数学分析原理（第二卷）

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内容概要

作者：（俄罗斯）菲赫金哥尔茨 译者：丁寿田

菲赫金哥尔茨（1888—1959），苏联数学家、杰出的数学教育家。他是实变函数论列宁格勒学派的奠基人，在函数度量理论方面的一系列工作使他成为这个领域中的一流数学家。菲赫金哥尔茨毕生致力于数学教学，热爱教学、重视教学。他在列宁格勒大学（现圣彼得堡大学）工作40多年，直至1953年退休，一直是数学分析教研室负责人。他在大学讲了30多年的数学分析课，培养了许多世界著名的苏联数学家。他还热心于苏联的中学数学教学。给中学生和中学教师讲课。他是20世纪30年代苏联中学教学大纲的制订者，苏联第一届数学奥林匹克的发起人（1934年）。也是苏联师范学院的组织者之一。三卷本《微积分学教程》是他的教学经验和教学艺术的结晶。人们赞扬“他的每一堂课都是一篇教学杰作。甚至他的板书也像是一幅艺术作品”。对他的评价是“天才加诚挚、善良，具有非凡的工作能力和高度的责任感”。

书籍目录

《数学分析原理(第二卷)(第9版)》

《俄罗斯数学教材选译》序

第十五章数项级数 1

x1. 导引 1

234. 基本概念 1

235. 简单定理 3

x2. 正项级数的收敛性 5

236. 正项级数收敛性条件 5

237. 级数比较定理 7

238. 例 8

239. 柯西检验法及达朗贝尔检验法 10

240. 拉比检验法 12

241. 麦克劳林{ 柯西积分检验法 14

x3. 任意级数的收敛性 16

242. 收敛性原理 16

243. 绝对收敛性 17

244. 交错级数 19

x4. 收敛级数的性质 21

245. 可结合性 21

246. 绝对收敛级数的可交换性 22

.247. 非绝对收敛级数的情形 23

248. 级数乘法 25

x5. 无穷乘积 28

249. 基本概念 28

250. 简单定理 与级数的关系 29

251. 例 31

x6. 初等函数的幂级数展开式 33

252. 泰勒级数 33

253. 指数函数及主要三角函数的级数展开式 35

254. 欧拉公式 36

255. 反正切的展开式 38

256. 对数级数 38

257. 斯特林公式 40

258. 二项式级数 41

259. 关于余项研究的一个笺注 42

x7. 用级数作近似计算 43

260. 问题的提出 43

261. 的计算 44

262. 对数的计算 46

第十六章函数序列及函数级数 48

x1. 一致收敛性 48

263. 导言 48

264. 一致收敛性及非一致收敛性 49

265. 一致收敛性条件 52

x2. 级数和的函数性质 54

266. 级数和的连续性 54

267. 正项级数的情形 55

268. 逐项取极限 57

269. 级数的逐项积分 58

270. 级数的逐项微分 61

271. 不可导连续函数一例 62

x3. 幂级数及多项式级数 64

272. 幂级数收敛区间 64

273. 幂级数和的连续性 66

274. 收敛区间端点上的连续性 67

275. 幂级数的逐项积分 69

276. 幂级数的逐项微分 70

277. 幂级数作为泰勒级数 72

278. 连续函数展为多项式级数 72

x4. 级数简史 75

279. 牛顿及莱布尼茨时期 75

280. 级数理论的形式发展时期 77

281. 严密理论的建立 79

第十七章反常积分 81

x1. 带无限积分限的反常积分 81

282. 带无限积分限的积分定义 81

283. 积分学基本公式的应用 82

284. 与级数的相似性 简单定理 84

285. 正函数情形的积分收敛性 85

286. 一般情形的积分收敛性 86

287. 更精致的检验法 87

x2. 无界函数的反常积分 90

288. 无界函数积分定义 90

289. 积分学基本公式的应用 91

290. 积分收敛性条件及检验法 92

x3. 反常积分的变换及计算 94

291. 反常积分的分部积分法 94

292. 反常积分中的变量替换 95

293. 积分的技巧计算法 96

第十八章带参变量的积分 100

x1. 基本理论 100

