使他更容易获得这种可能). 例如, 我自己在讲课中通常把那种对于初学者困难的东西, 如实数理论、收敛性原理或者连续函数的性质都稍稍延后.

2. 同时, 数学分析教程对于学生来说, 不应该只是一连串的"定义" 与"定理",而应该是行动的指南. 必须教会学生把这些定理应用到实际中去, 帮助他们掌握分析的计算工具. 虽然这个任务大部分是落到分析的习题课上, 可是随着理论材料的叙述, 我也按照需要采用了一些例题; 例题为数虽不多, 但却是为了培养学生能自觉地做习题而选择的.

3. 大家知道, 数学分析无论在数学本身方面或在相近的知识领域方面都有着何等奇妙的与多种多样的应用; 学生以后将会时常碰到它们. 可是关于数学分析与其他数学分支, 以及与实际需要相联系的这种思想, 在研究分析原理时就应该为学生所通晓. 正因为如此, 所以一有可能, 我就引进了分析在几何上、在力学上以及在物理上与工程上的应用的例题.

4. 关于把分析计算一直算到求出数字的结果的问题, 在原则上与实用上有着同样的重要性. 因为只有在最简单的情况下, 分析上的问题才有"准确的" 解或"有限形式的" 解, 所以使学生熟悉近似方法的运用与学会作出近似公式都有其重要性. 在本书中也注意到了这一点.

5. 关于叙述本身方面, 我想作少许说明. 首先要提到的是极限概念, 它在分析的基本概念中占有主要的地位, 并且以各种形式出现而贯穿全部教程. 这种情况向我们提出了一项任务, 那就是要建立各种形式的极限的统一概念. 这不仅在原则上是重要的, 而且在实际上也是必需的, 为的是避免时常要重新建立极限的理论. 要达到这个目的, 有两条途径: 或者一开始就给出"有序变量" 的最一般的极限定义(例如, 照沙都诺夫斯基与摩尔—史密斯那样去做), 或者把各种极限归结为最简单的情形——在编号数列上变化着的变量的极限. 第一种观点对初学者是不易理解的, 所以我采用了第二种观点: 每一种新形式的极限定义首先都用序列的极限给出, 然后才用"epsilon-delta语言" 给出.

6. 还要指出叙述上的一个细节: 在第二卷中, 讲到曲线积分与曲面积分时, 我提出了"第一型" 的曲线积分与曲面积分(恰好与沿无定向的区域的普通积分及二重积分相似) 和"第二型" 的这些积分(其中相似之处已经局部地失去了) 之间的区别.根据多次的经验, 我深信这样的区分有助于更好地理解, 并且也便于应用.

7. 在对教学大纲所作的为数不多的补充中, 我把椭圆积分(这是在实际上常遇到的) 简要介绍到书内, 并且有些时候提出了一些恰好要引用椭圆积分的问题. 使得那种由于解答一些简单问题养成的有害错觉——仿佛认为分析计算的一些结果一定是"初等式子", 从此消灭!

8. 在本书中各个地方, 读者可找到带有数学史性质的说明. 并且第一卷是以"数学分析基本观念发展简史" 结尾的, 而在第二卷末载出了"数学分析进一步发展概况". 当然, 这一切绝不是用来代替学生以后在一般的"数学史" 教程中所要熟悉的数学分析的历史. 如果在上面提到的前一概述中涉及概念本身的来源, 那么带有历史意义的说明就在于使读者至少了解分析学历史中最重要的事件在年代上一般的次序.

我现在要把和刚才所说的密切有关的事直接告诉读者——学生. 那就是, 书中叙述的次序是按照现代对于数学的严格性的要求安排的, 这种要求是在长时间内形成起来的, 因此, 叙述的次序自然和数学分析在历史上的发展所经过的道路有所不同. 如马克思所说: "......正如一切科学的历史进程一样, 在摸到它们的真正出发点之前, 总先走过许多弯路. 科学不同于其他建筑师, 它不只画出空中楼阁, 而且在它打下地基之前, 先造出房屋的各层."

读者一开始研究分析学时就会遇到与此类似的情况: 本书第一章讲述"实数",第三章讲述"极限论", 从第五章起才开始微分学与积分学的系统的叙述.

