数学分析（上册）

章节摘录

　　数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，是一个范围广阔、分支众多、应用广泛的科学体系，是其他各门科学（包括自然科学、社会科学、管理科学与技术科学等）的基础和工具，在整个人类知识体系中占有特殊的地位。数学起源于计数、测量和贸易等活动。17世纪以来，随着物理学、力学等学科的发展和工业技术的崛起，尤其是Newton和Leibniz发明微积分这划时代的贡献，数学迅速发展起来，到19世纪已成为天体力学、弹性力学、流体力学、热学、电磁学和统计物理学中不可缺少的重要工具。20世纪以来，数学与自然科学和生产技术的联系达到了新的高度。进入20世纪70年代后，随着电子计算机的迅猛发展和普及，数学理论、方法和工具更是以前所未有的广度、深度和速度进入了几乎所有的其他学科。马克思一百多年前的“一切科学，只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步”的著名论断正在逐步成为现实。可以预见，进入21世纪以后，随着高新技术的加速发展，数学将在人类知识各个领域中愈加大显身手，在科学舞台上扮演更为令人瞩目的角色。当今，随着学科内部高度发展交融以及与其他领域（尤其是计算机技术）间空前广泛的渗透，数学已成为一座巍峨的科学大厦。但是，万丈高楼平地起，就研究数量关系和空间形式而言，必须从变量间最本质的联系，即函数开始起步。数学分析正是讲述函数理论的最基本的课程，是几乎所有后继数学课程的奠基石，因此，它理所当然地被列为数学科学最重要的基础课之一，在培养具有良好的数学素养的人才方面，它所起的作用是任何别的课程无法相比的。历史上，微积分的形成和发展直接得益于物理学、天文学、几何学等领域的研究，因而当微积分一旦形成为一门学科，它在这些应用领域中就极具应用活力。因此，学习数学分析不仅要循序渐进地深刻领会已抽象出来的普遍结论，更要切实掌握用数学工具分析问题、转化问题、解决问题的思想和方法——这是开设本课程的宗旨。

前言

　　摆在我们面前的这本书，是复旦大学数学系的几位教师根据面向21世纪教学内容和课程体系改革的要求，结合自身的教学实践，在近年内编写出来的数学分析教材。说数学分析（或微积分）是数学系最重要的一门基础课程，恐怕并非过誉。因为它不仅是大学数学系学生进校后首先面临的一门重要课程，而且大学本科乃至研究生阶段的很多后继课程在本质上都可以看作是它的延伸、深化或应用，至于它的基本概念、思想和方法，更可以说是无处不在。正因为如此，大家把关注的目光投射到这门课程及其教材的改革上，并从不同的角度付诸实践，实在是很自然的。然而，自牛顿、莱布尼茨建立微积分，并经柯西、魏尔斯特拉斯等人为之奠定了相当严格的基础以来，二三百年中经过众多科学家的努力，微积分的基本理论框架及表达方式已历经了一个千锤百炼的过程。大厦早已建成，格局已经布就，改革谈何容易。尽管国内外已经出版的微积分教材为数颇多，但严格说来，真正能体现特色、符合改革精神的却太少。这门课程的改革既举足轻重，又颇具难度，是一个攻坚战。对这门课程的改革设想和实践，就像“每个读者心中都有自己的林妹妹”那样，也往往见仁见智，看来在相当长的一段时间内难以（也没必要）完全取得共识。那么，不管特点如何各异，比较理想的微积分教材是否应该具有某些共性呢？我想利用这个机会，谈一些粗浅的认识，作为一家之言，就正于方家与读者。首先，任何一门学问，就其本质来说，关键的内容、核心的概念，往往就不过那么几条；而发挥开来，就成了洋洋大观的巨著。理解了这些核心和关键，并通过严格的训练将其真正学到手，就掌握了这门课程的精髓，就能得心应手地加以应用和发挥，也就达到了学习这门课程的目的，并为培养创新人才打下了良好的基础。微积分也不例外。要让学生把主要的精力集中到那些最基本、最主要的内容上，真正学深学透，一生受用不尽。将简单的东西故弄玄虚，讲得复杂、烦琐，使学生莫测高深的，绝不是一个水平高的好教师；相反，将复杂的内容，抓住实质讲得明白易懂，使学生觉得自然亲切、趣味盎然的，才是一个高水平的良师。

