《数学：确定性的丧失》书评

幾乎就是外行者言

作者顯然對現代數學缺乏應有的瞭解，於是這些由於符合某種體制國家官方教義因而佔領其市場的胡言論語，就純屬一個笑話。由於作者缺乏足夠的現代數學修養，因而書中錯漏百出，笑話不斷。特此查了一下作者的背景，一個並不成功的應用數學工作者（不是研究者），轉行搞起了數學史，如此而已。

数学的真谛

这个世界上流传着一个深入人心的奇谈怪论——数学是理性的学科，数学是逻辑的学科，数学的人类理性的精华，数学是自然科学的皇后。不，不是，数学是经验的学科，数学是人类经验的提炼，“数学是自然科学的女仆”。一切数学工作者，若不能理解这一重要的判断，数学的发展就没有什么价值。（本书中，作者就批判了某些数学分支不顾经验基础只顾逻辑自洽的盲目发展，如代数拓扑、泛函分析等。）关于数学的唯理性、纯逻辑的神话是从什么时候开始的呢？不消说，自然是希腊时代。“万物皆数”，“不懂几何学的人禁止入内”，这舆论压力就奠定了几千年的数学传奇。 希腊时期，数学这门学科有四个分支——代数，几何，音乐，天文。为什么会有音乐和天文呢？因为乐律的谐和中有着整数比的奇妙关系，天文更不必说，苍黄天地的几何关系。因此，自然界是按照数学规律创造的，数学真理是确定的，是经由人类的理性才能达到的。自然（音乐天文）是被数学（几何代数）牢牢压制住的。不，不对，希腊人说反了。渺小的人类发现了自然界中的抽象规律，并把它称之为“数学”。数学不是客观真理，数学是人的主观创造。人类真是不孝，经验之母的哺育喂养非但使人们感恩戴德，反倒回过头来划清界限、恶言相向。“上帝只创造了自然数，其他都是人类的发明。”结果人们却无限讴歌上帝吹嘘理性，把无理数、复数的客观存在都归到上帝的门下，以此来求得对自身脆弱智慧的一丝安慰和坚定信赖。为什么过一点有且只有一条直线与已知直线永不相交，因为人类的经验；为什么矩形的面积等于长乘以宽，因为人类的经验（你说说，为什么这个面积不乘上一个常系数？）；为什么要提出“极限”的概念，因为人类的经验（你说说，微积分能不能找到其他的逻辑基础？本书中提到了这样的研究成果）；为什么拓扑里面要先定义开集，因为人类的经验（你说说，你理解拓扑空间的三条定义吗？）；为什么群环域研究的是二元运算而不是三元四元，因为人类的经验；为什么概率论中的事件域要满足sigma域的三条定义，因为人类的经验（你说说，为什么一定要有sigma域关于极限的第三条定义，这是不是人类经验的总结？）；为什么Fisher创立的统计学是有效的而Pearson的理论被摈弃了，因为人类的经验；为什么素数这个基本的概念会引领了几百年的数论研究，因为人类的经验（你说说，“素数”的概念是不是人类的发明？）。数学：确定性的丧失。我觉得副标题还不太恰当，似乎应该叫作“唯理性、唯一性、纯逻辑、纯思辨的丧失”。现代数学发展到这里，人们应当承认，数学真的不是人类大脑脱离经验的逻辑化产物。全书大致可以分成四个部分。一，几何学的历史。欧氏几何学上千年的压倒性地位，使得人们长期以来将数学看作人类理性的硕果。非欧几何出现，人们方才认识到数学并不是纯意识的产物。二，代数和分析。在希腊时代，代数由于其实用性、经验型，是遭鄙视的。阿拉伯世界带来了对代数的兴趣，笛卡尔的发明使得代数与几何并驾齐驱。继而是数系不明、微积分概念混乱的数学界几百年辉煌发展，直到十九世纪才确定了一切逻辑基础。三，十九世纪末开始的数学公理化运动，四大派别轮番登场，各不相让，直到哥德尔平地一声惊雷，啪啪啪，全被劈死了。四，重新思考，数学的基础，数学的目的究竟是什么。数学的目的究竟是什么？数学逻辑基础的争论快要过去一百年了。其后的这一百年间，争议似乎被搁置了，好像很和睦，然而也是数学开始与物理物理分道扬镳的一百年。一百年来，在重大的科学（主要说物理学吧）进展面前，数学工作者几乎全体失语。布朗运动的数学描写，是Einstein做的；统计物理的数学基础，是Gibbs完成的；凡称量子力学，必追溯Dirac；七大问题中的Yang-Mills自不必说；非线性方程的发迹、混沌现象的重大进展，是由一个气象学家（Lorentz）提出的。数学家们好像永远都跟在物理学家的屁股后面，做些公理化、逻辑化的无谓工作。要不然就是闭门造车，有限单群分分类，解的存在唯一性证一证，把代数几何、代数拓扑、调和分析、算子代数等等不知所云的学科推进到更加不知所云的地步。现在的数学工作者们，已经完完全全地丧失了从自然科学中提炼数学问题的能力，要解决问题也需要别人把问题清清楚楚地用数学形式提好了再去解决，仿佛这就是Newton、Euler、Gauss、Riemann留给我们的优良传统。问题要都提好了，谁还需要你？逻辑就是数学的一块遮羞布。当打扮得光鲜亮丽的时候，谁去关心你内裤是什么颜色的。当你脱得啥都没有了的时候，只好羞怯怯地说——瞧，我们还是挺讲逻辑的。（你不信吗？你来说说，黎曼zeta函数在不收敛处是怎么定义的？这符合逻辑吗？）这本书要告诉我们的就是这件事情。数学的真理是唯一客观存在的吗？不是。数学的真理性既不依赖于严谨的逻辑，也不依赖于光辉的理性。不，这些都拯救不了数学。只有对自然的合理诠释才唯一地成就数学的合法性。“孱弱无能的理智啊，你该有自知之明！” ——Pascal

确定--性的丧失

高中时代的装比丛书第一册，曾经喜欢把它放在课桌上--当然，要翻过来封面朝下放。晚自习时无聊了可以翻翻看看。但主要是静候有人走过来--看到这本书--翻过来看看封面--皱着眉头看了几页--最后夸奖我说你好有品味看这么深奥的书。我心中顿时就会像磕多了大白兔奶糖一样甜丝丝的，但是表面一定要装作若无其事（这点是关键中的关键）。最后随口点评本书几句，要褒中带贬欲扬先抑。礼成。本书的段落大意中心思想我已经忘怀了，不过好像还蛮通俗的，在饭堂吃饭时也可以和人一本正经的讨论数学。不过总之那些都不重要。重要的是书名要读对了，rt。

数学和文明

不得不说，这是一本具有相当思想深度的书。读罢前面部分，感觉自希腊文明的鼎盛时期（公元前几百年）至文艺复兴（16世纪），人类的数学、科学知识及哲学思想的文明发展程度几乎停滞不前，直至火药和印刷术的发明（分别促进生产力的大发展和使知识的广泛传播成为可能），人们重新发现了古希腊文化，艺术、哲学、科学都从中汲取灵感，逐步从量变到质变，人类文明得以爆发式发展，才有了现在这个科学技术主导的世界。

