非线性波动方程

内容概要

李大潜，复旦大学数学科学学院教授，博士生导师。中国科学院、第三世界科学院及欧洲科学院院士，法国科学院及葡萄牙科学院外籍院士。曾获国家自然科学奖二等奖、三等奖，上海市科技进步一等奖，上海市科技功臣奖，何梁何利基金科技进步奖，华罗庚数学奖，苏步青应用数学奖，以及ICIAM苏步青奖等多项奖励。出版中外文专著及教材20余部，发表数学论文250余篇。

周忆，复旦大学数学科学学院教授，博士生导师，杰出青年基金获得者，长江特聘教授。曾获国家自然科学奖三等奖，教育部自然科学奖一等奖等奖励，发表数学论文60余篇。

书籍目录

第一章 引言及概述

§1.目标

§2.历史与现状

§3.方法

§4.补充

§5.内容安排

第二章 线性波动方程

§1.解的表达式

1.1.n≤3时解的表达式

1.2.球面平均方法

1.3.n(>1)为奇数时解的表达式

1.4.n(≥2)为偶数时解的表达式

§2.基本解的表达式

§3.Fourier变换

§4.附录——单位球面的面积

第三章 具衰减因子的SoboleV型不等式

§1.预备事项

1.1.换位关系式

1.2.空间Lp.q(Rn)

1.3.广义Soboley范数

1.4.与波动算子的交换性

1.5.用极坐标下的导数表示通常坐标下的导数

§2.经典Soboley嵌入定理的一些变化形式

2.1.单位球面上的Soboley嵌入定理

2.2.球体上的Soboley嵌入定理

2.3.环形域上的Soboley嵌入定理

2.4.维数分解的Soboley嵌入定理

§3.基于二进形式单位分解的Soboley嵌入定理

3.1.二进形式的单位分解

3.2.基于二进形式单位分解的Soboley嵌入定理

§4.具衰减因子的Soboley型不等式

4.1.特征锥内部具衰减因子的Soboley型不等式

4.2.全空间上具衰减因子的Soboley型不等式

第四章 线性波动方程的解的估计式

§1.一维线性波动方程的解的估计式

§2.广义惠更斯原理

§3.二维线性波动方程的解的估计式

§4.n(≥4)维线性波动方程的解的一个L2估计式

§5.线性波动方程的解的Lp.q估计式

§6.线性波动方程的解的L1-L∞估计式

6.1.齐次线性波动方程的解的L1-L∞估计式

6.2.非齐次线性波动方程的解的L1-L∞估计式

6.3.线性波动方程的解的L1-L∞估计式

第五章 关于乘积函数及复合函数的一些估计式

§1.关于乘积函数的一些估计式

§2.关于复合函数的一些估计式

§3.附录——关于乘积函数估计的一个补充

第六章 二阶线性双曲型方程的Cauchy问题

§1.引言

§2.解的存在唯一性

§3.解的正规性

第七章 化非线性波动方程为二阶拟线性双曲型方程组

§1.引言

§2.一般非线性右端项F的情况

§3.特殊非线性右端项F的情况

第八章 一维非线性波动方程的cauchy问题

§1.引言

§2.Cauchy问题(8.1.14)—(8.1.15)的经典解的生命跨度的下界估计

2.1.度量空间XS.E.T.主要结果

2.2.定理2.1的证明框架——整体迭代法

2.3.引理2.5的证明

2.4.引理2.6的证明

§3.Cauchy问题(8.1.14)—(8.1.15)的经典解的生命跨度的下界估计(续)

3.1.度量空间XS.E.T.主要结果

3.2.引理3.1的证明

3.3.引理3.2的证明

第九章 n(≥3)维非线性波动方程的cauchy问题

§1.引言

§2.Cauchy问题(9.1.11)—(9.1.12)的经典解的生命跨度的下界估计

2.1.度量空间XS.E.T.主要结果

2.2.定理2.1的证明框架——整体迭代法

2.3.引理2.5的证明

2.4.引理2.6的证明

2.5.非线性右端项不显含M的情况：F—F(Du，DxDu)

§3.Cauchy问题(9.1.11)—(9.1.12)的经典解的生命跨度的下界估计(续)

3.1.度量空间XS.E.T.主要结果

3.2.定理3.1的证明框架——整体迭代法

3.3.引理3.5的证明

3.4.引理3.6的证明

第十章 二维非线性波动方程的Cauchy问题

§1.引言

§2.Cauchy问题(10.1.14)—(10.1.15)的经典解的生命跨度的下界估计(a：1的情形)

2.1.度量空间XS.E.T.主要结果

2.2.定理2.1的证明框架——整体迭代法

2.3.引理2.5及引理2.6的证明

§3.Cauchy问题(10.1.14)—(10.1.15)的经典解的生命跨度的下界估计(a≥2的情形)

3.1.度量空间XS.E.T.主要结果

3.2.定理3.1的证明框架——整体迭代法

3.3.引理3.3及引理3.4的证明

§4.Cauchy问题(10.1.14)—(10.1.15)的经典解的生命跨度的下界估计(a=1及2的情形)(续)

4.1.度量空间XS.E.T.主要结果

4.2.定理4.1的证明框架——整体迭代法

4.3.引理4.3及引理4.4的证明

第十一章 四维非线性波动方程的Cauchy问题

§1.引言

§2.Cauchy问题(11.1.11)—(11.1.12)的经典解的生命跨度的下界估计

2.1.度量空间XS.E.T.主要结果

2.2.定理2.1的证明框架——整体迭代法

2.3.引理2.5及引理2.6的证明

第十二章 零条件与非线性波动方程Cauchy问题的整体经典解

§1.引言

§2.三维非线性波动方程的零条件及经典解的整体存在性

2.1.三维非线性波动方程的零条件

2.2.零形式的一些性质

2.3.度量空间XS.E.主要结果

2.4.引理2.4及引理2.5的证明

§3.二维非线性波动方程的零条件及经典解的整体存在性

3.1.引言

3.2.度量空间XS.E.主要结果

3.3.引理3.1及引理3.2的证明

第十三章 Cauchy问题经典解的生命跨度下界估计的Sharpness——非线性右端项F=F(Du，DxDu)不显含u的情况

§1.引言

§2.一类半线性波动方程Cauhy问题的解的生命跨度的上界估计

§3.主要结果的证明

第十四章 Cauchy问题经典解的生命跨度下界估计的Sharpness——非线性右端项F=F(u，Du，DxDu)显含u的情况

§1.引言

§2.关于微分不等式的一些引理

§3.一类半线性波动方程Cauchy问题的解的生命跨度的上界估计——次临界情况

§4.一类半线性波动方程Cauchy问题的解的生命跨度的上界估计——临界情况

§5.主要结果的证明

§6.附录——Fuchs型微分方程和超越几何方程

6.1.二阶线性常微分方程的正则奇点

6.2.Fuchs型微分方程

6.3.超越几何方程

第十五章 应用与拓展

§1.应用

1.1.可压缩流体欧拉方程组的位势解

1.2.Minkowski空间中的时向极值超曲面

§2.一些进一步的结果

2.1.7n=2时一些进一步的结果

2.2.n=3时一些进一步的结果

§3.一些重要的拓展

3.1.三维非线性弹性力学方程组

3.2.真空中的爱因斯坦方程

参考文献

索引

作者简介

本书针对一切可能的空间维数及一切可能的非线性右端项的幂次，对非线性波动方程具小初值的Cauchy问题的经典解的生命跨度建立了完整的下界估计（包括了整体存在性的结果）。

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