书籍目录

第一章 集合与映射

§1 集合

集合

集合运算

有限集与无限集

Descartes乘积集合

习题

§2 映射与函数

映射

一元实函数

初等函数

函数的分段表示、隐式表示与参数表示

函数的简单特性

两个常用不等式

习题

第二章 数列极限

§1 实数系的连续性

实数系

最大数与最小数

上确界与下确界

附录Dedekind切割定理

习题

§2 数列极限

数列与数列极限

数列极限的性质

数列极限的四则运算

习题

§3 无穷大量

无穷大量

待定型

习题

§4 收敛准则

单调有界数列收敛定理

π和e

闭区间套定理

子列

Bolzano-Weierstrass定理

Cauchy收敛原理

实数系的基本定理

习题

第三章 函数极限与连续函数

§1 函数极限

函数极限的定义

函数极限的性质

函数极限的四则运算

函数极限与数列极限的关系

单侧极限

函数极限定义的扩充

习题

§2 连续函数

连续函数的定义

连续函数的四则运算

不连续点类型

反函数连续性定理

复合函数的连续性

习题

§3 无穷小量与无穷大量的阶

无穷小量的比较

无穷大量的比较

等价量

习题

§4 闭区间上的连续函数

有界性定理

最值定理

零点存在定理

中间值定理

一致连续概念

习题

第四章 微分

§1 微分和导数

微分概念的导出背景

微分的定义

微分和导数

习题

§2 导数的意义和性质

产生导数的实际背景

导数的几何意义

单侧导数

习题

§3 导数四则运算和反函数求导法则

从定义出发求导函数

求导的四则运算法则

反函数求导法则

习题

§4 复合函数求导法则及其应用

复合函数求导法则

一阶微分的形式不变性

隐函数求导与求微分

复合函数求导法则的其他应用

习题

§5 高阶导数和高阶微分

高阶导数的实际背景及定义

高阶导数的运算法则

高阶微分

习题

第五章 微分中值定理及其应用

§1 微分中值定理

函数极值与Fermat引理

Rolle定理

Lagrange中值定理

用Lagrange中值定理讨论函数性质

Cauchy中值定理

习题

§2 L'Hospital法则

待定型极限和L'Hospital法则

可化为0/0型或∞/∞型的极限

习题

§3 Taylor公式和插值多项式

带Peano余项的Taylor公式

带Lagrange余项的Taylor公式

插值多项式和余项

Lagrange插值多项式和Taylor公式

习题

§4 函数的Taylor公式及其应用

函数在x=0处的Taylor公式

Taylor公式的应用

习题

§5 应用举例

极值问题

最值问题

数学建模

函数作图

习题

§6 方程的近似求解

解析方法和数值方法

二分法

Newton迭代法

计算实习题

第六章 不定积分

§1 不定积分的概念和运算法则

微分的逆运算——不定积分

不定积分的线性性质

习题

§2 换元积分法和分部积分法

换元积分法

分部积分法

基本积分表

习题

§3 有理函数的不定积分及其应用

有理函数的不定积分

可化成有理函数不定积分的情况

习题

第七章 定积分

§1 定积分的概念和可积条件

定积分概念的导出背景

定积分的定义

Darboux和

Riemann可积的充分必要条件

习题

§2 定积分的基本性质

习题

§3 微积分基本定理

从实例看微分与积分的联系

微积分基本定理——Newton-Leibniz公式

定积分的分部积分法和换元积分法

习题

§4 定积分在几何计算中的应用

求平面图形的面积

求曲线的弧长

求某些特殊的几何体的体积

求旋转曲面的面积

曲线的曲率

习题

附录 常用几何曲线图示

§5 微积分实际应用举例

微元法

由静态分布求总量

求动态效应

简单数学模型和求解

从Kepler行星运动定律到万有引力定律

习题

§6 定积分的数值计算

数值积分

Newton-Cotes求积公式

复化求积公式

Gauss型求积公式

计算实习题

第八章 反常积分

§1 反常积分的概念和计算

反常积分

反常积分计算

习题

计算实习题

§2 反常积分的收敛判别法

反常积分的Cauchy收敛原理

非负函数反常积分的收敛判别法

一般函数反常积分的收敛判别法

无界函数反常积分的收敛判别法

习题

答案与提示

索引

作者简介

由陈纪修等编著的《数学分析(第二版)》是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”、教育部“理科基础人才培养基地创建优秀名牌课程数学分析”项目和高等教育出版社“高等教育百门精品课程教材建设计划”精品项目的成果，是面向21世纪课程教材。《数学分析(第二版)》以复旦大学数学系近20年中陆续出版的《数学分析》为基础，为适应数学教学面向21世纪改革的需要而编写的。作者结合了多年来教学实践的经验体会，从体系、内容、观点、方法和处理上，对教材作了有益的改革。数学分析(第二版)》分上、下两册出版。上册内容包括：集合与映射、数列极限、函数极限与连续函数、微分、微分中值定理及其应用、不定积分、定积分、反常积分八章。下册内容包括：数项级数、函数项级数、Euclid空间上的拓扑、多元函数的微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、含参变量积分、Fourier级数八章。

本书是其中的上册。《数学分析(第二版 上册)》可以作为高等学校数学专业数学分析课程的教科书，也可供其他有关专业选用。

图书封面

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