294. 问题的提出 100

295. 一致趋于极限函数 100

296. 积分号下取极限 102

297. 积分号下的微分法 103

298. 积分号下的积分法 105

299. 积分限带参变量的情形 106

300. 例 108

x2. 积分的一致收敛性 108

301. 积分一致收敛性定义 108

302. 一致收敛性的条件及充分检验法 110

303. 带有限积分限的积分 112

x3. 积分一致收敛性的应用 113

304. 积分号下取极限 113

305. 积分依参变量的积分法 116

306. 积分依参变量的微分法 117

307. 关于带有限积分限的积分的一个笺注 118

308. 一些反常积分的计算 118

x4. 欧拉积分 123

309. 第一类欧拉积分 123

310. 第二类欧拉积分 124

311. 函数的简单性质 125

312. 例 129

313. 关于两个极限运算次序对调的史话 130

第十九章隐函数 函数行列式 133

x1. 隐函数 133

314. 一元隐函数概念 133

315. 隐函数的存在及性质 135

316. 多元隐函数 138

317. 由方程组确定的隐函数 139

318. 隐函数导数的计算 143

x2. 隐函数理论的一些应用 147

319. 相对极值 147

320. 拉格朗日不定乘数法 149

321. 例及习题 150

322. 函数独立性概念 152

323. 函数矩阵的秩 153

x3. 函数行列式及其形式的性质 156

324. 函数行列式 156

325. 函数行列式的乘法 157

326. 函数矩阵的乘法 159

第二十章线积分 162

x1. 第一型线积分 162

327. 第一型线积分 162

328. 化为寻常定积分 164

329. 例 165

x2. 第二型线积分 167

330. 第二型线积分定义 167

331. 第二型线积分的存在及其计算 169

332. 闭路的情形 平面的定向法 171

333. 例 172

334. 两种类型线积分间的关系 174

335. 在物理问题上的应用 175

第二十一章二重积分 178

x1. 二重积分定义及简单性质 178

336. 柱体体积问题 178

337. 化二重积分为累次积分 179

338. 二重积分定义 181

339. 二重积分存在条件 182

340. 可积函数类 183

341. 可积函数及二重积分的性质 185

342. 积分作为可加性区域函数 对区域的微分法 187

x2. 二重积分的计算 189

343. 化矩形区域上的二重积分为累次积分 189

344. 化曲线区域上二重积分为累次积分 192

345. 力学上的应用 197

x3. 格林公式 200

346. 格林公式的推导 200

347. 以线积分表示面积 202

x4. 线积分与积分道路无关的条件 203

348. 沿简单闭界线的积分 203

349. 沿联结任意两点的曲线的积分 205

350. 与恰当微分问题的联系 207

351. 在物理问题上的应用 209

x5. 二重积分的变量替换 211

352. 平面区域的变换 211

353. 以曲线坐标表示面积 214

354. 补充说明 217

355. 几何的推导法 218

356. 二重积分中的变量替换 220

357. 与单积分的相似 定向区域上的积分 222

358. 例 222

359. 史话 225

第二十二章曲面面积 面积分 227

x1. 双侧曲面 227

360. 曲面的参变表示法 227

361. 曲面的侧 230

362. 曲面的定向法及其侧的选定 232

363. 逐段光滑曲面的情形 234

x2. 曲面面积 235

364. 施瓦茨的例 235

365. 显式方程所给曲面的面积 236

366. 一般情形的曲面面积 238

367. 例 240

x3. 第一型面积分 242

368. 第一型面积分定义 242

369. 化为寻常二重积分 242

370. 第一型面积分在力学上的应用 244

x4. 第二型面积分 247

371. 第二型面积分定义 247

