实用高等数学

章节摘录

版权页：   插图：   阅读材料 微积分学的历史 微积分学是微分学和积分学的总称。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来描述了。 随着科学技术的发展，由于函数概念的产生和运用的加深，继解析几何之后，一门新的数学分支就产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。 微积分学的建立 微积分成为一门学科，是在17世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。 公元前3世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了17世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 17世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。 17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，尽管这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

书籍目录

第一章 函数 第一节 函数及其性质 一、函数的概念 二、函数的几种特性 习题1-2 第二节 初等函数 一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数 四、反函数与隐函数 习题 1-2 本章小结 复习题一 自测题一 第二章 极限与连续 第一节 极限的概念 一、数列的极限 二、函数的极限 三、极限的性质 四、无穷小量与无穷大量 习题 2-1 第二节 极限的运算 一、极限的运算法则 二、两个重要极限 三、无穷小的比较 习题 2-2 第三节 函数的连续性 一、函数的连续性概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质 习题 2-3 本章小结 复习题二 自测题二 阅读材料 第三章 导数与微分 第一节 导数的概念 一、导数概念的引例 二、导数的概念与几何意义 三、可导与连续的关系 习题 3-1 第二节 求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、复合函数的导数 三、反函数的求导法则 四、初等函数的导数 五、隐函数和由参数方程确定的函数的导数 六、高阶导数 习题 3-2 第三节 微分 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用 习题 3-3 本章小结 复习题三 自测题三 第四章 导数的应用 第一节 微分中值定理 一、罗尔中值定理（Rolle） 二、拉格朗日中值定理（Lagrange） 习题 4-1 第二节 洛必达法则 习题 4-2 第三节 函数的单调性、极值和最值 一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最大值和最小值 习题 4-3 第四节 曲线的凹凸性与拐点 习题 4-4 第五节 函数图形的描绘 习题 4-5 第六节 曲率 一、曲率的概念 二、弧微分 三、曲率的计算公式 本章小结 复习题四 自测题四 阅读材料 案例学习——鲜花店老板的订货难题 第五章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质 习题 5-1 第二节 不定积分的积分方法 一、第一类换元积分法（凑微分法） 二、第二类换元积分法 三、分部积分法 四、简单有理函数的积分 五、积分表的使用 习题 5-2 本章小结 复习题五 自测题五 第六章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、引出定积分概念的实例 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的基本性质 习题 6-1 第二节 定积分的基本公式 一、变上限的定积分 二、微积分学基本定理 习题 6-2 第三节 定积分的积分方法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法 习题 6-3 第四节 广义积分 一、无穷区间上的广义积分 二、无界函数的广义积分 习题 6-4 本章小结 复习题六 自测题六 阅读材料 第七章 定积分的应用 第一节 定积分的几何应用 一、定积分的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长 习题 7-1 第二节 定积分在物理中的应用 一、功 二、液体的压力 习题 7-2 本章小结 复习题七 自测题七 案例学习——交通信号灯闪烁时间的合理性问题 第八章 常微分方程 第一节 常微分方程的基本概念 习题 8-1 第二节 一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、齐次型微分方程 三、一阶线性微分方程 四、可降阶的高阶微分方程 习题 8-2 第三节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 习题 8-3 第四节 微分方程的应用 一、一阶微分方程的应用 二、二阶微分方程的应用 习题 8-4 本章小结 复习题八 自测题八 案例学习——饮酒驾车的数学模型 第九章 空间解析几何 第一节 空间直角坐标系与向量的概念 一、空间直角坐标系 二、向量的概念及其线性运算 三、向量的坐标表示 习题 9-1 第二节 向量的数量积与向量积 一、向量的数量积 二、向量的向量积 习题 9-2 第三节 平面与直线 一、平面的方程 二、直线的方程 三、平面、直线的位置关系 习题 9-3 第四节 曲面与空间曲线 一、曲面方程的概念 二、球面 三、柱面 四、旋转曲面 五、几种常见的二次曲面 六、空间曲线 习题 9-4 本章小节 复习题九 自测题九 阅读材料 第十章 多元函数微分学 第一节 多元函数的概念、极限与连续 一、多元函数的概念 二、二元函数的极限与连续 习题 10-1 第二节 偏导数 一、偏导数 二、高阶偏导数 习题 10-2 第三节 全微分 一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用 习题 10-3 第四节 多元复合函数与隐函数的微分法 一、多元复合函数的微分 二、隐函数微分法 习题 10-4 第五节 偏导数在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 习题 10-5 第六节 二元函数的极值 一、二元函数的极值 二、二元函数的最大值与最小值 三、条件极值 习题 10-6 本章小结 复习题十 自测题十 案例学习——广告投资决策问题 第十一章 多元函数积分学 第一节 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 二、二重积分的几何意义 三、二重积分的性质 习题 11-1 第二节 二重积分的计算 一、 在直角坐标系下计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 习题 11-2 第三节 二重积分的应用 一、求空间立体的体积 二、求曲面的面积 三、求平面薄片的重心 习题 11-3 本章小结 复习题十一 自测题十一 第十二章 级数 第一节 无穷级数的概念与性质 一、无穷级数的概念 二、无穷级数的性质 习题 12-1 第二节 正项级数及其敛散性 一、正项级数及其收敛的充要条件 二、正项级数收敛的比较判别法 三、正项级数收敛的比值判别法 习题 12-2 第三节 绝对收敛与条件收敛 一、交错级数及其敛散性 二、绝对收敛与条件收敛 习题 12-3 第四节 幂级数 一、幂级数的收敛半径与收敛域 二、幂级数的运算 习题 12-4 第五节 函数展开成幂级数 一、泰勒公式 二、初等函数的幂级数展开式 三、幂级数的应用 习题 12-5 第六节 傅立叶级数* 一、三角函数系的正交性 二、以2π为周期的函数f（x）展开成傅立叶（Fourier）级数 三、以2L为周期的函数f （x）展开成傅立叶级数 本章小结 复习题十二 自测题十二 阅读材料 第十三章 Mathematica数学软件简介 第一节 Mathematica基础 一、Mathematica的主要特点和功能 二、数、变量、函数 第二节 代数运算 一、化简计算结果 二、常用的因式分解函数 第三节 微积分 一、求极限 二、求导数 三、求极值 四、求不定积分 五、求定积分 六、解常微分方程 七 无穷级数 第四节 利用Mathematica作二维图形 一、一元函数的图形 274 二、二维参数图形 276 第五节 利用Mathematica作三维图形 一、二元函数的图形 二、三维参数图形 附录 一、希腊字母 二、积分表 习题参考答案 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 参考文献

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作者简介

实用高等数学，ISBN：9787115288431，作者：

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