《魔鬼数学》书评

魔鬼数学揭示生活数学奥秘

魔鬼数学揭示生活数学奥秘初次看到《魔鬼数学》这本书，觉得挺吃惊，数学具有工具性、科学性，可怎么还具有魔鬼性，难不成它是魔鬼？这让笔者真是百思不得其解。数学到底有什么魔鬼特征呢？我把这个书名和疑惑跟朋友说了，朋友也是书迷，爱读书之人。他说，书的名字《魔鬼数学》多么牛气的名字啊，寓意深刻，他觉得魔鬼是夸张的手法，是比较夸张的言辞。而后，我还是将信将疑、半信半疑，不过，我比较善于钻研那些有挑战性的书籍。于是，我又通过网络搜索，大体了解了一下这本书。可是，网络上搜的都是些只言片语，若想了解整本书，还是要买真整本书学习、研读了。于是，我就网购了一本，仔细研究一下。通过阅读，我越来越喜欢这本书了，书中介绍说，如果你是一个有“数学焦虑症”的人，你可能不会相信有一天你会爱上数学。书中举了很多和生活息息相关的例子，世界知名数学家乔丹•艾伦伯格告诉我们这样的认识是错误的。数学与我们所做的每一件事都息息相关，可以帮助我们洞见在混沌和嘈杂的表象之下日常生活的隐性结构和秩序。你应该提前多长时间到达机场？民意调查的结果真的能代表人们的意愿吗？为什么父母都是高个子，孩子的身高却比较矮？用什么策略买彩票才能中大奖？《魔鬼数学》运用数学方法分析和解决了很多的日常生活问题，帮助数学门外汉习得用数学思维思考问题的技能。看来，生活中事事、时时处处都有。民意调查的结果真的能代表人们的意愿吗？没看这本书之前，我觉得，民意测验应该有理想的可参考性、参照性。可细细读了本书后，我发现，事实并非如此，有很多事实并不是像我们的想想如出一辙，的确有些与众不同。为什么父母都是高个子，孩子的身高却比较矮？这里有遗传的问题，有后成长的问题，可是背后还有很多数学问题在发生作用，这的确不简单啊。用什么策略买彩票才能中大奖？这也是一个比较热门话题，希望喜欢读这本书的人，自己去揭开摸底，自己去发现问题的真相，解开更多的数学秘密，让数学王国的魔咒尽快打开，让魔鬼数学绽放更具魅力的多多奇葩！

安乐椅上见真章

二战期间，数学家亚伯拉罕·瓦尔德所在的研究小组为美军军方提供飞机装甲的优化方案。瓦尔德没有多少空战知识，唯一的依据仅仅是与敌军交火后返航飞机上的弹孔。他给出的答案超出军方的预想：装甲最多的不应是弹孔最多的机身部位，而是弹孔相对较少的引擎部位。这不难理解，引擎中弹的飞机大多未能返航，然而实战经验丰富的高级军官们反而没想到这点。运筹帷幄的瓦尔德像极了推理小说中的安乐椅侦探，四两拨千斤，看似没怎么行动，灰色的脑细胞却会为了新发现亢奋起来。不过这也没什么神奇的，乔丹·艾伦伯格的《魔鬼数学》为我们揭示了各中奥妙，书中这样的例子比比皆是，看上去很玄妙的安乐椅“侦探”，只是用到了数学的思维习惯。若是有心，你我皆可做到。数学思维习惯大抵称得上是人与计算机的本质差别。科技再进步、计算机性能再优化，人脑也不会完全被取而代之。“判断所得结果是否有意义，或者判断所采用的方法是否正确，离不开人的智慧。”一如瓦尔德分析弹孔的例子，计算机只能统计出飞机各个部位的弹孔。不加思考地利用数据、直接加固弹孔最多的地方，那就大错特错了。数学思维是严谨的，要求我们关注问题所有的可能性。福尔摩斯说：“排除掉所有不可能，剩下的不管多么难以置信，也是真相。”数学思维却提出另外一种假设：“除非是我们没有想到的可能。”不加遗漏地探索所有可能性，有赖于在不断精进的数学学习过程中养成的思维习惯。《魔鬼数学》像是在向传统数学教育宣战。真正的数学往往在解题之外，而应试教育却把重心放在了记公式、寻技巧上。强化做题并不能培养出数学家，这也是国人奥数常遭诟病的原因，我们在国际奥数竞赛上所向披靡，却鲜有真正的数学大师。我们记住的公式，在遇到实际问题时，反而成为了障碍。譬如我们了解统计学，用数字比较几者的区别，却被大数定理忽悠了，执着于没有太大意义的数据；我们惊艳于实验数据，却忘了回头想想零假设的存在，轻信了浮于表面的华丽宣传；还有那有迹可循却不按牌理出牌的概率问题，为什么总和我们设想的不一样？艾伦伯格说：“用一个数除以另一个数只是单纯的计算，考虑清楚用什么除以什么才是真正的数学问题。”没有养成数学思维，先养成了解题思维，那才是最大的悲哀。相反，倘若养成了数学思维，哪怕没有在数学界有什么作为，敏锐地捕捉到彩票的漏洞，抓住最佳时机赚上一笔，也是美事一桩。自打19世纪末，奥兹希女男爵开创了安乐椅侦探先河之后，吸引了无数推理作家挑战这一模式。约翰·迪克森·卡尔、阿加莎·克里斯蒂、埃勒里·奎因，耳熟能详的大师们乐此不疲。这些安乐椅侦探的数学应该都不差，东野圭吾索性将他笔下的“安乐椅侦探”汤川学设置成大学物理教授。“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的诸葛孔明同样精通数学，兼职的发明家亦非徒有虚名。看起来很美好的安乐椅侦探不是做做白日梦，找几个助手跑跑腿就能洞悉一切的。他们也有过废寝忘食学数学的时候，严谨、踏实、不满足，养成了数学的思维习惯，见招拆招看破真相也就不是难事了。——乙未年读乔丹·艾伦伯格《魔鬼数学》

