代数基本概念

内容概要

i.r. 沙法列维奇(igor r. shafarevich)，著名代数学家。1923年6月3日生于乌克兰日托米尔 (zhytomyr)，罗蒙诺索夫国立莫斯科大学教授。早年在斯捷克洛夫数学研究所获得博士学位（师从boris delone）。对代数数论、代数几何和算术代数几何有基本的重要贡献。工作包括shafarevich-weil定理，golod-shafarevich定理、tate-shafarevich群、 grothendieck-ogg-shafarevich公式、néron-ogg-shafarevich 准则、有限可解群是有理数域上的galois群的证明、关于代数曲面的研究等。1959年获得列宁奖章。苏联（俄罗斯）科学院通讯院士和美国科学院外籍院士。

李福安，1944年1月生，浙江杭州人。1966年7月毕业于复旦大学数学系，1978年考取中国科学院数学研究所代数专业研究生（师从万哲先院士），1981年12月获理学硕士学位，1986年3月获理学博士学位。从1981年12月起在中国科学院数学研究所（数学与系统科学研究院）工作，1993年11月晋升为研究员。任algebra colloquium副主编。

书籍目录

《代数基本概念》

《数学概览》序言

中文版前言

前言

第1节 什么是代数？

坐标化的思想。例子：量子力学词汇表，关联公理和平行性的有限模型的坐标化。

第2节 域

域的公理，同构。独立变量的有理函数域；平面代数曲线的函数域。laurent级数域和形式 laurent 级数域。

第3节 交换环

环的公理；零因子和整环。分式域。多项式环。平面代数曲线上的多项式函数环。幂级数环与形式幂级数环。boole环。环的直和。连续函数环。因子分解；唯一因子分解整环（ufd）ufd的例子。

第4节 同态和理想

同态，理想，商环。同态定理。函数环中的限制同态。主理想整环；与ufd的关系。理想的积。域的特征。给定多项式有根的扩张。代数闭域。有限域。用极大理想和素理想上的函数表示一般环的元素。作为函数的整数。超积与非标准分析。交换的微分算子。

第5节 模

直和与自由模。张量积。模的张量幂、对称幂和外幂，对偶模。等价的理想和模的同构。微分形式模和向量场。向量空间族与模族。

第6节 从代数角度看维数

模的秩。有限型模。主理想整环上的有限型模。noether 模和noether环。noether环和有限型环。分次环的情形。扩张的超越次数。有限扩张。

第7节 无穷小概念的代数观点模2阶无穷小的函数和流形的切空间。奇点。向量场与1阶微分算子。高阶无穷小。射流和微分算子。环的完备化，p进数。赋范域。有理数域和有理函数域的赋值。数论中的p进数域。

第8节 非交换环

基本定义。环上的代数。模的自同态环。群代数。四元数与可除代数。扭曲子纤维化。可除代数上n维向量空间的自同态。张量代数和非交换多项式环。外代数；超代数；cli?ord代数。单环和单代数。可除代数上向量空间自同态环的左理想和右理想。

第9节 非交换环上的模

.模和表示。代数用矩阵形式的表示。单模，合成列，jordan-holder定理。环或模的长度。模的自同态环。schur引理。

第10节 半单模和半单环

半单性。群代数是半单的。半单环上的模。有限长度的半单环；wedderburn定理。有限长度的单环与射影几何基本定理。因式和连续几何。代数闭域上有限秩的半单代数。对有限群表示的应用。

第11节 有限秩的可除代数

r或有限域上的有限秩可除代数。tsen定理和拟代数闭域。p进数域和有理域上有限秩的中心可除代数。

第12节 群的概念

变换群，对称，自同构。动力系统的对称和守恒律。物理定律的对称。群，正则作用。子群，正规子群，商群。元素的阶。理想类群。模的扩张的群。brauer 群。两个群的直积。