膜拜

数分老师一上大学就推荐我们读这本书，我直到大三才把它买回来。好像是我的第一本科普书。学数学一回，好得看看这本书。书中包含了数学的发展，印象很深的毕达哥拉斯学派发现了无理数，康托关于无穷大小的比较。

牛郎织女的数学问题

（我的一篇旧文，见笑。）天上方一日，人间已千年。口口流传，都是这么说。古人因此对牛郎织女产生了诸多疑问，我粗粗研究了一下这个相对论，大致成果如下：一、如果两人一年相会一次，按照每年365天，每天相当于人间千年计算，也就是说，他们每365000年（人间时间）才能相会一次。俗话说：小别胜新婚，这两位如此这般的聚少离多，“金风玉露一相逢，便胜却人间无数”，那是没的话说。二、如果天上每日24小时，每小时60分钟，那么一天也是1440分钟。这段时间相当于人间千年，有一千次七夕，意味着牛郎织女每1.44分钟（天上时间）就要相会一次。在不到90秒时间里要完成前戏后戏，几乎是不可能的任务吧。一种是快动作，一种是慢动作，想来想去，的确蛮搞脑子的。

我是怎么了解德国人的？（只是没想到英国人也一样蠢）

因此，康托尔本人发现了困难就不是微不足道的事情了。他已指出了存在着越来越大的超限集和与之相应的超限数。1895年，康托尔开始研究由所有集合组成的集合，它的基数应该是能存在的最大数了。然而，康托尔已经证明过一已知集合的所有子集构成的集合，其基数大于这已知集合的基数，因此，存在着一个比最大的数还要大的超限数。康托尔认定人们同时必须要区分开他所称为相容的和不相容的集合，并在1899年就此写信给戴德金，意思是不能谈论由所有集合组成的集合及其基数。当罗素第一次看到康托尔关于所有集合的集合的结论时，他并不相信。他在1901年的一篇随笔中写道，“康托尔一定犯了某个微妙的小错误，我会在将来的某些工作中对此加以阐明。”他还补充说，一定存在着一个最大的超限集合，因为如果什么都考虑进去了，那么就没有什么可以增加的了。罗素致力于这件事，并给这个当时时髦的问题又加上了他的“悖论”。对此，我们将马上予以讨论。16年后，当罗素重印他的随笔《神秘主义与逻辑》时，他增加了一条注脚对他的错误表示歉意。

翻了一遍而已

翻完了数学与确定性的丧失1 不喜欢这个标题，因为它并不能概括书中介绍的数学放展历史和现况。对于复杂的真实世界，如果用语言去描述，那么随着生活经验的增加，所需要的语言也更复杂，词汇意义更微妙或更专一，词汇量也越来越大。用数学去描述，自然也是会导致更多更繁琐的数学的发明。这是复杂性的体现，不是确定性的丧失。2 莱茵河泮耸立了几个世纪的古堡，下边有一群蜘蛛结了一张大网。有一天，大风把网吹破了，蜘蛛们忙着修补，因为他们认为这网是这古堡的基础，破了，古堡就坚持不了多久了。数学基础理论的思考好像不是数学本身，我依然觉得存在一个被验证过的上百年的理论是不怕一些纯粹逻辑思维质疑的，好比太阳照样升起，不惧怕历法计算的错误。公理基础的逻辑体现可能就是社会的法律体系，即不能囊括一切社会的行为，也不能杜绝各种各样的犯罪，只是没有它，社会难以维系。是应该有人证明逻辑包含于数学，数学包含于世界，或者其他层次关系的。3 数学专一化是让外行头疼的。应该有关心实用科学发展的数学家把他们认为有价值的纯数学理论介绍并应用于实际，否则数学就只是游戏机，而且我还不会玩。4 书里为表现同样主题引用许多人的说法，大量重复废话，不如用自己的话说出来完备简洁。翻书看不是读书，或许是我看丢了很多才认为它们无用。5 就概率性和确定性的调和问题应该是未来数学的一大课题，书中未涉及，或许是我关心的东西太狭隘了。

大牛也有标题党

拉格朗日《解析函数伦》的副标题：包含着微积分的主要定理，不用无穷小或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为“有限量的代数分析艺术”还着重了引号部分。好家伙，这就是说，牛顿，莱布尼茨你们统统不给力。再来看贝克莱主教的《分析者，或致一个不信教的数学家，其中审查现代分析对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》。真的够长的，充满着一股看我不曰死你的架势。不过基本概括了他的书的主要思想了。他的抨击对象牛顿哈雷等众不用翻书就知道是写啥内容的。当然没有众大牛的华山论剑，也不会有数学的现在。这正是这部书有趣的地方。

确定性的丧失

确定性的丧失已将有200余年了，因此才有确定性，因此才能分辨有理事件和无理事件，因此才有明天的存在，否则就没有真知灼见，因此感谢不确定性吧！因为他给予我们以自由平等的氛围，因此才有自己的存在。

数学不是天然的宝石，只是人工的

“数学不是天然的宝石，只是人工的”，对这句话的印象很深。这本书对于深化对数学本质的理解很有帮助。非欧几何的出现撼动了欧氏几何的绝对真理宝座，数学只是天才的想象和人为的选择。

译文简论

最近看了不少翻译叫人恼火的书。相比之下，这本书中规中矩的译文都显得有些亲切可爱了。PS：我看的是2007年4月版。■简单说，主要还是一些人名、术语的翻译不太主流。比如“笛卡尔”译成“笛卡儿”，“达朗贝尔”译成“达兰贝尔”，“莫佩尔蒂”译成“莫帕图伊斯”；“本轮”“均轮”分别译成“周转圆”“从圆”等等。另外，“斯涅尔”有两个地方又写成“施奈尔”，“歌德”写成“哥德”（但是最后的对照表里又是“歌德”）等等。比较无语的是p.160这句：在他给J·格雷戈理的侄子D·格雷戈里的一封信中……而比较严重的大概是p.16出现的柏拉图著作《爱好者》吧。我粗略查了下，柏拉图对话里出现了Protarchus这个人的好像只有“Philebus”这篇，一般直接音译。另外《理想国》也译成罕见的“共和国”。（虽然有人认为这两个都不准确，应该翻成“治国篇”。）■然后就是句子结构不太自然。偶尔会出现一些第一遍看不太明白的长句；或是插入语又把句子搞得零零碎碎；或者是分句之间关系有点乱。比如p.104的这句：【……尽管这本书是1832~1833年出版的，但是在罗巴切夫斯基的著作出版之后，J·鲍耶似乎是在1825年就已经形成了有关非欧几何的思想……】“但是”的位置不太对。这样的句子还有一些，但是不影响大意的理解。■有句话前后出现了两次，翻译不太一样：p.2 【牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他已发现了它的规律。】p.70 【牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他成功地发现了它的定律。】当然，也可能是原文就不太一样。■有几句有歧义：P.55 【最著名的就是他的废除物理解释的主张——亚里士多德奉为科学的真正目标——……】还以为亚里士多德的目标是废除物理解释。■然后就是上帝的“性别”：p.74 ……上帝是位伟大的智者，正是【她】创造了……p.81 ……是上帝存在和【她】富于智慧的第一个科学明证。p.83 【她】还创造了正弦定律，使光在折射时遵循。（引用文字）不论是正文还是引文，都用的“她”，我觉得这应该是译者改的。但是在p.97，又出现了：上帝决定要惩罚……因而【他】转而鼓励非欧几何……■目前唯一可以确定的一个大错，是p.97欧几里得第五公设的翻译：【如果一条直线与两条直线相交，使得一侧的内角都不是直角，则如果将这两条直线延长，它们在内角都不是直角的直线一侧相交。】内角都不是直角也可以平行。应该是“内角和不是两直角”才对。而p.109【要是萨谢利早生100年】，感觉应该是【晚生】100年。■第十章“逻辑主义和直觉主义”对这两派写得很好，是我目前看过的书里分析得最清楚的。■最后是几个印刷错误：p.13：你不仅可以在鬼禅的事务上……“禅”疑应为“神”。p.32的图1.8像格式损坏了似的。p.54：被现在那部水远在我们眼前……“水”→“永”。p.99的注释：“渡诺那”疑应为“波诺那”。p.154：1/2log(-a)^3应该为1/2log(-a)^2。p.186：第一个式子，指数2应该在括号外。p.243：只有当户为真而q为假……“户”→“p”。p.306引文：他水远处于创造的状态中“水”→“永”。