关于数学的爱恨情仇

引子魔鬼的特质：可怕的，神秘的，有诱惑力的，又令人着迷的。你看吸血鬼日记的粉丝有多少就知道了，而数学也有类似之处。这本数学科普书直译叫做《怎么能不出错》，是用数字说话，以数学中统计学为基础来分析生活中的问题和社会现象的科普书。不讲公理定理这些定型知识，主讲数学思维还有推理方法。让你知道数字背后隐藏的秘密。书的精妙，还是要读了里面的故事才能体会。对数学感到最亲切的时候是在小学解应用题，例如：“一行树木共36棵，原来每隔2m种一棵，现在树木长大了，要改为每隔5米种一棵，一共有几棵不必改？”很生活化吧，没事儿做个题，觉得还挺有意思，那时魔鬼还是很有吸引力的说。等开始解方程，背公式，人脑当计算器使得时候就不能欢乐的玩耍了，那点儿对数学的好感统统被没生气地枯燥计算给磨没了。我想很多人对数学的厌恶就是从中学开始的。到大学时候，高数老师讲课，讲欧拉公式，推导半天，最后驻足讲台看着黑板，感叹说：真美啊。当时我们坐在下面听课的心情是崩溃的，完全找不到北，谁能告诉我这三角函数还有个e哪好看了？ 后来上专业课，流体动力学老师写欧拉方程，那一串希腊字母下来，我是恨死这个叫欧拉的了，怎么哪那都有你啊！ 可惜没办法咱学理工科，尤其还是偏力学方向的，四年下来被公式虐到恨透了一竿子数学家。但别忘了日久也是会生情的，公式看久了，数字算多了，也是能培养出来一些数学直觉的。其实电子，机械，力学里面很多公式都是相似的，感觉是一个模子刻出来，就换了个名称而已，说白了都是数学这个爹的生出来的儿子。社会科学也一样，求个边界，算个极值，不过就是微积分的道理。数学够可怕吧，渗透各个领域，的确哪那都是它啊。所以数学是不可避免的存在，那从数学中能学到什么呢？书里面举了五花八门例子，只为了告诉你数学是怎么解疑难杂症的，再也不是简单的公式和数字，而是会让你脑洞大开的数据仓库。让数学说话，为啥电商能精准投放广告给你？那是有大数据在背后支撑的统计学算法求出来的。对，数学就是魔鬼，虐你千遍又魅力无限。现在我终于理解当年高数老师的那句“真美啊”。数学的美在于它的严谨，精妙还有普适和自然。你不用知道怎么算导弹的攻角，只需要明白相貌英俊的男性为什么不友善的原因其实是个统计学问题。了解点儿相关知识，就不会再少见多怪了。最后吐槽一句我中学数学老师说过的话：“将来你们找老公最好要个搞数学的，因为基因都是变异的，生出来孩子绝对优秀。”我理解老师想说的是有数学思维的人看问题的角度会很不一样，生活会更多精彩吧。

