《数学在19世纪的发展（第一卷）》书评

美与深刻的洞察

美，存在于发现它们的心灵之中——大卫•休谟我不是数学专业的学生，不会从数学思想和方法演化的角度来分析这本书，书中大部分数学对我来说也太难了。这篇评论不从数学，物理学和哲学角度来建构我的理解框架，也不谈任何观点；只是留恋于本书优美的笔触，在即将暂时离开它的时候心有所戚，遂摘录极有限的几条文字，引起爱美的学人对本书的兴趣。从中也显示出，克莱因对于数学家作为人的闪光点，有着深刻的直觉的洞察。关于高斯：他时常不发表他最美的结果，会有什么原因使他在达到目标前的一瞬间出现了这种奇异的停顿？可能的原因要在一种沮丧中去寻找，他在自己最成功的工作中常陷入某种沮丧而不能自拔。......对过于紧张的多产，他的首创精神和意志力量终于不胜其才对于像他这样早熟而又热情的具有创造本性的人，才思汹涌激荡终于使他心力交瘁。如果我们想要在我们这门科学的历史里寻找有大体相同高度的英雄，，则在高斯的前人中只有阿基米德和牛顿可以认为得到了大自然相同的降幅。关于庞塞莱：年老的他悲伤地感叹，自己的命运使他不得不完全放弃他所爱好的研究工作。积极的人事和沉思的人生这样一个老矛盾使他的一生以一个不协和的音符而告终。关于伽罗瓦：他孩子气的勇敢的面容和几乎是恶作剧似的表情，与他那出奇深刻的完全清晰成熟的文风形成奇怪的对比。前所未有的早慧，加上他那不能容忍任何秩序规则和不受任何约束的炽烈脾气，还有终于毁灭了他的性格上的热情——使他成为紊乱无序的法国式天才的代表。关于阿贝尔：但是我还是不愿就这样离开这位在数学史中极为罕见的理想的研究者。我不能不想起另一个领域里的另一个人物....可以为这位数学家树立一座纪念碑，类似于为莫扎特在维也纳的那种式样的纪念碑：他单纯地，毫不张扬地站在那里倾听，优美的天使们在四周飞翔，欢乐地带个他来自另一个世界的灵感。关于阿贝尔与雅可比：1828年阿贝尔与雅可比为建立椭圆函数理论进行了令人精疲力尽的角力。所攻的的问题虽完全相同，两位对手的基本相异的性格却尖锐地显现出来。阿贝尔以更大的才气掌握了最一般的问题，他最有效力的天才在于数学思想方面——这是一种完全抽象，绝无几何直觉的思想。雅可比则不同，虽然每一步都如神来之笔，每一个结果都被他以才华横溢的计算绝技安放在坚固的结构上。雅可比不知疲倦地追随着自己的聪明所指示的道路，克服一切困难到达了目的地；阿贝尔的心灵却有一种把它提升到高空的力量，是他能看到最一般的目标，毫不费力地飞翔，鸟瞰着一切。阿贝尔去世，这个在数学史上几无其匹的发展也就中断了。雅可比作为仅存者还在继续工作，孤独地，然而不时忆及他的可敬的同行。关于狄利克雷和雅可比：狄利克雷与雅可比有多年亲密的友谊，但与雅可比的活跃和强势不同，狄利克雷更加沉静，内敛甚至羞怯。他终生为之奋斗的唯一目标，就是要能清晰地洞察数学思想的理想的和谐，这个目标引导他拒绝了所有外来的影响和成功。那些沉静的人，那些寻求并且得到了自身内在满足的人，他们的命运经常是这样：狄利克雷被一些很张扬很外向的人所包围。.......在狄利克雷短暂的哥廷根时期，他的夫人（门德尔松的妹妹）在自己身旁聚集了对科学和艺术最有兴趣的人们。据说狄利克雷只以一种沉默寡言毫不张扬的态度参加在他家里举行的社交活动。那些闪光的智慧在他身边只是些不断起伏的涟漪，而与他自己精神世界的深深的汹涌的大海绝对无法相比。关于斯坦纳：他从不为人知上升到令人羡慕的了不起的生活，所以不能忍受由于年老而做不出什么成就的枯竭之感，他悲苦，采用绝望的手段抗争，试图为了自己，也为了别人，保存过去的光辉形象。关于施陶特：在埃尔朗根的尚未受到花花世界的影响而得以保留的静谧和质朴之中，施陶特的心情静如止水，而且与世隔绝。只有这样，他才能把他的思想不受干扰地发展起来。关于西尔维斯特：他是一个极为活跃和多才多艺的人物，他能以最大的深度透视他所见到的每一件事物，把它们连接起来；他的专门领域是这门科学的完全抽象的，组合的侧面。而且它还从这个侧面出发，把最不相近的数学领域都以光辉的方式改造得从属于不变量理论。关于格罗斯曼：我们这些学者生活在激烈的竞争中，好像树林里的树，一定要又细又长，只是为了要高出别的树，才能获得自己那一份阳光和空气，才能生存。但是如格罗斯曼这样孤独孑立的人，却可以向各个方面生长，和谐地发展，尽其天性，完成自己的工作。关于基尔霍夫：基尔霍夫的精力似乎总是限于正在自己手头上的事情，而新发现似乎只会给他带来麻烦，所以他对于这些新发现甚至毫无兴趣。关于麦克斯韦：是什么使得麦克斯韦如此地卓尔不群？他那极强的直观能力，有时似乎是来自上天的启示，而且又与丰富的想象力携手同行。在物理学中麦克斯韦也是从直觉进行直接创造的天才，从长时期来看，比威廉·汤姆孙更伟大，而且在非理性的洞察力上远远超过了威廉·汤姆孙。关于黎曼：黎曼的直觉确实是光辉耀目，他那无所不包的天才超越了他的所有同时代人。不论在哪个地方，只要他的兴趣被激发起来，他都会从头开始，从不让自己被传统引入歧途。黎曼的羞怯甚至是笨拙的举止常遭到同事们的嘲笑，他时常神情忧郁，哀伤地回应这些攻击。他与周围的世界完全隔绝，过着一种无比丰富的内心生活。我们从黎曼身上看到了一个典型的亲切的天才：从外表看，他是平静的，而且有点古怪；但从内心看，则是充满了活力和力量。写到这儿的时候，我已经很想去赶紧学点数学了。这本装帧精美纸张柔和的书适合珍藏，有空闲的时候拿出来翻翻。

