《数学悖论与三次数学危机》章节试读

《数学悖论与三次数学危机》的笔记-第169页 - 第2编 贝克莱悖论与第二次数学危机

“分析”一词有多种意义。在数学中，容易想到有一种与综合法相对的证明方法叫分析法。这种方法是先假定结论是真的，倒推回去，推出一已知为真的命题。“代数学之父”韦达认为代数就是一种分析（倒推）法，要解一个问题，先根据结论列出方程，再倒推回去，得出方程的根。在17世纪，分析与代数成为同义语，不就，出现了微积分，牛顿、莱布尼茨都认为它是代数的扩展，不过和代数毕竟有所不同。微积分以“无穷”为研究对象，而无穷小是其中最重要的概念，因此微积分常被称为无穷小分析。

《数学悖论与三次数学危机》的笔记-第192页 - 第2编 贝克莱悖论与第二次数学危机

柯西曾经对于极限给出的描述偏直观“要多小有多小”“充分接近”。
德国人维尔斯特拉斯给出著名的“ε-N（ε-δ）”定义。
其定义使得极限和连续性摆脱了对于几何和运动的依赖，给出了只建立在数与函数概念上的清晰的定义。
两个例子对比柯西和维尔斯特拉斯极限定义的不同处理方法。
eg1.考察数列{1/n}在n→∞时的极限，容易知其极限为0.
柯西式语言：当n无限增大时，1/n与固定值0之差要多小就有多小；
维尔斯特拉斯定义：任取正数ε，总存在一个自然数N，使得n〉N时，都有|1/n-0|<ε。
eg2.考察函数($x^2$)在x→2时的极限，容易知其极限为4.
柯西式语言：当x无限接近于2时，x2的函数值与固定值4之差要多小就有多小；
维尔斯特拉斯定义：任取正数ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-2|<δ时，都有|($x^2$)-4|<ε。
（不得不说，对于初学数分的人来说，(ε,δ）定义充满了科学的严谨美感）

《数学悖论与三次数学危机》的笔记-第242页 - 第3編 羅素悖論與第三次數學危機

羅素悖論及一系列悖論的出現，使得許多數學家對集合論乃至整個數學的基礎產生了疑惑。這一疑惑並未隨集合論公理化體系的建立而消除。許多數學家相信這次危機涉及數學的根本，必須對數學的基礎加以嚴密的考察。在這種考察的過程中，不同數學家從不同的角度對數學基礎提出自己的意見。這使得從1900年到1930年左右，眾多數學家捲入一場大辯論當中。原來不明顯的意見分歧逐漸擴展成學派的爭論，以羅素為代表的邏輯主義，以布勞威爾為代表的直覺主義及以希爾伯特為代表的形式主義三大學派應運而生。有人曾戲謔的稱羅素為兔子，布勞威爾為青蛙，希爾伯特為老鼠，這場爭論亦稱“兔、蛙、鼠之戰”。

《数学悖论与三次数学危机》的笔记-第211页 - 第3編 羅素悖論與第三次數學危機

1.康托爾集合論發展1——實數集不能同自然數集裡的元素一一對應。
2.康托爾集合論發展2——單位區間（或整條直線）上的點與整個平面上的點是一樣多的。它們都是不可數集，具有相同的勢。
3.康托爾集合論發展3——一般的n維空間也可以和直線一一對應，任意n維空間上的點都是不可數集。

《数学悖论与三次数学危机》的笔记-第219页 - 第3編 羅素悖論與第三次數學危機

數學證明的方法：
1.構造性證明——要證明存在一個元素滿足某性質，那麼或者具體給出滿足這一性質的元素，或能找到一個機械的程序，按照它進行有限的步驟後，能確定出滿足這一性質的元素構造性方法在歷史上曾廣泛使用，特別中國傳統數學。
2.存在性證明：
康托爾對超越數的證明（p220）指出超越數存在，但是沒有構造出一個具體的超越數。

《数学悖论与三次数学危机》的笔记-第177页 - 第2编 贝克莱悖论与第二次数学危机

调和级数的真正精彩之处在于它发散的极慢。一代又一代数学家为止着迷。
约翰.贝努利给出了调和级数的一种证明。
雅各布.贝努利在书中记录了其弟的发现，写短诗一首：
正如有限中包含着无穷级数，
而无限中呈现极限一样；
无限之灵魂居于细微之处，
而最紧密地趋近极限却并无止境。
区分无穷大之中的细节令人喜悦！
小中见大，多么伟大的神力！
（数学家身份还真是转换自如 = =|||）