不是所有线都是直线

数学令人“深恶痛绝”的原因有很多，比如枯燥的计算、各种繁琐的公式，更重要的是，在耗费大量心血，几乎要白几根头发才能完成各种复杂的练习题时，非常想问：做这些到底有什么用啊？虽说“不为无益之事，何遣有涯之生”，但那也是指做有趣好玩的事情吧？做那么复杂枯燥的计算来消遣有涯之生，可也太悲催了。况且，不是有人说，应付日常生活，只要初中二年级数学水平就可以了吗？那么学数学的现实意义在哪里？如果只把数学放在“1+1=2”这个范畴，可能初中二年级数学水平足以应付“买买买”的需要。而乔丹•艾伦伯格的《魔鬼数学》却认为，日常生活中遇到的各种问题，诸如政治、医药、商业、宗教等等，都与数学有着不可分割的联系。为了论证这个观点，作者在书中第一章“线性”中就抛出观点：数学是一种非线性的科学。这跟传统数学学习观念截然相反。在一般人看来，数学就是要学习“1+1=2”这样确定的知识，无论论证过程有多复杂，计算公式有多繁琐，数学都不会出现“1+2=1”这样的结果。《魔鬼数学》的作者则根据各类数学公式、定理来论证“数学的非线性”问题。无论是用数学公式推导出的经济繁荣程度，还是几何、微积分问题，如果一直沿用线性概念，往往会出现悖论。类似“永远无法到达的冰激凌商店”问题，即，如果步行去商店买冰激凌，走完一半路程之前不可能到达商店。那么接下来再走完一半路程，不接着走完剩下的路程的一半，依然无法到达商店。如果每次都走完剩下路的一半，才有可能到达商店，如此循环下去，那么只能是越来越接近冰激淋店，而永远无法到达。如果按照数学理论，这是可以计算出的结果，无限接近于1，而永远达不到1。但在现实生活中，这明显是不可能的事情。为什么？作者非常“睿智”地教导，正确回答这个问题的方法是：谢绝回答这个问题。但他其实是想借这些推理过程说明，数学研究说到底并不是教人如何计算的科学，而是常识的衍生物。数学思维，是一种思维方式，这种思维方式的精髓恰恰就在于：不确定性。在接下来的“推理”“期望值”“回归”“存在”几部分里，作者采取了多种方法来研究解释说明这个问题。《福尔摩斯与华生》里福尔摩斯有句著名的话：“我的座右铭是：如果你将不可能排除在外，那么剩下的，无论可能性多么小，都必然是事实”。按照数学思维，作者论证过程中得出，其实这句话应该说成“我的座右铭是：如果你将不可能排除在外，那么剩下的，无论可能性多么小，都必然是事实，除非它是你没有考虑到的那个假设”，才更加全面严谨。这也是作者在书中反复强调的一个理论，之所以数学会有不确定性，就是在现实生活中存在各种变量，各种可能，只有将所有的可能都考虑在内，才能得出最接受标准的答案。但答案永远是无法完全标准的，因为变量不可能全部囊括在内，或者说，永远有无法预料的变化在。所以，虽然作者花了很大力气来表达数学思维可以帮助人们做决定，可以帮助人们选择买哪支股票，彩票买什么号码，但这些选择都不会是100%确定的。无论用来预测2048年是不是全部人都是胖子，还是2050年会有多少人得肺结核，虽然理论上按照一定的公式可以推导出，但那都是不准确的。就像预测谁会成为下一届美国总统，最准确的诊断是某人有百分之多少的可能做美国总统，而不是某人能做美国总统。那么数学是不是完全一无所用了呢？当然不是。数学是常识的衍生物，有的活动虽然没有被表示成一个方程式，或者被画成一幅图，但都属于数学活动。就像作者所说，决策时不仅要考虑所有可能的未来，还要考虑所有可能事件的影响，密切关注哪些事件可能发生、哪些事件不太可能发生；为认知找到最佳的平衡点，使直觉在形式主义推理铺设的康庄大道上自由驰骋，都可以用到数学知识。同样，数学思维是一种思辨，在不确定性中考虑到尽可能多的可能，本身就是一种思维的体操，非常具有趣味性和魔力。

收伏数学这头“魔鬼”