人类已经一无所有

无理数、非欧几何、不完备……每一次重大的谬误的发生，均是人类不够理性的结果，虽然现实的结果一次次得使人类的思维走向抽象，不再信任自己的感觉，然而人类要完全摆脱已存在了几十万年的感性又谈何容易。人们每次在解决危机时候都得意忘形，以为自己已为数学找到了坚实的根基，但那所谓的根基所依托的，也不过是自己的（也许是存在于潜意识中的）感觉。人类无法放弃，或者说潜意识中不情愿放弃自己最后的直觉，因为那样，人类就会变得一无所有，正如同爱因斯坦对量子论的抵制。

数学的史诗

克莱因写的最好的书，我觉得比《古今数学思想》还要好。这几乎就是一部文学作品，跌宕起伏，峰回路转。还有很多这个行业的小故事，我觉得这是一部史诗似的著作，描绘了特别生动的数学世界。其中数学大家在历史上的一些错误会让你有一些小小的膨胀，因为你是在克莱因这条船上的，似乎你们的船正在成功的避开那些暗礁，而那些大家却浑然不觉。有时你不得不偏爱那些本身就是那个行业的牛人写的书，他们特别善于去除那些虚假的光环，而给你展示真正美的东西。我在看阿·热的《可怕的对称》时也有这样的感觉。

值得每一位上过中学的中国人阅读的好书

对于经受中国式数学工匠训练的国人来说，这本书很值得一读。一直以来，对于我们的教育方式有些不同的见解。其实很多情况下，遵循人类科学发展的路径来教育学生才更有效率——因为它更符合人类的认知规律。像我们这种培养工匠的方式常常无意间抑制和抹煞了创造力和探索精神。这本书给了我们一条完整的线索，让我们与大师一道重温数学发展之路。从中可以体会到人类是如何从懵懂状态发展出今天强大而丰硕的数学学科的。作者漫布于全篇的精辟评论，能够帮助我们更深刻地了解数学，乃至人类所有知识体系的发展规律。希望我们的中学教育不再仅仅是“对已知知识的灌输”，而同时重视保护和培养学生们发现未知的兴趣和能力。这才是以人为本的教育，而不仅是技能的训练！

使人深思的数学史—经济学研究生必读！

本书作者克莱因是著名的数学史专家,故该书文笔流畅,思想深刻,语言简明易懂。像我这样学经济的外行读来都相当容易。而且该书的译者很认真，译笔非常好，没有一点儿欧式腔，湖南科技出版社找对人了！ 个人觉得对于一般读者来讲，有两点好处：第一、读了可以对人类最精妙的数学思想有新的认识；第二、能启发人们的自然哲学观点。 因为，一个人要成功最好形成自己的哲学观点（或者说是一个思考框架吧），这样才能做到无论身处何地都进退有序，从容不迫。简而言之——做事有章法。而在形成自己的哲学观点时很有必要了解认识论的东西，更需要对世界本原的确定性有一个深刻的认识。而人类认识能力的最佳反映就是人类的智慧结晶——数学。这本书告诉你，理性很重要，也很有用，但是不要盲目崇拜理性。更不要盲目诋毁宗教和人类各种各样的非理性信仰。人类不可能仅凭理性来了解整个自然和世界的运转！ 最后，从一个已经掌握了基本数学工具的经济学研究者的角度，把这本书推荐给每位学习经济学的研究生们：你们在学习高级经济理论前，无不扎进基础拓补、数学分析、微分方程、优化理论、矩阵代数、随机过程、泛函分析和高等概率统计中一段时间。并且还会沾沾自喜于自己掌握的数学工具是多么的深奥，构建的模型是多么的复杂。但是，我不得不说，数学自身都是不确定的，我们能完全指望仅仅依靠数学就理解经济运行吗？克莱因在最后一章讲述了“数学推导出的定理和公式为何可以解释客观世界运行”这一问题。他引用了庞加莱的话：“人们通过修正物理定律使数学变得合适。”经济学不也是如此的利用数学吗？为了我们构建模型以及求解问题的方便，我们做了多少简化（注意不是假设）呢？而这些简化是客观的么？人类的偏好是连续的，效用函数是凸的，生产函数是凹的，因为求解极值方便；收益单位是必须是连续的，否则博弈论中的无名氏定理也是不成立，进而帕累托改进也值得怀疑，于是微观基础动摇了，在此之上的宏观模型呢？预期是理性的吗？是的，因为它数学上更容易处理......凡此种种，不一而足。 数学不仅将经济学深化了，也将其“神话”了。绝大多数“经济问题”和“经济学问题”的研究对象都是具体的而非抽象的，在研究中使用数理抽象方法，绝不意味着研究对象的抽象性。所以，借这本书给自己满是数学公式的脑子泼点冷水，知道在人类现实经济行为面前需要战战兢兢、如临深渊、如履薄冰是好的。不要以为自己DSGE模型求解一下，Matlab程序写了几篇草纸就是理解经济周期现象了，远远不是的！ 所以，一定读一读这本书，至少要读最后两章。