《数学悖论与三次数学危机》的笔记-第154页 - 第2编 贝克莱悖论与第二次数学危机

在贝克莱看来，数学家们相信微积分如同自己相信神学一样，都是一种信仰。“那些对宗教教义持慎重态度的数学家们，对待他们自己的科学是不是也抱着那样严谨的态度？他们是不是不凭证据，只凭信仰来领会事物，相信不可思议的东西呢？”虽说，贝克莱是想利用微积分的不完备为神学辩护，但不能否认，他对微积分基础的批评是一针见血，击中要害的。他揭示了早期微积分的逻辑漏洞，将微积分在概念、基础方面的缺陷来了一个大曝光。

《数学悖论与三次数学危机》的笔记-第230页 - 第3編 羅素悖論與第三次數學危機

羅素悖論（不是理髮師的那個表述）
羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。S是否屬於S。

《数学悖论与三次数学危机》的笔记-第142页 - 第2编 贝克莱悖论与第二次数学危机

除其他方面的成就外，在数学方面莱布尼茨也作出多方面贡献。他对组合、线性方程组、行列式进行过研究，对消元法从理论上进行了探讨，在1693年提出行列式概念；他系统阐述了二进制计数法，并用它的这一发现理解中国古老的易图，发现了易图的结构原理可以用二进制数学予以解释；提出符号逻辑思想，指出发明“推理演算”和逻辑代数的重要性，并为此做了一些超越于时代的工作，从而引导了后来的数理逻辑；他还是制造计算机的先驱。1673年，在对伦敦短暂访问期间，27岁的莱布尼茨向人们展示了一台能够执行加减乘除四种基本运算的计算机模型。
……神人……= =|||

《数学悖论与三次数学危机》的笔记-第149页 - 第2编 贝克来悖论与第二次数学危机

牛顿称微积分为流数法（fluxions）这个名称后来逐渐被淘汰了。莱布尼茨使用“差的计算”（Calculus differentialis）与“求和运算”（Calculus summatorius）的术语。“差的计算”后来变成专门术语“微分学”（differential calculus）。莱布尼茨的弟子，瑞士数学家约翰.贝努利主张把“求和运算”改为“求整运算”（calculus integralis），后变成专门术语“积分学”（integral calculus）的来源。这就是西方微分学、积分学名称的来源，两者合起来叫做微积分学，英文里简称“calculus”。我国第一本微积分，同时也是第一本解析几何汉译本，是李善兰和伟烈亚力合译的《代微积拾级》（1859）。译名中的“代”指“解析几何”（当时叫代数几何），“微”指“微分”，“积”指“积分”。我国有“积微成著”的成语，意思是微小的事物积累多了也会很显著。李善兰很可能是借用这里微积的字样，而把“calculus”译作“微积”，这是我国微积分名称的起源。

《数学悖论与三次数学危机》的笔记-第141页 - 第2编 贝克莱悖论与第二次数学危机

莱布尼茨还是一位社会活动家，他的一些创举使科学受益匪浅。从1695年起，他就一直为在柏林建立科学院而四处奔波。1700年，莱布尼茨终于一手促成了柏林科学院的创建，并出任第一任院长。彼得堡科学院、维也纳科学院也是在他的倡议下成立的。莱布尼茨的科学远见和组织才能，有力的推动了欧洲科学的发展。据说他还曾写信给中国康熙皇帝建议成立北京科学院。
就弱弱说一句，把莱布尼茨和康熙联系在一起，有一种非常不真实的感觉，微积分和东方庞大的神秘的凝滞的古国，这个关联太奇异……一点读后感，这就是历史的真实，虽然我现在还是有点觉得好奇幻。

《数学悖论与三次数学危机》的笔记-第172页 - 第2编 贝克莱悖论与第二次数学危机

一则八卦：
1697年，约翰.贝努利发表元旦公告，寻求关于问题“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，沿什么曲线滑下所需时间最短”的答案。
牛顿此时已任职造币厂，停止了创造性的数学研究活动，收到此份挑战书，在数学问题上，牛顿不喜欢被外国人挑战，自他下午四时归家至凌晨四点，解完这道题，牛顿才休息。
挑战期限截至，贝努利共收到五份答案：他自己的、莱布尼茨的、雅各布、洛必达的，第五份来自英国，匿名的，却完全正确。据说，贝努利看后，敬畏的放下答案，说“从利爪中我认出了雄狮”。
牛顿果然是神人……