很多人闻数学二字即刻丧胆，两股颤颤，几欲先走。它是大多数人学生时代的噩梦，是记不住的公式，做不完的习题册，和触目惊心的红叉叉。那么问题来了，数学真的是不可攻破的洪水猛兽吗？在乔丹•艾伦伯格教授（Jordan Ellenberg）笔下，数学有着另一幅面孔，它像一个忠仆无微不至，让人拥有火眼金晴，一路KO各路妖魔鬼怪，不断勘破真相，升级进步。这本《魔鬼数学》就像一本简易“黑魔法防御术”教程，全书从线性，推理，期望值，回归和存在五个方面，妙趣横生地指引读者收伏这头折磨你多年的“魔鬼”。第一步，克服你的畏难心理，这头“魔鬼”并不会打你咬你，要好好看清它的长相，了解它的功用，这样一来，你便清楚只要学会它的语言，就可以命令它为你服务。那么问题来了，究竟什么是数学呢？艾伦伯格教授的答案是“数学就是常识的衍生物”。常识就是，你有两个本子，再加上三支笔，和你有三支笔，再加上两个本子是一样的，没有区别。在数学领域，这被称为“加法具有交换性”，用公式表示就是：对于任意的a和b，a+b=b+a。虽然很多人觉得数学的符号体系和抽象性让人难以理解，但这一堆高度抽象化的符号，与我们平时的思维并没有什么不同。那么，第二步，就需要建立数学和现实生活经验的联系。要解决这个问题，就不能满足于在课堂内的学习。还要增进阅读量，了解科技的前沿发展，并积极思考，试图用已经掌握的数学知识来解释现实中遇到的问题。假如，你在玩押大小的赌博游戏，已经连续7次都是大局，那么第8次出现小的机率会更大吗？直觉向我们传递的信息是，连续多次大，那么下一局出现大或小的机率就高。然而，数学告诉我们，每次开局，出现大小的机率都是相同的，前一局如何并不会影响后续的结果。如果不能清醒的认识随机性原理，不信邪的赌徒，或许会因为连续的非理性决策而损失惨重。像这种导致人们做出非理性判断的直觉还有很多，就像很多人会觉得越有钱就会越快乐，然而，当收入超过生活成本一定程度的时候，人们所获得的满足感（快乐）是递减的，在经济学中叫边际效用递减，在数学领域中，最简单的解释为非线性思维。“非线性思维表明，正确的前进方向取决于你所在的位置。”相比较而言，越有钱越快乐就是典型的线性思维，即是指两个变量之间的变化是恒定的，还真是种一劳永逸的懒人思维。所以，第三步，收伏数“魔鬼”的第三步就是，调整思维方式，改掉坏的思维习惯。总之，读了这本《魔鬼数学》，你将恍然大悟，原来曾经学生时代做过的习题，也不是白白耗费青春，这些数学原理，充斥着我们的日常，只不过我们蒙着双眼，不敢看它，只能被动地使用。在我看来，数学是一种人类的认知方式和工具。而一旦了解这些抽象符号的意义，收伏数学“魔鬼”，我们将会做出更准确更理性的判断和选择。还在等什么？快来收伏它吧！

用数学摆脱荒谬

作为一个曾经在大学幸免于高等数学的文科女生，大抵因为不曾受到伤害，所以对数学仍存着一往情深。读完乔丹•艾伦伯格的《魔鬼数学》，显然能增加对这门学科的好感，他用平易的语言、接地气的例证生动讲解了一系列高大上的数学概念，更为重要的是，身为读者，我们无需像在课堂中一样正襟危坐，在草稿纸上进行枯燥的套用公式计算，更不用担心被厚重的课后作业与艰难的考试所困扰。摒弃了这些不愉快的经历，与数学为伍成为了一件让人身心愉悦的乐事。乔丹用一本书的篇幅论证了数学思维方法的重要性，数学对于生活不可或缺，成为常识的衍伸，让我们活得更明白。全书通过线性、推理、期望值、回归与存在五部分，用数学的方式讨论了我们日常生活中与通过媒体获得的各类报道的正确打开方式，有助于解开心中不少疑惑之点。乔丹是一位好老师，虽然他的教学内容和思路与传统的数学课大相径庭，更接近于管理类课程中的社会研究方法。在有些时候，看似严谨的科学研究亦有陷入荒谬。在推理部分，乔丹讨论了“赢家诅咒”与“文件柜”的问题：有的实验在设计、样本选取、进行方式上看起来均令人信服，甚至取得了广受赞誉的结果。然而，如此完美的实验却无法重复论证，导致公开发表论文的正确率竟仅为千分之一。他甚至列举了其中一个极端的黑色幽默例证：根据p值（概率）<0.05（非常显著）作为标准，通过遗传标记相关统计论证表明——吃绿色豆胶糖与得座疮具有95%的相关性。“由于大众传播受到统计学显著性临界值的影响，导致某个学科领域对某个假设的证据形成了严重歪曲的观点。”这样的情形在日常生活中随处可见，由于错误地对于数据统计结果的迷恋，我们制造出了甚多不合理的实验结论，写成漂亮的论文，通过科研升职加薪，却不负责任地留下了荒谬的研究结果，误人子弟。而在大数据时代，如何运用好数据与算法，则是我们能够立足于现世的必备技能。除了研究，乔丹更倾向于用数学的思考方式影响我们的生活日常，比如不要买彩票，因为胜算不大，比如我们并不用为了更小的误机概率而提前3小时甚至以上来到机场。掌握了数学思维，我们会更容易理解，父母高，孩子不一定也高，或是颜值高的人为何脾气差这样的社会现象。不是所有的线都是直线，平行线甚至也会相交。数学也许未必会改变生活，但能让生活变得更澄明，也足以值得一学。