原来西西弗斯是推石头的那哥们

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和关系-论建立抽象数学的必要性

鉴于我有其它的工作要做，这里对数学的根本问题及出路做个简要的交代。数学的一切问题来都自西方占统治地位的原子论的影响。因为原子论总喜欢或渴望为所有的东西找一个最小单元并用他来表示所有的东西。这个在古希腊表现为赤裸裸的原子论，在近代则改性换面在科学中埋伏了起来。最初的面目是莱布尼茨的单子论，然后是罗素的逻辑原子主义，然后是维特根斯坦的逻辑哲学，最后还有弗雷格的数理逻辑。这些东西，有些直接影响或者说阻碍数学的发展与纠正，有些是间接的。弗雷格意识到1是数学最大的问题。他为这个写了长达几十页的论证。我没有看过这篇文章但是我知道他最后肯定失败了因为他仍然保留了1。另外1在最新的抽象代数中也有保留。这是原子论根深蒂固的另一个实例。1是问题，是因为整个数学基于它建立它的描述系统。而不是说它本身有问题。它本身能有什么问题呢是吧。但是它的本质，即单位元属性，使得它的使用除了问题。数学中到处都是1的影子。四则算术运算有它的影子，每个数都有它的影子。事实上，整个数学都是由它组成的！事实上，罗素就是基于1开始构建它的“数学基础”的，虽然也失败了。罗素与弗雷格的基本问题都在于，他们没能认识到数学的本质。他们天生地将运算看作本质而不是关系看作本质，所以当然就离不开1了。没有1怎么运算是吧。所以我说他们急功近利。下面开始说我的和关系。或者说运算的 和关系本质。注意1 天生存在，但是在运算中它不存在。它不能存在。在和关系中，没有1。因为和关系是抽象的关系而1是具体的1。数字都是具体的。我们要注意，描述性与和关系在哲学上的根本区别。两者是数学的两个应用目标。描述性是指数字系统而和关系是指运算系统。运算系统的目标是和关系。而数学由于历史的原因很自然地将数与和关系混在了一起，大家还以为她简洁。就像大家以为她逻辑，事实上她一点也不逻辑。所有的运算都是和运算。不存在超出和的运算。不存在乘法，不存在除法。数学的第一次危机由除法引起，没有除法就没有无理数。第二次危机由乘法与除法共同引起。第三次集合论危机事实上是逻辑学的一次危机，是逻辑本身的问题而不是数学使用逻辑的问题。而乘除法的问题就是它们不是逻辑。加法是逻辑，但乘除不是。悖论问题我在这里也不想讲，留给读者自己思考。这个问题其实很简单，我这么给个提示吧，罗素是个大骗子。乘法不逻辑体现在不同量也可以相乘。这个改变了数学的理解方向。是它，给予如x2这样的东西以合理性或存在性。而实际上在真正的量语义上，这个没有任何意义，但是数学家都当她是有意义的或者说都不管她。数学是一门事实上完全悬空的学科。它没有任何根据。它唯一的根据就是它自己。除法体现在，如，2/3，本来是确定的，古希腊欧克多斯做过相关的论述，但是被除法一除，确定性就丢了。另一个除法的问题则体现在它的身份上。因为他是乘法的逆“运算”，所以自然乘法有的问题除法都有。这里不说了读者可以自己去想。不同性质的量不能做任何运算。除了加法或减法。所有的乘方都是没有意义的。现在说微积分的问题。极限的意思就是：一个长方形的面积除以其宽度等于它的长度。这是个严重的错误！在量语义上。它把量关系全部打乱了。因为它的存在，牛顿、莱布尼茨以及后面很多人都没有办法建立正确的微积分逻辑基础，没有办法建立正确的极限基础（当然，这个反正不存在所以就让它去吧）。作为一个独立量，当她消失的时候，它就在消失；当她消失完了它就消失完了。不存在一个“随“自变量”变化”或趋近的极限。不存在自变量这样的东西。不存在函数这样的东西。函数没有本体性。函数代表的是一种逻辑推理，不是本体。所以不能对他做形而上学的分析！现在说数学的实证主义或者说实证主义数学。实证主义数学是指：我看着一个坐标上的长方形，令它的x,y值分别增长，于是我得到xdy+ydx+dydx的增量。就这个，就是微积分的全部内容。微分，不定积分，定积分都可以从里面来。这就是实证。当然这里面参与了数即描述系统，但是在这里它不影响和关系，因为我没有用极限。我用的是不会直接出问题的乘法。乘法与除法都有问题但是看用的环境即推理的环境会不会影响最终的结果。事实上我不喜欢把运算看成推理。因为在我的数学里没有乘除只有加法而我把加法看为关系所以不需要很明显的推理。但是你们在使用日常的乘除是就是在推理。比如：长方形的面积等于它的长度乘以宽度这个就是推理加描述。这里面是个非常复杂的推理。我后面有时间可能会特别讲一下这个。实证主义数学还有就是很容易证明加法：我堆一个泥人，再堆一个泥人，把左边这个用1表示，右边这个也用1表示，把两个一起用2表示，我立马就可以得出“1”+“1”=“2”的结论。类似......可以得出所有加法。当然你不一定要这么做，因为我还可以用归纳与分析方法建立更抽象的加法。算术、乘法和除法、微积分都是实证主义结果，但是数学家们总以为数学全部是推出来的。大错特错。这样当然就会犯错误了。说到这里我要否定一下直觉主义。根本就不是什么直觉（我觉得直觉是大脑的自动推理），就是经验，实证。一切都来自观察。从此也可以看出数学的片段性，即所有的数学片段象所有的物理定律一样，都是从实际观察中得到的片段结果。我并不否认建立一个整体性数学的可能，因为事实上我正打算这么做，但是这并不改变现有数学的断层事实以及从现有数学开始统一它自己的不可能性。因为它根本就不可能被连起来，进而形成一个贯通的理论，所以说它“不逻辑”。乘法，除法有非常大的问题。只要算术还在，数学就永远不可能有逻辑。罗素及弗雷格的根本问题就是都不敢碰算术，总想全身而退，只是来占便宜的。世界上有那么多好便宜可占，能从希腊人的口袋里流出来给你？综上，数学的所有问题都是逻辑问题。乘法是，除法更是，集合也是。都是逻辑问题。事实上从头到尾就只有逻辑问题，不存在其它的问题。因为一切都是逻辑，当然就只有逻辑问题了，怎么可能还有别的问题呢？

数学是什么

看完这本书，忍不住写书评了。从这本书的标题来看，它是讲数学的缺陷的。而当把这本书读完，才发现它讲的是一部数学的历史。和一般的数学历史书不一样，这本书没有复杂的公式，没有深奥的定理，它从人类认识和理解自然这个伟大的角度讲述数学的发展、思想，以及数学和科学的关系。看完这本书，你就会对数学的来龙去脉有一个比较全面的了解，你就会知道数学的历史并不是一帆风顺，你就会明白看似严密的数学却充满着各种各样的不稳定性。当然，这种不稳定性丝毫没有减少人们对自然、数学的热爱。这本书还告诉了你：数学是什么。在此，就不得不提到另一本书：《什么是数学》。如果说《什么是是数学》这本书是从“自底向上”的方法向读者讲述什么是数学，那么这本书就是用“自顶向下”的方法讲述什么是数学。就好比从飞机上鸟瞰一座宫殿，你首先被它的宏伟的气势震撼，被它精妙的布局吸引，然后就有走进去了解它的冲动。这就是“自顶向下”的魅力，也是这本书的魅力。看完这本书，就想把《数学分析》再重新看一遍，也想把《什么是数学》也重新看一遍。就像书中说的：“音乐能激起或平静认得心灵，绘画能愉悦人的视觉，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活，而数学则能做到所有这一些。”在看这本书的过程中，你就会发现，“数学”两个字越来越吸引人了。http://blog.chunhao.net/review-math-the-loss-of-certainty