思想的重要性与知识空间理论

一、思想的重要性现代数理科学经历了从实践主导到理论主导的转变——不再被客观实践局限，变为主动构造各种理论——这个转变的推动力，来自思想的突破。普吕克在提出射影空间概念的过程中，打破传统，不用空间中的点而用直线为元素，构成新的空间，研究它的几何性质。普吕克的学生，克莱因，根据这种思想，提出了埃朗根纲领，促进了一系列新几何的诞生。普吕克的粉丝，克莱因的好友索菲斯。李，根据这种思想，提出了连续变换群理论，成为现代粒子物理的理论基础。相对论、量子论等，都是主动构造相关理论的例子。那么，为什么人类主动构造的理论会有效呢？这涉及知识空间的问题。二、知识空间理论设宇宙的各种现象及其理论为空间R，人类构造的某种理论为r。r就像是DNA探针一样，能且只能跟与之相符的宇宙现象匹配。即r属于R的子集。人类构造的各种理论就像不同的探针，能发现不同的宇宙知识空间中的片段。通过一定的规则，把这些片段拼接起来，就能无限接近解读出整个宇宙知识空间的序列结构，像绘制基因图谱一样，绘制出宇宙的知识图谱！——不知道现在有没有专门的学科研究这个问题！这个一定是未来计算机发展的方向之一！

