数学分析 第四版 上册

前言

　　华东师范大学数学系编写的《数学分析》（上、下册）自1980年初版诞生以来，相继于1990年和2001年两次再版，并于1987年荣获全国优秀教材优秀奖，2004年荣获上海市优秀教材一等奖。时至今日，本书第四版作为“国家精品课程（数学分析）”建设的重要组成部分，又和读者见面了。　　此次修订前，我们征询了不少使用本教材的兄弟院校教师的意见，他们大都认为这本教材经过长期使用、多次修订再版，已是非常成熟，因此不希望再有大的更动；同时也提出了一些极有价值的意见与设想。在此基础上，我们编写组同仁结合自己长期教学实践中发现的问题和产生的想法，明确了这次编写第四版教材的指导思想和修改方案。这就是，坚持本书前三版在取材、体系、可读性诸方面的成熟风格。在此前提下，对部分内容作适当的增删和调整，使全书内容更加充实，结构更趋合理，有利于提高教学质量。　　本次修改的内容（相对于第三版）主要有：　　（1）针对第七章关于极限理论的内容过于集中、滞后的问题，这次在第二章通过先证明“任何数列都存在单调子列”这个例题，提前得出了“致密性定理”。有了这个工具，闭区间上连续函数的全部性质就能在第四章得到证明。　　（2）针对目前不少大学不再单独开设数学分析习题课的现状，本次改版适当增加了一些稍有难度的例题，以期对学生解题能力的培养有所帮助。　　（3）在函数项级数这一章中，增加了“内闭一致收敛”的概念，这有利于对一致收敛问题的深入讨论。　　（4）把“两类曲线（曲面）积分的联系”由“选读内容”改为“必读内容”。　　（5）对第二十一章关于“在一般条件下重积分变量变换公式的证明”，编者给出了一种不同于以往的、新的证明方法。　　（6）在第二十三章里，保留前三节关于向量函数微分学的内容，删去原来的§4（外积、微分形式与一般斯托克斯公式），并把该章的章名改为“向量函数微分学”。　　与前两版相同，用记号“口”表示命题证明或例题求解的结束；对于加“*”的章节，在教学中教师可灵活选用，以使本书更适合多种层次的需求。　　参加这一版编写工作的有如下诸位教师：　　庞学诚任主编，并负责编写第一至第七章；