克莱因主编的《现代世界中的数学》也很值得一读

http://www.douban.com/subject/2298747/?i=0克莱因的数学科普书都很好看，可惜大学里没遇见，否则对学习数学是很有帮助的。

理解无限——简明扼要的数学哲学发展史

当我向别人推荐这本书的时候，我都会加上一句：“这本书的标题似乎不大恰当。”的确，这个标题涵盖了某些结论的某个部分，却不能说明这本书的主题和内涵。或许标题的噱头在于读者看到这本书似乎会立刻想起：“数学怎么会不确定呢？”然后会疑惑不解并进而有阅读的欲望。但我宁愿相信作为著名数学史专家克莱因一定没有为这本书赋这个书名，却更像是出版社的编辑为加噱头所致。我在读这本书之前读过其他一些有关数学史、数学思想史的书籍，所以在读这本书的时候，很多的典故都曾经看过。如果有在大学本科修过一门叫“数学史”的课程的话，肯定听说过所谓“三次数学危机”。基本上来说，这本书就是围绕着这些“数学危机”展开。之所以称之为危机，正在于数学在科学中的核心地位以及危机发生的形式。如果将这些“危机”尝试归纳总结的话，大致可以表述为“有关无穷的数学逻辑基础”。如何理解无理数、如何理解正确理解微积分、是否承认实无穷的存在、分析在数学上的应用、集合论以及超越数都涉及到无穷这个概念。事实上在逻辑都成为了数学的一个分支的现在，我们甚至怀疑逻辑本身（参见第十章及第十一章）。导致数学基础的“无穷”出现瑕疵的关键或许正在于我们的逻辑本身充满瑕疵。我们一般认为，数学是建立于实际世界给我们的直观之上的抽象产物。而这样一个概念，恰恰是长期数学发展过程的“去魅化”的结果。在康德以前，人们还并非真正意识到“人为自然界立法”，而康德的知识论体系使人们意识到，数学并非从孤立的真理中而生，它恰恰是人类头脑抽象能力的结果。换句话说，物理世界引发了数学抽象。如果从这个意义上考虑，逻辑本身并不完美实际上很容易接受：逻辑是作为人类的一种适应性创造工具，而不是作为先验真理而生。既然承认逻辑的瑕疵，若我们再尝试纯粹的通过逻辑找寻数学大厦的基础，似乎不妥。哥德尔不完备性定理告诉我们，任何一个对应着实数系统的公理化演绎体系，一定有一个定理既不能证明也不能证伪。当公理系统的基础推向无限（如果我们寻求一个完备性的公理体系的话），这个公理化体系必然失去其意义：我们无法接受一个具有无穷个公理的体系，而我们一开始想做的，恰恰是希望把无限归之于有限。但或许，这不过是黄粱一梦。也许想要理解无限的我们根本是在痴人说梦：妄图用有限形式去描述无限本身就是不可能的。逻辑只能在有限的范围内告诉我们对与错，当需要判定的定理达到“无穷”时，需要的信息量与需求的分析能力似乎也是无穷的。如果妄图在一个开放的系统寻求封闭体系的完备性是不可能的，那么只需要承认体系并不封闭，问题似乎就解决了。就好像回到了黑格尔的辩证法一般，认为数学体系是需要不断弥补和前进的，认定我们可能永远也找不到一个真正完美的数学基础，从而尝试在数学的历史与实践中获得数学体系的新生。作者就是这么回答这个问题的。在最后两章中，作者着力提出了这样一个问题：我们怎么认可数学系统的合理性和有效性？当然，我们只能到物理世界中寻找。许多的数学基础并不完备，但并不妨碍它在物理中的应用。认为物理世界中的“实践”支撑数学大厦的基础并不过分：“数学就好像一棵大树，树冠越来越繁茂，而树根就需要扎的越来越深。”树根作为树冠的根基，恰恰是与树冠一同伸长的。一个“确定性”的树根恰恰意味着数学的死亡。如果问我全书读毕有什么感想，那么或许就是“欣慰”。我庆幸数学的基础并未确定，从而相信，数学的未来有着超越我们想象空间的，更大的可能和发展。

数学的学习是把数学从抽象概念还原回物质世界的过程

记得当年在数学系本科数学分析刚开始上课的时候，老师给我们介绍了近一个星期的数学史，并且说数学史想说多久就能说多久。多年以后越来越发现，对数学史的研究的确可以让我们真正的理解数学的发展脉络，真正的理解数学体系，而不是纠结于具体数学的抽象概念。作者是著名的数学史专家,文笔流畅,思想深刻,语言简明易懂.读了不仅对人类最精妙的数学思想有了新的认识,而且很能启发人们的自然哲学观点!可说是数学系学生必读的一部书!本书所讲的这种有3000年历史的最古老的不确定性并没有挡住我们前进的步伐，我们又何必为有朝一日数学大厦可能倒塌而杞人忧天呢。数学中确定性丧失的历史只告诉我们，数学确定性并非是完全是绝对的确定性，而在多数情形下是一种相对的确定性。但这同物理学的相对确定性还不一样，物理世界或现实世界出了问题，例如地球遭到小行星碰撞，在想到其它办法之前，也许只有等死。而数学却是关于可能世界的科学，某些地方出了问题，数学家总会想出办法来解决它。历史可为我作证，对此，M·克莱因的书非常值得一读。

后面的难度比较大

阅读这本书，尤其是后面部分，需要一点数学基础方面的知识（注意，不是基础知识，是“数学基础”的知识），不然看起来会很吃力。

数学经典

说数学史的，以这本最为经典了，很值得去读。克莱因作为优秀的数学家，通过对历史上三次数学危机的描述，阐述了数学起源以及其思想变迁的大致过程。不过全书透漏着一种悲观气息，好像数学确定性的丧失将必然给数学带来灾难一样。可我们知道，第三次危机之后，数学依然取得了长足的进步，尽管数学的根基性问题似乎并没有得以解决。另外，通书行文，多用长句，读起来不大顺口，对于喜欢休闲的人们，这不是个好消息。

读后真实的感慨

说实话，昨天彻底合上这本书，确实有一种很强的成就感。毕竟这本书已经在我的枕边躺了将近一年（考研后1月底开始看的）。而今天在看《统计学习方法》一书的时候，面对一个偏积分问题，面对数学我心中莫名的闪动着一种开心的感觉。我相信这种感觉肯定是M·克莱因的这本书带给我的。考研复习的一年让我真正的去理解高等数学的一部分内容，被数学复杂的推理逻辑和精准的描述自然能力所吸引，从同寝哥们那里看到这本书的时候自然被书名吸引了。而头两章相对简短的内容，作者把我这种对数学魔力的好奇欲提升至了顶点。确定性的丧失，是作者对数学这一人类理性的最大发明的思考。希腊文明，亚里士多德、欧几里得经典的逻辑和几何学说，自此不断发展的数学像灯塔一样照耀人类文明在无尽的科学之海中发展了几个世纪，数学一直是人类最为骄傲的思想产物，它的光芒如此耀眼也让人一直没能看清一个真实的数学。这本书的结构是按历史的发展来撰写的，初读来感觉仿佛翻开数学史一般的宏大，随着历史的展开，我们跟随着古代哲人的思想轨迹，一路上不断观察不断思考，尽管我们已经在现在有了相对丰富的知识结构，但如果回到过去那段历史，也许一样无法从当时思想的狭缝中挤出来。从一开始相信数学是上帝真理的体现，到真理崩塌发现先验真理的不复存在。从公理化运动开始，意味着坚强的数学家对数学逻辑大厦的最后的坚持，到哥德尔和勒尔海姆-斯克伦定理对数学基础灾难性的摧毁。数学有过以其不断精准定义自然（发现行星，解释预测现象）为标志的繁荣，也有其权威的崩塌带给人的无限沮丧。这样反复盘旋的过程使数学不断进步，也使人类不得不思考：什么是数学？为什么数学能够精准的表示自然？答案很令人震惊，但细想之后也确实让人接受。数学其实是一种直觉，是人类在脑海中通过逻辑不断深加工后的直觉。对数学本质的认知到底还是归根为这个哲学命题，思维与现实的关系。这个过程真的很美，我是怀着对数学的崇拜来读这本书，但最后却上升到了哲学的层次，也直接引起了我对哲学的兴趣，下一本书应该就是罗素的《西方哲学史》。最后几章就是作者对数学何去何从的见解。客观来讲，面对现代的一些观点，作者也表达出了他的一些主观性的意见（对部分学者的批评和支持），不免对此书的客观性打了一些折扣，谈到这个我没有丝毫的批判之意。总之，此书真的值得一读，尤其是对于那些和我一样对数学抱有崇拜性观点的人，也对于那些被数学本身吓住不敢接触的朋友。读罢不会让你对数学失望，反而会对有无尽可以探索的数学产生更浓厚的兴趣。数学，同样科学，探索它的乐趣不在于它本身是真理，而在于它是发现真理的过程。最后，对莫里斯·克莱因，这位20年前过世的伟大数学家致敬。

