《复分析》章节试读

《复分析》的笔记-第248页 - 练习6（亦适用于subharmonic functions）

《复分析》的笔记-第24页

\section{Functions on the complex plane}
\subsection{连续函数}
在一点的定义
用序列叙述的等价定义
在集合上的定义
连续函数的加法和乘法仍连续
($f$)连续
($z \mapsto |f(z)|$)连续
最大值
最小值
Thm
紧集上的连续函数可以达到最值。
\subsection{全纯函数Holomorphic function}
从实数引申来的定义。但注意($h$)（($\Delta x$)）是复数可以从任何方向趋于0
极限存在记为导数
开集上的全纯函数定义
闭集上的全纯函数定义（取一个包含该闭集的开集即可）
整函数（entire）：在整个复平面上全纯。
注：
全纯有的书上称为 “复可微”
全纯的概念比（二元实）可微函数的概念强的多，比如
1.全纯函数有任意阶导数。而任给的可微函数是否有二阶导数不清楚。
2.全纯函数可展成幂级数（可解析）。而即使是无穷次可微函数在某一点可能并不能展成幂级数。（课后题有例子）
例子：
1.($z$)全纯，多项式函数全纯。
2.($\frac{1}{z}$)除了原点外全纯。
3.($\bar{z}$)不是全纯函数。
一类很重要的全纯函数的例子是幂级数。
全纯必推出连续。
两个全纯函数的和，乘积，商（在分母不为零的点），复合的导数
复合函数满足链式法则。
\paragraph{作为映射的复值函数}
二元实函数在一点可微的定义。（存在线性映射($J:R^2 \rightarrow R^2$)）
复函数的导数（微分）却需要满足Cauchy-Riemann方程，这是复函数与二元实函数的重大区别。
定义微分算子
\[ \frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y} )\]
\[ \frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y} )\]
结论
($f$)在($z_0$)点全纯，则($\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$)且($f'(z_0)=\frac{\partial f}{\partial z}(z_0)=2\frac{\partial u}{\partial z}(z_0)$).
若($F(x,y)=f(z)$)，则($F$)可微 ($\det J_F(x_0,y_0)=|f'(z_0)|^2$)
\subsection{幂级数}
重要的一类解析函数，比较容易操作。
例子
1.指数函数（是整函数）的定义。($R=\infty$)
2.几何级数除1外全纯。($R=1$)
幂级数的形式
在某个点($z_0$)绝对收敛，则在圆盘($|z|\leq |z_0|$)内收敛。
Thm
有关收敛半径的定理。在($|z|=R$)时，无法确定，delicate。
($R$)由Hadamard公式得到：($\frac{1}{R}=\lim \sup |a_n|^{\frac{1}{n}}$)
接例子
3.三角函数（整函数）
\[\cos z=\sum (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}\]
\[\sin z=\sum (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
得三角函数的欧拉公式
($\cos z ,\sin z$)
Thm
($f'(z)$)可逐项求导得出。与原级数有相同的收敛半径（($n^{\frac{1}{n}} \to 1$)）。
结论
幂级数在它的收敛域内是无穷次可微的。高阶导数仍是幂级数，由逐项求导可得。
解析（在某点可展成幂级数）($\Rightarrow$)全纯。（下一章证明它的逆也成立）

《复分析》的笔记-第24页

\section{曲线上的积分}（重要的研究解析函数的工具）
可参数化的曲线
光滑
逐段光滑
参数形式的等价（连续可微函数，保向（($t'(s)>0$)））
与($z(t)$)等价的参数形式全体决定了一个光滑曲线
逆向的定义($\gamma^{-}$)，一个特殊的映射($z^-:[a,b] \rightarrow R^2,z^-(t)=z(b+a-t)$)
逐段光滑曲线（曲线）
闭：对任何参数形式起点终点相同
简单：不能自交，($z(t) \neq z(s) $)unless($s=t$).
例 ($C_r(z_0)$)正（逆）向参数方程
正向圆周记作($C$)
曲线上的积分很重要，比如可以导出一个关键的定理：
($f$)在闭曲线($\gamma$)内部解析，则($\int_{\gamma} f(z)dz=0$)
曲线积分定义。（与参数形式选择无关）
光滑与分段光滑的定义
弧长 ($length(\gamma)=\int_a^b|z'(t)|dt$),分段光滑类似。
性质
1.线性
2.($\int_{\gamma}=-\int_{\gamma^-}$)
3.不等式：($|\int_{\gamma}f(z)dz|\leq \sup_{z \in \gamma}|f(z)|\cdot length(\gamma)$)
原函数primitive
原函数的存在性直观表现了特殊情况下的柯西定理。
Thm
($f$)连续有原函数，积分与路径无关。
推论（柯西定理一种形式）
($\gamma$)是开集($\Omega$)中的一条闭曲线，($f$)在($\Omega$)内连续且有原函数，则
\[\int_{\gamma}f(z)dz=0\]
例
($f(z)=\frac{1}{z}$)在($C-\{0\}$)上没有原函数
\[\int_Cf(z)dz=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{it}}{e^{it}}dt=2\pi i \neq 0\]
推论
($f$)在一个区域($\Omega$)内全纯，且($f'=0$),则($f$)是常数。
三个符号的注记
($f=O(g)$)
($f=o(g)$)
($f \sim g$)

《复分析》的笔记-第24页

\section{Complex numbers & complex plane}
\subsection{基本性质}
($z=x+iy$)及其几何意义。加法和乘法（在用 polar form后更清楚）的几何意义
注：乘($i$)：旋转($\pi/2$)。
\texttt{Absolute value}
($|z|$)及其几何意义。三角不等式成立，之后有三个有用的不等式：
($|Re(z)|\leq|z|$),
($|Im(z)|\leq |z|$),
($||z|-|w||\leq|z-w|$).
\texttt{Complex conjugate}
($\bar{z}$)及其几何意义：reflection across the real axis in the plane.
实数:($z=\bar{z}$),纯虚数:($z=-\bar{z}$)
即得($Re(z),Im(z),|z|^2,\frac{1}{z}$)的表示
\texttt{Polar form}
($z=re^{i\theta}$),($r=|z|>0,\theta = arg (z)$)
欧拉公式:($e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta$)
几何意义
乘法:homothety.
\subsection{收敛}
复数序列收敛定义。
由于有时较难得到具体极限值（($\sum \frac{1}{n^3}$)）故引入了柯西序列。
对比实数的Bolzano-Weierstrass定理得
Thm
($C$)是完备的。
以下是简单的拓扑性质
\subsection{复平面中的集合}
($D_r(z_0)$)
:open disc.
($\overline{D_r}(z_0)$)
:closed disc.
($C_r(z_0)$)
:boundary
($D$)
:unit disc.
($\Omega \subset C$)
引入顺序
内点->开集->闭集->聚点->闭包->边界
直径
紧：闭+有界
Thm
紧集一个充要条件：集合上任意序列有子列收敛于集合中的点。
介绍开覆盖
Thm
与上述等价的紧集的充要条件：任意开覆盖有有限子覆盖。
由紧集得到nested sets
Thm
得有界闭集套定理
接着介绍了开集的连通（课后题有开集的道路连通等价于连通），闭集的连通。
region：连通的开集。