19世纪的荣耀——高斯

【我不是学数学的，这是一个外行对高斯和数学的赞美。】这本书的几乎每个每个方面都体现了质量的优秀。作者是德国人菲利克斯·克莱因，康斯坦丁·里德（《希尔伯特》的作者）把他称为哥廷根神一般的存在。作为十九世纪数学的一位重要人物，克莱因直接参与了当时欧陆数学的伟大进程（英国的数学当时没有表现出特殊的重要性——孤立于欧陆的感觉在本书提及英国的地方都可以感受出来）。译者序中说克莱因像在写回忆录一样。实际上，克莱因在念书的时候，数学殿堂的主神之一黎曼已经去世，因此克莱因所接触的大数学家们都是黎曼的精神后人，而克莱因本人就是这样的一个精神继承人。正是这种伟大的传统，使得克莱因把高斯作为这本书的一章，这书第一章的名字就叫《高斯》，几乎就是把高斯当做了十九世纪数学的化身了。克莱因对高斯推崇备至，字里行间表现出一种崇拜之情。高斯在应用数学方面和纯粹数学方面的成就，克莱因都做了介绍。克莱因本人的研究偏重应用数学，高斯本人尽管在两个领域都是卓尔不群，于应用数学的成果却更多为人所知（比如电学里有纪念他的单位，中学生都会知道）；但有趣的是，克莱因于高斯纯粹数学方面的成就却写的较为详细。此外还提到了高斯的《日记》，让人对高斯的创作力叹为观止。我总听到有人说，某个最新研究某某早在几几年做出来了，每当此时我都持怀疑态度，但是如果有人说某研究高斯早就做出来了，那我无条件相信，因为他就是有能力做出来！两件事让我印象深刻，一个是他和我们这些苦逼学生一样，也做过（克莱因说的）“没意义”的替换变量的积分练习；另一个是他的“格言”：如果有不完美的地方，就等于没做。第一个竟然让我有一种稀奇的感觉，原来高斯也做练习，和大家一样都做过双纽线方程的积分，我不知道怎样表达这种感觉，只能说每个人都有成为牛人的机会，是我们太懒惰。但是高斯的那句格言，却显示那种对自己严苛的要求。看看中国学术学的光怪陆离的现象，毫无创造力，至于恬不知耻的学术造假就不说了。应该给那些所谓的教授们都发一本这书，真是要比成天发那些干部高官的鸡毛鸡肋有价值的多。对于高斯的徒子徒孙们也着墨很多。书里有些小八卦，比如狄里克莱的夫人是音乐家费利克斯·孟德尔松（优雅的作曲家，创作了《仲夏夜之梦》，生平事迹可以看哈罗德·勋伯格的《伟大作曲家的生活》）的妹妹。因为这个事实我确实激动了一下。下面扯点别的。无论是高斯还是黎曼，都是综合应用数学和纯粹数学研究的大师，他们从纯粹领域迅速转入应用领域的本事令人叹为观止，数学武器的强大在他们手中发挥到了淋漓尽致。克莱因这样比喻到：现在摆在橱窗里的精美的数学，受到了鉴赏家们的一致称赞，但它们本来是武器，是用来对付难缠的敌人的，而人们却逐渐忘却了这个本原的用处。克莱因的看法非常有道理。牛顿应用微积分（尽管广泛被人们认为是发明）不是因为微积分精美（当然的确很美），而是其巨大的使用价值。当然历来关于数学的应用有不同的看法。两方面没什么对立的。我即同意哈代关于数学的一切看法，也欣赏克莱因在这方面坚持的数学传统。（比较哈代在《纯数学》前言中的说明或者《一个数学家的辨白》，差异何其明显）再来谈谈这书的翻译。本书中文本译文质量尤其令人赞赏，所以对翻译有要求的同学们不用担心。译者是齐民友，不仅是一个偏微分方程和数学物理方面的专家，还是一个杰出的数学著作的翻译家。这位译者的译著质量都出奇的高，这本书中几乎每个容易混淆的细节或不熟悉的事实——无论是概念上的还是有关历史事实的——都有注解，在今天这个浮嚣的数学翻译界独树一帜，令我无比敬佩。再赞一个。价格稍贵，毕竟300页实在不算厚书，而且在打了8折的折扣以后还是要55块钱，不管是不是一种心理暗示，这本书带给我的远远超出了这55块钱，让我渴望在19世纪巨擘们的指引下向着数学世界继续迈进。