何去何从

第十四章的标题是：数学将何去何从？读这一章时，我想的是：我将何去何从？直到初二，我还是一直没有搞清楚到底数学是什么。初二暑假，参加了一届数学夏令营，对此有了朦朦胧胧的认识，但很快，初三时，我的兴趣就很快转移到了物理上来，一知半解地啃着相对论和量子力学。两本书促使我开始思考数学与自然科学的关系，其一是爱因斯坦的《狭义广义相对论浅说》，开头他关于几何与物理的关系让我看得饶有兴致，第二本是《可怕的对称》（许多人也提到了），看完后，数学真理的信念便深深根植在了我的脑海中。然而，看完这本书，它又被打破了。我感到很迷惘，年少时立志成为科学家（数学家）的热情正在一点点销蚀。马上进入高中，离成人也越来越近，何去何从？普通点，钻研三年奥数/物理，上个国内知名大学，专业自然是与数理有关的；困难点，出国深造，但似乎也只有自己在数理上有过人的优势。我身上是有那么多缺点：意志力较差、不善于文字表达、社会经验少……现在看来，连我最引以为豪的数理方面的直觉优势，看了这本书后，也显得微不足道。抛开个人——好，就算我拥有了顽强的意志力，就算我拥有了令人羡慕的知识，受到所有人的敬仰，那，又怎么样？未来的世界还需不需要数学家？数学，到底是人类对自然最好的颂歌，还是最笨拙的创造？那么，抛开数学，抑或不去想它？当个电脑工程师、经济学家、作家，或是目标更低的，普通公司职工或是教师？但这未免太痛苦了，因为我抛弃的是人类智慧的一大宝库。也可以想见，就算我将来真的成了一个平平庸庸的人（这是很有可能的），我也许仍会捧起这本《数学：确定性的丧失》，想想宇宙，想想人生。抑或，迷惘，却又充实地生活；抑或，平和，却又不免平庸的过活？选择，应是不言而喻吧。好吧，这不能称上是一段书评；但至少这是我，一个处于迷惘中的中学生的真实所想。好书就是如此。往往，它是一面铜镜，当你欣赏完它美丽的花纹后，你的心灵便也通过它照射出来了。

告诉你数学远非我们所想象

如果只历经十几年的普通教育，我们只能看见数学在阳光下的枝叶苁蓉，花果缤纷。本书会带你一路向下，沉入土壤，看看数学基础的根系出了什么问题。数学的确定性，竟然可以丧失！p.s.1.可以当作一本数学发展史来看2.涉及不少数学专业术语，尤其是后半部，不容易理解。3.作者最后提出了如何看待“数学”的观点，即使它可能是不确定的。

数学真是难

数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难

阅读笔记

2008-6-15欧式空间（现象学）及康德那天，当老师回答某同学关于是否有人质疑过弗洛依德如何得知小孩的auto-eroticism，他说：Well, you know, 所有理论都必须有一个预设。就如数学公理，过一条不在直线L上的某一点，有些只有一条直线；又或者是，两点之间距离最短是直线。这些公理能证明吗？无法证明，但我们可以从这些公理出推论出许多定理。嘿嘿，你知道吗，听到这个答复后，我对老师的敬佩之情又多加了几分！当然我敬佩的不是他知道这些（呵呵，我也知道啊），而是他可以很自然的用数学体系方面的东西来回答文学（哲学）问题～～这一点最令我欣赏。《数学：确定性的丧失》这书的第四章恰好就涉及到这两个欧式几何的公理以及康德的哲学。尤其下面这段话（P94-95）：“他肯定所有的数学公理和定理都是真理……所谓时间和空间只是我们感知的一种模式【有些类似Husserl的现象学：现象学要把握的是事物的普遍类型或本质，完全纯粹的把握任一现象就是把握其中本质性和不变性的东西。它把自己当作一门关于人类意识的科学，这一意识并非被设想为特定个人的感觉经验，而是被设想为心灵本身的“深层结构”（——这一点又有些像结构主义了）】既然空间的直接来源于心智，那么心智自动地接受空间的某些属性，诸如直线是两点间的最短路径…康德既然从人的大脑中创造出了空间，那他也就看不出有什么理由不让它是欧式空间……至于上帝，康德说上帝的本质不在理性知识范围内，但我们还是应该相信上帝。康德在几何上的轻率超过他在哲学上的大胆。他没有到过离东普鲁士城市哥尼斯堡他的家65千米以外的地方，然后他却假定他能决定世界的几何形状。”你不觉得最后一句话说得很妙吗？2008-6-3 数学与哲学（数学对人类最初认识世界的推动）作为一个独立知识体系的数学起源于古希腊，关于数和几何图形的庞大理论体系为数学提供了一个看来似乎永无休止的确定性前景。数学从不证自明的公理出发进行演艺推理。它的实质是，若公理为真，则可以保证由它演绎出的结论为真。数学已显示了人类理性的能力、根源和力量。所以为什么不把这种方法用到由权威、风俗、习惯控制的领域，比如哲学、申雪、伦理学、美学及社会科学中去寻找真理呢？因此，在称作理性时代的启蒙时代，数学方法甚至加上一些数学概念和定理，用到了人文事务。（但是希腊天才的片面性，也结合着数学一起表现了出来：它是根据自明的东西而进行演绎的推理，而不是根据已观察到的事物而进行归纳的推理。它运用这种方法所得到的惊人的成就不仅仅把古代世界，而且也把大部分近代世界引入了歧途。根据对于特殊事实的观察以求归纳地达到某些原则的科学方法，代替了希腊人根据哲学家头脑得出的显明公理而进行演绎推理的信念，这原是经历了漫长的过程的——罗素《西方哲学史》）（数学与哲学是怎么联系起来的？）地球自然现象及人类的归宿、人生的目的，这些问题在早期文明由宗教来回答，只有古希腊文明例外。希腊人发现了推理的作用。当希腊人把推理用于政治体系、伦理道德、法律、教育和其它方面，他们决定性影响后代文明的贡献是接受了对推理最强有力的挑战，知道了自然界有规律可言。在这之前，人们认为自然是混乱、恐怖的，自然现象无法解释，只有用祈祷、祭祀和其它宗教仪式来解脱。希腊的智者对自然的态度是理性的、批判的和反宗教的。毕达哥拉斯Pythagoras：万物皆数。（我怀疑《数字追凶》（numb3r）的编导是该信徒。）