在历史上的次序恰恰是与此相反的: 微分学与积分学起源于17 世纪, 而在18世纪发现了很多重要的应用, 有了进一步的发展; 在19世纪初, 极限论才成为数学分析的基础, 至于用来论证最精密的极限论原理的实数理论, 它的明晰概念一直到19世纪后半期才建立起来.

这部书总结了我在列宁格勒大学教数学分析的多年经验. 希望它对苏联青年将会是有用的.

G. M. 菲赫金哥尔茨

书籍目录

《数学分析原理(第一卷)(第9版)》

《俄罗斯数学教材选译》序

序言

第一章实数 1

x1. 实数集合及其有序化 1

1. 前言 1

2. 无理数定义 2

3. 实数集合的有序化 4

4. 实数的无尽十进小数的表示法 5

5. 实数集合的连续性 7

6. 数集合的界 8

x2. 实数的四则运算 10

7. 实数的和的定义及其性质 10

8. 对称数 绝对值 11

9. 实数的积的定义及其性质 13

x3. 实数的其他性质及其应用 14

10. 根的存在性 具有有理指数的乘幂 14

11. 具有任何实指数的乘幂 16

12. 对数 17

13. 线段的测量 18

. ii 目录

第二章一元函数 20

x1. 函数概念 20

14. 变量 20

15. 变量的变域 21

16. 变量间的函数关系 例题 21

17. 函数概念的定义 22

18. 函数的解析表示法 24

19. 函数的图形 25

20. 以自然数为变元的函数 26

21. 历史的附注 28

x2. 几类最重要的函数 29

22. 初等函数 29

23. 反函数的概念 32

24. 反三角函数 33

25. 函数的叠置 结束语 36

第三章极限论 38

x1. 函数的极限 38

26. 历史的说明 38

27. 数列 38

28. 序列的极限定义 39

29. 无穷小量 41

30. 例 42

31. 无穷大量 44

32. 函数极限的定义 45

33. 函数极限的另一定义 47

34. 例 48

35. 单侧极限 53

x2. 关于极限的定理 54

36. 具有有限的极限的自然数变元的函数的性质 54

37. 推广到任意变量的函数情形 56

38. 在等式与不等式中取极限 57

39. 关于无穷小量的引理 58

40. 变量的算术运算 59

41. 未定式 61

42. 推广到任意变量的函数情形 63

43. 例 64

x3. 单调函数 67

44. 自然数变元的单调函数的极限 67

45. 例 69

46. 关于区间套的引理 70

47. 在一般情形下单调函数的极限 71

x4. 数e 73

48. 数e 看作序列的极限 73

49. 数e 的近似计算法 74

50. 数e 的基本公式 自然对数 76

x5. 收敛原理 78

51. 部分序列 78

52. 以自然数为变元的函数存在有限极限的条件 80

53. 任意变元的函数存在有限极限的条件 81

x6. 无穷小量与无穷大量的分类 83

54. 无穷小量的比较 83

55. 无穷小量的尺度 84

56. 等价的无穷小量 84

57. 无穷小量的主部的分离 86

58. 应用问题 86

59. 无穷大量的分类 88

第四章一元连续函数 89

x1. 函数的连续性(与间断点) 89

60. 函数在一点处的连续性的定义 89

61. 单调函数的连续性条件 91

62. 连续函数的算术运算 91

63. 初等函数的连续性 92

64. 连续函数的叠置 94

65. 几个极限的计算 94

66. 幂指数表达式 96

67. 间断点的分类 例子 97

x2. 连续函数的性质 98

68. 关于函数取零值的定理 98

69. 应用于解方程 100

iv 目录

70. 关于中间值的定理 101

71. 反函数的存在性 102

72. 关于函数的有界性的定理 103

73. 函数的最大值与最小值 104

74. 一致连续性的概念 105

75. 关于一致连续性的定理 106

第五章一元函数的微分法 108

x1. 导数及其计算 108

76. 动点速度的计算问题 108

77. 作曲线的切线的问题 109

78. 导数的定义 111

79. 计算导数的例 114

80. 反函数的导数 116

81. 导数公式汇集 117

82. 函数增量的公式 118

83. 计算导数的几个最简单法则 119

84. 复合函数的导数 121

85. 例 122

86. 单侧导数 124

87. 无穷导数 124

88. 特殊情况的例子 125

x2. 微分 126

89. 微分的定义 126

