《当代数学》书评

一道关于微积分的超有趣的数学题

有m本书，每次随机选择其中n本，然后放回去，再重新选。问：选k次后，“每本书都被选过”的概率是多少？有m本书，每次随机选择其中n本，然后放回去，再重新选。问：选k次后，“每本书都被选过”的概率是多少？我的解答：(1-(1-n/m)^k)^m在一次选择中某本书没被选到的概率是 1-n/m，在k次选择中都没被选到就是(1-n/m)^k了那么某本书在k次选择中被选到过的概率就是1-(1-n/m)^k总共有m本书，那么所有的书都被选择过就是(1-(1-n/m)^k)^m了但是又有疑问：最后一步有点问题，我们不妨举个例子吧~假如有60本书，我每次选20本，只选1次，显然所求的概率是0。但在式子中是不能得到0的。那么我的结果仅对 kn>m的情况成立kn<m的情况下几率（显然）是零我的结果对kn>m的情况，正确吗？这个问题换一个问法，就是有kn个小球，放到m个盒子里面，每个盒子里面都有球的几率是多少？还是我的解答：首先证明一个引理：Lemme1：设E, F两个在全集U中随机独立选取的集合，记E(Card(E))=e, E(Card(F))=f, E(Card(U))=m，则E(Card(union(E,F)))=E(Card(E))+E(Card(F))-E(intersection(E,F))=e+f-ef/m证明：只需证明E(intersection(E, F))=ef/m即可。由于E, F的选取互相独立，所以我们有：P(x属于intersection(E, F))=P(x属于E)*P(x属于F)=(e/m)*(f/m)于是E(intersection(E, F))=Card(U)*P(x属于intersection(E, F))=ef/mCQFD设a(k)是选取k次后选取集合之并的元素个数的期望值。根据引理，我们有如下递推关系：a(1)=n, a(k+1)=a(k) + n + a(k) * n / m解递推关系，容易得到a(n)的通项公式为：a(k)=m-m*(1-n/m)^k我们观察到，当k趋向于无穷大时，a(k)趋向于m因为方差还是想不到怎么算，所以只能用马尔可夫不等式（这学期刚学的）：对于非负随机变量X，我们有P(X>=a) <= E(X)/a那么，我们就得到一个上界：P(X=m)=P(X>=m)<=a(k)/m = 1 - (1 - n/m)^k

思想的重要性与知识空间理论

一、思想的重要性现代数理科学经历了从实践主导到理论主导的转变——不再被客观实践局限，变为主动构造各种理论——这个转变的推动力，来自思想的突破。普吕克在提出射影空间概念的过程中，打破传统，不用空间中的点而用直线为元素，构成新的空间，研究它的几何性质。普吕克的学生，克莱因，根据这种思想，提出了埃朗根纲领，促进了一系列新几何的诞生。普吕克的粉丝，克莱因的好友索菲斯。李，根据这种思想，提出了连续变换群理论，成为现代粒子物理的理论基础。相对论、量子论等，都是主动构造相关理论的例子。那么，为什么人类主动构造的理论会有效呢？这涉及知识空间的问题。二、知识空间理论设宇宙的各种现象及其理论为空间R，人类构造的某种理论为r。r就像是DNA探针一样，能且只能跟与之相符的宇宙现象匹配。即r属于R的子集。人类构造的各种理论就像不同的探针，能发现不同的宇宙知识空间中的片段。通过一定的规则，把这些片段拼接起来，就能无限接近解读出整个宇宙知识空间的序列结构，像绘制基因图谱一样，绘制出宇宙的知识图谱！——不知道现在有没有专门的学科研究这个问题！这个一定是未来计算机发展的方向之一！

这是一部虔诚地展现数学文化的作品

迪厄多内晚年炉火纯青的杰作，处处都展现出他那执着的数学情怀，尽管书中几乎没有直接抒发作者本人数学理念的段落，但仍能使读者感受到其强烈的布尔巴基精神。其中举出的几个篇幅较长的优美的数学例子（如伯努利数和傅利叶级数）很是耐人寻味，除了它们本身极具欣赏价值外，思考作者为何选入它们的原因也很有意义。总的来说，这部作品确实值得数学爱好者字斟句酌地细读。

数学的一本极好的导引

以前一直给数学的爱好者或高等数学的初学者推荐《数学是什么》，没作它想。现在则有了一个备选品，就是此书。它所展示的数学比《数学是什么》还要全面，尽管很多地方没前者那么细。这本书很适合数学系一年级学生，一开始就对数学的全面有个大概的了解，免得做井底之蛙。有经典问题，有近代发展，还有当代概述。就其作为简短的数学史而言，国内外还真没有多少书（个人阅历所限）比它还好。对数学问题的划分好像在哪篇文章见过，就历史客观而言还是很实在的。在学习的时候应该注意这些好问题，它们的发展就是大部分的数学史。大体内容是粗线条的，附录中的若干技术细节弥补了部分的缺陷。完全不带技术的评论容易误入歧途。你应该见过很多国内人写的数学哲学方面的书，好些罔顾事实，“自导自演”。不了解历史背景，不深入具体的细节，最好不要谈论所谓的“哲学”。书末的人物小传有点意思，当然对我来说最有价值的就是知道了《科学家传记词典》。虽然没见过真身，但从找到的几篇文章来看，它的价值还是非常大的。当然了，现在有了维基，具体的史料与一些技术细节查找起来方便多了。这本书对我而言还有一层很特别的意义。我以前很讨厌此书的作者迪厄多内，语气强硬，像个独裁者；(谢瓦莱对他好像也有意见。)他对欧氏几何的批评以及对新数学的支持我也很不赞成。但此书的语言丝毫没让我不快，或许随着年岁的增长老迪平和了。尽管心态平和了，但对数学的爱以及那种激情犹在，无论对数学有着怎样的看法，数学家永远是爱着数学的人！