第13节 群的例子：有限群

对称群和交错群。正多边形和正多面体的对称群。格的对称群。晶体的类。由反射生成的有限群。

第14节 群的例子：无限离散群

离散变换群。晶体群。lobachevsky平面的离散运动群。模群。自由群。由生成元和关系确定的群。逻辑问题。基本群。纽结群。辫群。

第15节 群的例子：lie 群和代数群

lie群。环面。在liouville定理中的作用。

a 紧致lie群

典型的紧致群以及它们之间的一些关系。

b 复解析lie群

典型的复lie群。其他一些lie群。lorentz群。

c 代数群

代数群，ad`ele群。tamagawa数。

第16节 群论的一般结果

直积。wedderburn-remak-shmidt 定理。合成列，jordan-h¨older

定理。单群，可解群。单紧致 lie 群。单复 lie 群。有限单群，分类。

第17节 群表示

a 有限群的表示

表示，正交关系。

b 紧致lie群的表示

紧致群的表示。在群上积分。helmholtz-lie 理论。紧致 abel 群的特征标和 fourier 级数。4维riemann几何中的weyl和ricci 张量。su(2)和so(3)的表示。zeeman 效应。

c 典型复 lie 群的表示

非紧致lie群的表示。有限维典型复lie群表示的完全不可约性。

第18节 群的一些应用

a galois 理论

galois理论。根式解方程。

b 线性微分方程的galois理论(picard-vessiot 理论)

c 非分歧覆盖的分类

非分歧覆盖的分类和基本群。

d 不变式理论

不变式理论的第一基本定理。

e 群表示和基本粒子的分类

第19节 lie 代数和非结合代数

a lie 代数

poisson括号作为lie代数的例子。lie环和lie代数。

b lie 理论

lie群的lie代数。

c lie 代数的应用

lie 群与刚体运动。

d 其他非结合代数

cayley 数。8 维空间的 6 维子流形上的殆复结构。非结合的实可除代数。

第20节 范畴

图和范畴。泛映射问题。函子。拓扑中发生的函子：圈空间，双角锥。范畴中的群对象。同伦群。

第21节 同调代数。

a 同调代数概念的拓扑起源

复形及其同调。多面体的同调和上同调。不动点定理。微分形式和 de rham 上同调；de rham 定理。长正合上同调序列。

b 模和群的上同调

模的上同调。群上同调。离散群上同调的拓扑意义。

c 层上同调

层；层上同调。有限性定理。riemann-roch 定理。

第22节 k-理论

a 拓扑 k-理论

向量丛和函子 vec(x)。周期性和函子 kn(x)。k1(x) 和无限维线性群。椭圆微分算子的符号。指标定理。

b 代数 k-理论

投射模类的群。环的 k0，k1 和 kn，域的 k2 及其与 brauer群的关系。k-理论和算术。

关于文献的注释

参考文献

人名索引

主题索引

作者简介

《代数基本概念》是沙法列维奇的经典名著之一，目的是对代数学、它的基本概念和主要分支提供一个一般性的全面概述，论述代数学及其在现代数学和其他科学中的地位。

《代数基本概念》高度原创且内容充实，涵盖了代数中所有重要的基本概念，不只是域、群、环、模，而且包括群表示、lie群与lie代数、上同调、范畴论等。它不是按照代数教科书的传统模式写的，而是反映了作者的强烈观点：“用基本例子的一批样本，它会表达得更好。这给数学家提供了动机和实质性的定义，同时给出这个概念的真实意义。”

书中共有精心挑选的164个例子和45幅图，给读者提供了物理背景和直觉，通过它们能够对抽象的概念产生更深的印象。相对而言，书中只有6个引理和104个定理，而且这些定理往往不加证明，只给出证明思路，这将大大刺激读者的思考，激发更大的兴趣。

《代数基本概念》起点并不高，大学数学系二、三年级的学生能够读懂大部分内容。本书文前附季理真撰写的有关本书作者和本书内容的精彩介绍。读者对象是大学数学系的学生、数学专业任何方向的研究生、教师和研究工作者，包括已经成名的数学家。理论物理学家和其他自然科学领域的专家也会对本书有兴趣。

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