90. 可微性与导数存在之间的关系 127

91. 微分的基本公式及法则 129

92. 微分形式的不变性 130

93. 微分作为近似公式的来源 131

94. 微分在估计误差中的应用 132

x3. 高阶导数及高阶微分 133

95. 高阶导数的定义 133

96. 任意阶导数的普遍公式 134

97. 莱布尼茨公式 136

98. 高阶微分 138

99. 高阶微分形式不变性的破坏 139

第六章微分学的基本定理 140

x1. 中值定理 140

100. 费马定理 140

101. 罗尔定理 141

102. 有限增量定理 142

103. 导数的极限 144

104. 有限增量定理的推广 144

x2. 泰勒公式 145

105. 多项式的泰勒公式 145

106. 任意函数的展开式 147

107. 余项的其他形式 150

108. 已得的公式在初等函数上的应用 152

109. 近似公式 例 153

第七章应用导数来研究函数 157

x1. 函数的变化过程的研究 157

110. 函数为常数的条件 157

111. 函数为单调的条件 158

112. 极大及极小 必要条件 159

113. 第一法则 160

114. 第二法则 162

115. 函数的作图 163

116. 例 164

117. 高阶导数的应用 166

x2. 函数的最大值及最小值 167

118. 最大值及最小值的求法 167

119. 问题 168

x3. 未定式的定值法 169

型未定式 169

型未定式 172

122. 其他类型的未定式 173

第八章多元函数 176

x1. 基本概念 176

123. 变量之间的函数关系 例 176

124. 二元函数及其定义区域 177

125. m 维算术空间 179

126. m 维空间中的区域举例 181

127. 开区域及闭区域的一般定义 183

128. m 元函数 184

129. 多元函数的极限 186

130. 例 188

131. 累次极限 189

x2. 连续函数 191

132. 多元函数的连续性及间断 191

133. 连续函数的运算 193

134. 关于函数取零值的定理 194

135. 波尔查诺{ 魏尔斯特拉斯引理 195

136. 关于函数有界性的定理 196

137. 一致连续性 196

第九章多元函数的微分学 199

x1. 多元函数的导数与微分 199

138. 偏导数 199

139. 函数的全增量 200

140. 复合函数的导数 203

141. 例 204

142. 全微分 205

143. 一阶微分形式的不变性 207

144. 全微分在近似计算中的应用 209

145. 齐次函数 210

x2. 高阶导数与高阶微分 212

146. 高阶导数 212

147. 关于混合导数的定理 213

148. 高阶微分 216

149. 复合函数的微分 218

150. 泰勒公式 219

x3. 极值、最大值与最小值 220

151. 多元函数的极值 必要条件 220

152. 静止点的研究(二元函数的情况) 222

153. 函数的最大值与最小值 例子 225

154. 问题 227

第十章原函数(不定积分) 230

x1. 不定积分及其最简单的计算法 230

155. 原函数概念(及不定积分概念) 230

156. 积分与求面积问题 233

157. 基本积分表 234

158. 最简单的积分法则 235

159. 例 237

160. 换元积分法 238

161. 例 240

162. 分部积分法 242

163. 例 242

x2. 有理式的积分 244

164. 有限形式积分法问题的提出 244

165. 简单分式及其积分 245

166. 真分式的积分 246

167. 奥斯特罗格拉茨基的积分有理部分分出法 249

x3. 某些根式的积分法 251

168. 型根式的积分法 251

169. 二项式微分的积分法 252

170. r(x;pax2 + bx + c) 型根式的积分法 欧拉替换法 254

x4. 含有三角函数及指数函数的式子的积分法 258

171. 微分式r(sin x; cos x)dx 的积分法 258

172. 其他情形概述 260

x5. 椭圆积分 261

173. 定义 261

174. 化为典式 262

第十一章定积分 264

x1. 定积分定义及存在条件 264

175. 解决面积问题的另一途径 264

176. 定义 265

177. 达布和 267