总体不错

个别地方罗嗦，章节内部也有不衔接的地方，读此书无比头脑清醒，前后联贯着看。此书总体把数学历史说白了。缺少概率历史相关的东西，这个需要自己研究了。让你从头反思自己的数学学习历程，逐渐严谨自己的不仅是数学的思维。这对科研或者工作都是有益的。iPad上看了一多星期，中间过五一不算。另外，推荐有余力的工科同学看看 费恩曼 物理学讲义 和古今书学思想 以及 高观点下的数学一书。

我来建立它-确定性

克莱因是个历史学家。数学还是有确定性的只是这个确定性不是太高太好，但还是有的。数学，逻辑都是经验，并不是所有人都知道。数学主要是被印度人搞坏了。但是你却并不能责怪印度人，因为阿拉伯人接过来以后做的也不怎么样。欧洲人做的也不怎么样。事实上，人类真正的希望从头到尾都只在希腊。希腊是人类真正的希望。数学的主要问题是它丝毫都不“逻辑”。这一点与很多人认识的恰好相反，数学是我见过的最不逻辑的学科，就连股票理论也比它更逻辑化更严谨。数学跟逻辑毫无关系。克莱因认为数学甩掉逻辑才取得了大进展，事实上甩掉逻辑的后果是数学建立在一个完全虚构的东西的基础上-那就是“数”！数是一切的根源，是万恶之源。数学的繁复，复杂，不一致，全都来自它的基础问题。是数使得数学变成一门求解的学科，走上一条求解的道路。它改变了人们的追求目标，重新并错误的定义或决定了数学的求解形态，将人们引入一个纯数的游戏之中。并且迫使人们从错误的一个入口，从一个完全相反的方向进入数学本来的世界。数是万恶之源。纯数学实际上比应用数学还是要好一点的但仍逃不出数并且没有逃出数的圈圈。我准备写一本书，以建立一种全新的数学系统。我要干掉算术，干掉代数，干掉函数，干掉微积分，干掉泛函、变分，抽象代数也要干掉。几何可以留下。事实上，我研究哲学也是这样的结果，那就是到了最后我往往总发现，我能留下的只有古希腊人的东西。甚至对形而上学也是。因为我发现人类整个绕了一大圈之后，还是且只能、必须回到亚里士多德。古希腊人除了在科学上建树不大但在其它的很多方面现代人根本无法企及或远没有企及。克莱因可以，希尔伯特可以，彭家勒也可以，但是，没有一个有丢翻图那么强的人！事实上，只要解决了丢翻图的问题，你也就解决了数学的全部问题。崇敬古希腊！

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用文学和历史的手法写数学

真正的数学是什么？为什么数学依然有效？我们再用不完美的工具制造奇迹吗？如果人类已经被欺骗了，大自然也会受骗而屈服于人类的数学工具吗？ 这是一部数学史，克莱因用文学和历史的手法写的这部数学史，让数学生动，简单，而荡气回肠。

这是暗藏偏见、幻想受迫害者的臆想

这本书从一开始读就觉得味道怪怪的，直到最后作者以实用主义者的数学家角度开始抨击所谓“纯理论”领域，我终于感觉到，之前故事中流露出的幸灾乐祸究竟源自何方了。作者所喋喋不休的抱怨着的关键在于“什么是数学”。作者似乎认为数学界太过于倾向于对于所谓“理论”的深刻性和完备性的研究，很多期刊都不愿发表关于实际应用方面写出的“不够深刻”的文章。我在一定程度上可以理解。但是，每一个期刊有自己的倾向性，投稿人应该去投本领域的期刊，而不是认为自己文章内容好，就要求一个不倾向于此领域的期刊发表。当对方不发表时，就横加指责，进而受迫害似地向公众宣称学术歧视。这是不恰当的。不可否认，直观和实际应用需要是数学发展的一大动力。但对于完美和严谨的追求和对数学本身的研究，同样是数学发展的一大动力。我认为，作者在很大程度上误导着读者。在他笔下，基础理论研究者嘲讽地看着他们这些研究实际问题的人，对他们的工作不屑一顾。事实上，我从不曾听到基础理论研究者们对前一种动力稍加指责。恰恰相反，他们经常会很欣赏地谈到某些由简单的现实问题而引发的数学研究，最后深刻发展到远超出创始人想象的例子。例如，概率论。同样，也有一些数学家不从实际出发研究，但得到的理论极为有用（尽管这种例子很多，尽管在作者的书中牵强附会的否定了很多这样的例子，但他为否定这些例子而做的阐释实在是拼凑、可笑而无聊的，例如非欧几何部分）。最后，就数学而言，作为科学的一部分，追求真理，追求确定性、严密性、体系性是无可厚非的事情。也许我们无法到达真理，也许真理根本不存在，但我们可以身在追求真理的路上。当一些研究者从直观和实际应用出发研究数学时，另一些人出于爱好和兴趣研究数学本身，这有什么好指责的呢？作者的观点让我想到毛贼的上山下乡活动。实用主义实用主义实用主义！！！在我看来，科学，是对真理的追求；技术，是科学与实际应用的结合。也许现在的界限已经不那么明显，但至少，可以给那些纯粹只是对真理好奇的人们留一点空间。我根本不愿举例说明这些人对人类发展的贡献。不要问我文学有什么用，不要问音乐有什么用，也不要问我基础研究有什么用。让有用见鬼去。