书籍目录

第一章  实数集与函数  1  实数  一  实数及其性质  二  绝对值与不等式  2  数集·确界原理  一  区间与邻域  二  有界集·确界原理  3  函数概念  一  函数的定义  二  函数的表示法  三  函数的四则运算  四  复合函数  五  反函数  六  初等函数  4  具有某些特性的函数  一有界函数  二  单调函数  三  奇函数和偶函数  四  周期函数第二章  数列极限  1  数列极限概念  2  收敛数列的性质  3  数列极限存在的条件第三章  函数极限  1  函数极限概念  一  x趋于■时函数的极限  二  x趋于■时函数的极限  2  函数极限的性质  3  函数极限存在的条件  4  两个重要的极限  一  证明■  二  证明■  5  无穷小量与无穷大量  一  无穷小量  二  无穷小量阶的比较  三  无穷大量  四  曲线的渐近线第四章  函数的连续性  l  连续性概念  一  函数在一点的连续性  二  间断点及其分类  三  区间上的连续函数  2  连续函数的性质  一  连续函数的局部性质  二  闭区间上连续函数的基本性质  三  反函数的连续性  四  一致连续性  3  初等函数的连续性  一  指数函数的连续性  二  初等函数的连续性第五章  导数和微分  1  导数的概念  一  导数的定义  二  导函数  三  导数的几何意义  2  求导法则  一  导数的四则运算  二  反函数的导数  三  复合函数的导数  四  基本求导法则与公式  3  参变量函数的导数  4  高阶导数    5  微分  一  微分的概念  二  微分的运算法则  三  高阶微分  四  微分在近似计算中的应用第六章  微分中值定理及其应用  1  拉格朗日定理和函数的单调性  一  罗尔定理与拉格朗日定理  二  单调函数    2  柯西中值定理和不定式极限  一  柯西中值定理  二  不定式极限    3  泰勒公式  一  带有佩亚诺型余项的泰勒公式  二  带有拉格朗日型余项的泰勒公式  三  在近似计算上的应用  4  函数的极值与最大(小)值  一  极值判别    二  最大值与最小值  5  函数的凸性与拐点    6  函数图像的讨论  7  方程的近似解第七章  实数的完备性    1  关于实数集完备性的基本定理  一  区间套定理  二  聚点定理与有限覆盖定理  三  实数完备性基本定理之间的等价性  2  上极限和下极限第八章  不定积分    1  不定积分概念与基本积分公式  一  原函数与不定积分  二  基本积分表  2  换元积分法与分部积分法  一  换元积分法    二  分部积分法    3  有理函数和可化为有理函数的不定积分  一  有理函数的不定积分  二  三角函数有理式的不定积分  三  某些无理根式的不定积分第九章  定积分    1  定积分概念    一  问题提出  二  定积分的定义  2  牛顿-莱布尼茨公式  3  可积条件  一  可积的必要条件  二  可积的充要条件  三  可积函数类  4  定积分的性质  一  定积分的基本性质  二  积分中值定理  5  微积分学基本定理·定积分计算(续)  一  变限积分与原函数的存在性  二  换元积分法与分部积分法  三  泰勒公式的积分型余项  6  可积性理论补叙  一  上和与下和的性质  二  可积的充要条件第十章  定积分的应用  1  平面图形的面积  2  由平行截面面积求体积  3  平面曲线的弧长与曲率  一  平面曲线的弧长  二  曲率  4  旋转曲面的面积  一  微元法  二  旋转曲面的面积  5  定积分在物理中的某些应用  一  液体静压力  二  引力  三  功与平均功率  6  定积分的近似计算  一  梯形法  二  抛物线法第十一章  反常积分  1  反常积分概念  一  问题提出  二  两类反常积分的定义  2  无穷积分的性质与收敛判别  一  无穷积分的性质  二  非负函数无穷积分的收敛判别法  三  一般无穷积分的收敛判别法  3  瑕积分的性质与收敛判别  附录Ⅰ  微积分学简史附录Ⅱ  实数理论  一  建立实数的原则  二  分析  三  分划全体所成的有序集  四  R中的加法  五  R中的乘法  六  R作为Q的扩充  七  实数的无限小数表示  八  无限小数四则运算的定义附录Ⅲ  积分表  一  含有z“的形式  二  含有a+b%缸的形式  三  含有a2■x2，a>O的形式  四  含有a+bx+cx2，b2≠40c的形式    五  含有■的形式  六  含有■，a>O的形式  七  含有■，a>O的形式    八  含有sin x或cos x的形式  九  含有tan x，cot x，sec x，cscx的形式  十  含有反三角函数的形式  十一  含有ex的形式  十二  含有In x的形式习题答案索引  人名索引

作者简介

《数学分析(第4版)》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材。内容包括实数集与函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数和微分、微分中值定理及其应用、实数的完备性、不定积分、定积分、定积分的应用、反常积分等，附录为微积分学简史、实数理论、积分表。

    本次修订认真总结了前三版的编写经验，特别对第三版的内容进行了细致的分析，听取了部分使用学校的意见，对第三版的部分内容作了适当调整；实数理论基本定理出现的先后次序作了一些变化；增加了内闭一致收敛的概念，调整了与之有关的内容；适当增加了一些技巧性要求较高的例题，以方便学生学习。第四版仍然保持了教材前三版“内容选取适当，深入浅出，易学易教”的特点。

    《数学分析(第4版)》可作为高等学校教学类专业的教材使用。

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