《张量算法简明教程》章节试读

《张量算法简明教程》的笔记-第2页 - 绪论

2 坐标系可分为直线坐标系和曲线坐标系， 前者的基/底矢量在全场方向各大处相同，后者的基矢量全场方向各处不同。其中直线坐标又分为笛卡尔坐标系和仿射坐标系，前者的基矢量恒为单位矢量，后者的基矢量不一定是单位矢量，且各处不同。坐标系还可分直角坐标系和斜角坐标系，前者正交后者非正交。空间则分为平直空间和弯曲空间，前者能建立笛卡尔坐标系，有欧氏几何，后者不能建立笛卡尔坐标系，只有非欧几何，比如黎曼几何。
3. 求和约定，求和记号被约定省略了，n是虚指标，哑指标，可以用任何字母代替。
4. 规律1.附带一个基底矢量的是矢量，矢量是一阶张量；附带二个基底矢量的是张量，它是二阶张量。附带三个基底矢量的三阶张量。。。2.标量的梯度矢量，如力，速度是矢量，而矢量的梯度是二阶张量。3一个矢量有三个分量，与这三个分量对应的是一个行矩阵或一个列矩阵，一个二阶张量有九个分量，一个方矩阵。
19 任意曲线坐标系是由无数个附着于空间各点的小斜交直线坐标系集合而成的，每个小斜交直线坐标系只用描述空间一点及无穷小的一个领域里的坐标的空间性质。曲线坐标线的方向当然只能是指曲线坐标线上某点处曲线的切线方向。任意曲线坐标系与笛卡尔直角坐标系的第二大区别是它的斜交性，逆变基底矢量，协变分量，逆变分量。求导性。度规张量的协变分量和逆变分量。
38 既表示一个张量，又表示张量的一个元素，当指标是哑的指标时，表示一个张量，当指标是实的指定指标时，表示张量的一个元素。张量和向量一样，是一客观存在的物理理的数学抽象，它独立于坐标系存在，但要具体描述它又离不开坐标系。
40 张量本身一样的大写字母加上上指标表示其逆变分量，加上下指标表示其协变分量，这与向量分量的表示法不同，在向量的情况下，大写字母表示其物理分量，这是因为张量的物理分量使用不多。
42 张量的连并：两个张量相乘时，如果一个张量的逆上标和另一个张量的协标下标相同时，则其乘积称为连并，连并时相同的逆协指标消去，并按消去的指标个数分别求和。两个矢量的连并就是它们的内积。张量的缩并：如果同一张量的逆标和协标相同，则进行缩并，缩并时按每一对机同的标号按1，2，3，，K求和。张量指标的升降，度规张量。
46分别是xi坐标方向的协变基底向量对xj求导的导数在一个坐标方向的协变和逆变分量，叫第一类和第二类克氏记号Christoffel 克氏记号性质：1.头二个指标是对称的2. 第三个指标可以和张量的指标一样上升和下降3. 克氏记号和度规张量系数之间的关系4. 在笛卡尔坐标系中，克氏记号恒等于零，gij等于零。5. 两个不同的曲线坐标系的克氏记号有如下的转换定律，它与张量的转换定理式不同，说明克氏记号不是一个张量。多了最后一项，只有当此二式中右边最后一项为零时，克氏记呈的转换关系式才与张量的转换关系式相同。两个坐标系是姻联的6. 若能求出克氏记号，就能求出协变基底对坐标变量的导数，逆变基氏对坐标变量的导数也可求出，因为克氏记号对δij对坐标变量的导数就为零。三阶张量，叫挠率张量
54 协变导数的几何解释：普通求导是这样进行的，求出矢量V或A在P与P’两点的差值，再除以P与P’两点的距离，或坐标的差距Δxk, 最后取极限，求这个A在P与P’两的差值时，需要将A自P点平移到P’点，才能对两个向量进行运算，而在曲线坐标系中，前后向量的对应分量不再相等，因此只有考虑到向量平衡的增量，才可以将普通求导及微分的定义推广到曲线坐标系中。