这一场华丽的冒险

在电影《Fracture》里，有一架颇具象征意味的仪器。灯光幽暗的大屋一角，金属架构蜿蜒盘旋，水晶玻璃小球自高处一路缓慢滑下，闪闪烁烁，衬着老安东尼诡秘的微笑，简直有魅惑人心的力量。在两位主人公漫长的对决中，这个镜头反复出现，以一个精确的、缓慢的、优美的姿态。也许是想说一种秩序，也许是想说一个定局。而我之所以会在这里提到它，是因为它的神秘、精准、有序、看似的无懈可击都与数学暗中契合，而那种因看似的完美所产生的脆弱感，也如M·克莱因在《数学：确定性的丧失》一书中所提到的不确定性一样，足以摇撼整个系统赖以建立的根基。也许这种类比本身是无谓的。毕竟从克莱因另一著作《西方文化中的数学》中可以看到，数学在人类生活中的应用是如此广泛，而语言的功能今天已经过分强大，几乎无物不可打上数学精神的烙印：精确、简洁、和谐。且不论建屋造船、铺路修桥，便在绘画与音乐这样的纯艺术领域，数学也无处不在。毕达哥拉斯学派发现一根拉紧的弦发出的声音取决于弦的长度，而当两根弦的长度成整数比时，它们发出的声音就是和谐的，是谓和弦。还记得小时候看钢琴师傅调音，琴盖打开的刹那，看到洁白的音锤与金属琴弦分列两边，其精密庄严令人肃然起敬。如此恢宏磅礴的乐器得以制成，并演绎无数传世经典，起点却是那一点数量关系的原理。月亮和气球都具有球体的各种性质，酒坛和垃圾桶也可以有相同的体积。在古希腊人那里，各种事物都具有数学上的联系，数是宇宙的质料和形式。它使得自然趋于理性化，使精确的法则和规律的描述成为可能，它来自探索与思考，却走向未知与无解。数学的发展史如同一场华丽纷繁的冒险。它发现一切，解释一切，包容一切。直到18世纪末，数学的尊贵与荣耀都是无与伦比的。如果说上帝创造了宇宙，那么数学就是那张设计图纸。从古希腊开始的探索之路此时仿佛已经走到了尽头，海洋潮汐、日升月落、空气的流动与光线的传播，所有这些都已经得到了充分合理的解释，这些解释都归于数学。再也不可能有比这更光辉的时刻了。难怪拉普拉斯要说，牛顿是最幸运的一个人，因为只有一个宇宙，而他成功地发现了它的定律。从这个角度来看，也许数学家们比教士更适合传达上帝的旨意。人的力量始终是不安分的，随着数学的进一步发展和越来越多成果的展示，神的启示越来越少，上帝的形象日渐模糊，对纯粹的数学结果的追求取代了对上帝的设计的关注。首先受到冲击的是欧氏几何，两千多年来它一直与客观事实完美地互相印证，人们相信它就是物理空间惟一的诠释者。然而在欧几里得提出的五个公理中，平行公理的合理性一直令人生疑。早在希腊时代人们就试图给出它的证明，数学家们耗费了大量的时间和精力却始终未果，以致数学家达兰贝尔在1759年称平行公理问题是“几何原理中的家丑”，它的复杂、尴尬和浑沌简直令数学家们心虚。就是这样一个暗点，终于演变成了数学史上第一次真理的丧失。19世纪20年代德国数学家高斯、匈牙利数学家J·鲍耶和苏联喀山大学的数学教授罗巴切夫斯基几乎同时确认了非欧几何的存在，这种几何的证明由罗巴切夫斯基率先发表，被称为罗巴切夫斯基几何。他去掉了欧氏几何中的平行公理，代之以一个完全矛盾的假设，然后在新的公理假设基础上展开一系列推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新定理，并形成了新的理论。这个理论像欧氏几何一样完善和严密，非欧几何由此产生。它证明了人们长久以来所认定的真理也许只是经验的抽象化表达，一种脱离经验的逻辑几何的存在是完全可能的。不止如此，高斯的弟子黎曼继续研究非欧几何，他的论文证明了非欧几何不仅仅是逻辑意义上的存在，而且完全可以适用于物理空间。人们不再能够肯定究竟哪一种几何是正确的，宇宙的设计也许有必要重新改写。除了几何，已有的代数的地位也岌岌可危。人们在反思中发现，只有经验能够告诉我们，普通的算术何时适用于常见的物理现象；然而如果抛开经验，完全可以建立一种全新的算法并同样实用。就像我们习惯了十进制，但二进制、八进制和十六进制同样也有各自的意义所在，这是无可否认的。无可否认的结论是：数学中没有现实世界普适法则意义上的真理。18世纪被称为数学史上的英雄时代，希腊人的数学大厦经过印度人和阿拉伯人的建构，早已不复牢固，欧洲的数学家们就在缺乏逻辑结构的情况下，探索和创建了一个又一个新的领域，其形其状颇似麦哲伦的环球旅行，成就不可不谓非凡。然而这些不断从思想中抽离的概念与证明，尽管自有其体系，却缺乏一个彼此相容的逻辑基础。在以逻辑严密而著称的欧氏几何也遭到质疑之后，19世纪下半叶，数学家们开始致力于数学的公理化运动，试图给摇摇欲坠的数学大厦建立一个统一的逻辑基础。就在这个过程中，出现了四种独立的知识体系：逻辑主义、直觉主义、形式主义和集合论公理化主义。并进一步出现了关于数学究竟是一个超验的存在，还是只是人类思想的产物之争；换句话说，数学到底是天然的钻石，还是人工宝石？数学课本中永远看不到这些争论。作为一门基础学科，数学直接贴近我们生活的一面不过以四则运算为上限，卑微到令人忽略的地步。但是谁也不能否认“数学是人类为获得精确有效的思维所做出的最广博和最深刻的努力”，而数学所取得的成就是“人类思维能力的量度”。在数字和矩阵背后隐藏着的，不是顺理成章信手拈来的推导，而是更为深邃与光荣的探索；假如你把目光放远一些，你会看到时间与空间的运行。它可以为万物命名，它的浩瀚更胜苍穹，它容许你质疑所有已知的存在，这才是我们一度认为是枯燥乏味的数学的真正面目。全书共分十五章，如果说前十四章是令人着迷的，那么最后一章便是伟大的。在探讨了数学发展过程中令人沮丧和担忧的一切困难之后，克莱因不无骄傲地谈起电磁学理论、相对论和量子理论，作为二十世纪最伟大的科学创造，它们无一例外地广泛使用了现代数学。他曾在前面的章节中忧心忡忡地谈论纯数学与应用数学的分歧，而在这一章中他骄傲地说“数学仍然是可用的最好的知识的典范”，这一刻他难得地让我们窥见了他的赤子之心。如帕斯卡所言，人类不知自己为何来自一无所有，又将如何卷入无穷无尽，他孤立无援地存在于一个陌生的宇宙中，内心惊骇不已。对人类来说，数学即使丧失了其确定性，丧失了真理的身份，也仍然是探幽发微、抵达未知的最好武器。它在赋予人类思维的同时，也赋予了他们无尽的勇气。“音乐能激起或平静人的心灵，绘画能愉悦人的视觉，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活；”“而数学则能够做到这一切。”——克莱因

应用数学家眼里的数学

克莱因本人是个工程师，推崇的是那种直接从物理现实里提炼的数学模型和思想，对抽象之抽象有很大的不满实际上，数学本质上是一种有应用潜力的娱乐，还是有娱乐性的应用工具，这就是应用数学和纯数学的不同观点区别之所在。而在20世纪里，它们之间分化程度加大到老死不相来往的地步我个人认为这种对纯理论的应用前景的过分担忧是不必要的，但作者的看法是比较悲观的

存在性与确定性

昨天一个姑娘问我是不是真的喜欢她。如果我没有读过这本书，我会跟她讲，当然喜欢啊。不幸的是，我读过这本书。于是我的回答变成了这样：我知道我喜欢你，但我不知道我为什么喜欢你。就像我知道很多事情存在着，但我不知道那些事情为什么存在着。这些年我们都经历了一些事情，这些事情都过去了。我也不知道我从这些事情里面学到了些什么，只是经历了这些事情之后，我不再去问那么多的为什么。然后，姑娘就不理我了。这是本严肃的书，我应该写一篇严肃的书评。但这本书是我两年前在华师大自习室读的，书的内容已经记不太清。我只记得那段时间我读了不少书，哲学书，数学书，法学书......虽然那些书把我变成了一个彻头彻尾的二逼。但现在想想，那段日子，仍然是一段无比美好的时光。过去的一个礼拜，我感觉自己回到了那段美好的日子。如果再给我一个机会，我会跟那个姑娘说：姑娘，我确实喜欢着你。跟我在一起吧，我会用我的余生，为你写出这个世界上最完美的证明。