178. 积分存在条件 269

179. 可积函数类别 270

x2. 定积分性质 272

180. 依有向区间的积分 272

181. 可用等式表出的性质 273

182. 可用不等式表出的性质 274

183. 定积分作为上限的函数 277

x3. 定积分的计算及变换 279

184. 用积分和的计算 279

185. 积分学基本公式 281

186. 定积分中变量替换公式 282

187. 定积分的分部积分法 283

188. 沃利斯公式 284

x4. 积分的近似计算 285

189. 梯形公式 285

190. 抛物线公式 287

191. 近似公式的余项 289

192. 例 291

第十二章积分学的几何应用及力学应用 293

x1. 面积及体积 293

193. 面积概念的定义 可求积区域 293

194. 面积的可加性 294

195. 面积作为极限 295

196. 以积分表出面积 296

197. 体积概念的定义及其性质 299

198. 以积分表出体积 301

x2. 弧长 305

199. 弧长概念的定义 305

200. 引理 307

201. 以积分表出弧长 308

202. 变弧及其微分 311

203. 空间曲线的弧长 313

x3. 力学及物理上的数量的计算 314

204. 定积分应用程式 314

205. 旋转面面积 316

206. 曲线的静矩及质心的求法 318

207. 平面图形的静矩及质心的求法 320

208. 力功 321

第十三章微分学的一些几何应用 323

x1. 切线及切面 323

209. 平面曲线的解析表示法 323

210. 平面曲线的切线 324

211. 切线的正方向 328

212. 空间曲线 329

213. 曲面的切面 331

x2. 平面曲线的曲率 332

214. 凹向 拐点 332

215. 曲率概念 334

216. 曲率圆及曲率半径 336

第十四章数学分析基本观念发展简史 339

x1. 微积分前史 339

217. 17 世纪与无穷小分析 339

218. 不可分素方法 339

219. 不可分素学说的进一步发展 341

220. 求最大及最小(极大极小) 切线作法 343

221. 借助运动学想法来作切线 345

222. 切线作法问题与求积问题的互逆性 345

223. 上述的总结 346

x2. 依萨克 牛顿(isaac newton, 1642 1727) 347

224. 流数计算法 347

225. 流数计算法的逆计算法 求积 349

226. 牛顿的\原理" 及极限理论的萌芽 351

227. 牛顿的奠基问题 351

x3. 莱布尼茨(gottfried wilhelm leibniz, 1646 1716) 352

228. 建立新计算法的初步 352

229. 最先刊行的微分学著作 353

230. 最先刊行的积分学著作 354

231. 莱布尼茨的其他著作 学派的建立 355

232. 莱布尼茨的奠基问题 355

233. 结尾语 356

索引 357

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《俄罗斯数学教材选译:数学分析原理(第1卷)(第9版)》是г.M.菲赫金哥尔茨继《微积分学教程》三卷本后的又一部关于数学分析的经典著作，是作者总结多年教学经验编写而成的。《俄罗斯数学教材选译:数学分析原理(第1卷)(第9版)》可供各级各类高等学校的数学分析与高等数学课程作为教学参考书，是数学分析教师极好的案头用书。

作者简介

《数学分析原理(第一卷)(第9版)》是г. м. 菲赫金哥尔茨继《微积分学教程》三卷本后的又一部关于数学分析的经典著作，是作者总结多年教学经验编写而成的。

《数学分析原理(第一卷)(第9版)》针对大学数学系一二年级的分析课程，因此分两卷出版。第一卷内容包括：实数、一元函数、极限论、一元连续函数、一元函数的微分法、微分学的基本定理、应用导数来研究函数、多元函数、多元函数的微分学、微积分的几何应用和力学应用，书中专列一章讲述数学分析基本观念发展简史；第二卷内容包括：数项级数、函数序列及函数级数、反常积分、带参变量的积分、隐函数和函数行列式、线积分、二重积分、曲面面积和面积分、三重积分、傅里叶级数等，书后附有“数学分析进一步发展概况”的附录。

《数学分析原理(第一卷)(第9版)》可供各级各类高等学校的数学分析与高等数学课程作为教学参考书，是数学分析教师极好的案头用书。

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