372. 化为寻常二重积分 248

373. 斯托克斯公式 250

374. 斯托克斯积分应用于空间线积分的研究 253

第二十三章三重积分 256

x1. 三重积分及其计算 256

375. 立体质量计算问题 256

376. 三重积分及其存在条件 257

377. 可积分函数及三重积分的性质 258

378. 三重积分的计算 259

379. 力学上的应用 262

x2. 奥斯特罗格拉茨基公式 264

380. 奥斯特罗格拉茨基公式 264

381. 奥斯特罗格拉茨基公式的几个应用实例 266

x3. 三重积分变量替换 269

382. 空间区域的变换 269

383. 体积表示为曲线坐标 271

384. 几何的推导法 274

385. 三重积分的变量替换 275

386. 例 276

387. 史话 278

x4. 场论初步 278

388. 数量与向量 278

389. 数量场与向量场 279

390. 沿给定方向的导数 梯度 280

391. 通过曲面的向量流量 282

392. 奥斯特罗格拉茨基公式 散度 283

393. 向量的循环量 斯托克斯公式 旋度 284

x5. 多重积分 286

394. m 维体的体积与m 重积分 286

395. 例 288

第二十四章傅里叶级数 290

x1. 导言 290

396. 周期量与调和分析 290

397. 决定系数的欧拉{ 傅里叶方法 292

398. 正交函数系 294

x2. 函数的傅里叶级数展开式 296

399. 问题的提出 狄利克雷积分 296

400. 基本引理 298

401. 局部化原理 299

402. 函数的傅里叶级数表示法 300

403. 非周期函数的情形 301

404. 任意区间的情形 303

405. 只含余弦或只含正弦的展开式 304

406. 例 306

407. 连续函数展开为三角多项式级数 310

x3. 傅里叶积分 312

408. 傅里叶积分作为傅里叶级数的极限情形 312

409. 预备说明 313

410. 用傅里叶积分表示函数 314

411. 傅里叶公式的种种形式 315

412. 傅里叶变换 317

x4. 三角函数系的封闭性与完备性 319

413. 函数的平均近似 傅里叶级数段的极值性质 319

414. 三角函数系的封闭性 321

415. 三角函数系的完备性 324

416. 广义封闭性方程 325

417. 傅里叶级数的逐项积分 326

418. 几何的解释 327

x5. 三角级数简史 331

419. 弦振动问题 331

420. 达朗贝尔及欧拉的解法 332

421. 泰勒及丹尼尔 伯努利的解法 333

422. 关于弦振动问题的争论 336

423. 函数的三角展开式 系数的决定 337

424. 傅里叶级数收敛性证明及其他问题 338

425. 结尾语 339

附录数学分析进一步发展概况 341

i. 微分方程 341

ii. 变分法 342

iii. 复变函数论 345

iv. 积分方程论 347

v. 实变函数论 349

vi. 泛函分析 352

索引 357

编辑推荐

《俄罗斯数学教学选译:数学分析原理(第2卷)(第9版)》可供各级各类高等学校的数学分析与高等数学课程作为教学参考书，是数学分析教师极好的案头用书。

作者简介

《数学分析原理(第二卷)(第9版)》是г. м. 菲赫金哥尔茨继《微积分学教程》三卷本后的又一部关于数学分析的经典著作，是作者总结多年教学经验编写而成的。

《数学分析原理(第二卷)(第9版)》针对大学数学系一二年级的分析课程，因此分两卷出版。第一卷内容包括：实数、一元函数、极限论、一元连续函数、一元函数的微分法、微分学的基本定理、应用导数来研究函数、多元函数、多元函数的微分学、微积分的几何应用和力学应用，书中专列一章讲述数学分析基本观念发展简史；第二卷内容包括：数项级数、函数序列及函数级数、反常积分、带参变量的积分、隐函数和函数行列式、线积分、二重积分、曲面面积和面积分、三重积分、傅里叶级数等，书后附有“数学分析进一步发展概况”的附录。

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