数学的力量

数学是一门令不少人头疼的学科，又是一门逃不了的中小学必修课，患上“数学焦虑症”的学生到头来只能硬着头皮，甚至工作之后都会在心里留下阴影，谈数学色变。另一方面，数学又为人类生活须臾不可离的知识，小到去超市买东西付账，大到测算小行星运动轨迹，数学都起到了关键的作用，指导着整个世界的运转，标识着数学在社会生活中的重要性。在信息科技的时代，大数据左右人类的各种经济活动，这时，数学以及数学思维的力量日渐凸显。美国威斯康星大学数学系教授乔丹•艾伦伯格（Jordan Ellenberg）在新作《魔鬼数学》（How Not to Be Wrong）一书中，揭示了混沌和嘈杂的社会表象之下隐藏的数学逻辑之美——日常生活的隐性结构和秩序。作者还强调了数学思想的无穷力量，以及在工作和生活中如何运用数学思维做出正确的决策。众所周知，在一个信息爆炸的时代，数据噪音常常大到足以淹没有效的信号，使得整个世界都处于一种不确定性之中难以自拔。尽管人们通常认为数学研究的是确定性和绝对真理，但数学显然还有更大的功用，它还是人们用于思考不确定性事物的手段。借助数学知识和数学思维，我们即便无法完全驯化不确定性，但至少可以使它变得易于驾驭。比如神秘而美丽的随机性，若一个赌徒理解这一概念，借助数学，他就能计算出在不确定性最大的情况下赌注的赔率。再如近半年来波诡云谲、起起落落的中国股市，尽管一批又一批的新老股民前赴后继，陆续“阵亡”，但从长线看依旧有少数人屹立不倒，这就是掌握了技术分析的优势，对股市的不确定性有了比较精准的预测和研判。数学是非常强大的逻辑思维武器，它可以解释大多数自然现象的成因并总结规律，也可以对非线性问题加以控制。当然，对于普通人来说，要求他们掌握概率论与数理统计显然不现实，但具备数学的思维方法却是作为一个现代人不可或缺的素养。反过来讲，缺乏数学思维常常会陷入思考的盲区。艾伦伯格在书里讲了一个真实的故事：二战期间，美军为了减少战机在空战中的损失率，对作战后顺利返航的飞机的中弹率做了统计，结果是机身的中弹率要高于引擎，所以军方倾向于加固机身。但被数学家瓦尔德驳回，他指出了军方统计方法的缺陷——没有考虑在空战中被击落飞机的中弹率。一个没有任何空战经验的数学家为何能敏锐地直陈要害，作者认为，“根本原因是瓦尔德在数学研究过程中养成的思维习惯”发挥了重要作用。也许我们这辈子用到数学的知识只有加减乘除，但在学习数学的过程中掌握的思维方法却会受用终身，这也是艾伦伯格作为一名数学家最想对世人表达的想法。《魔鬼数学》讲述了许多运用数学原则解决现实生活问题的案例，在阅读时，我感受到了数学和数学思想的魅力，体验了一段愉快的探索数学之美的旅程。2015/09/26　　　　　　 Thanks.@韩蕊阳

读书 | 大数据分析能预测出谁会成为恐怖分子吗？

2015-11-24 发表于三联生活周刊微信公号link乔丹·艾伦伯格是威斯康星州立大学的数学教授，他在《魔鬼数学——大数据时代，数学思维的力量》一书中用数学方法解释了一系列既有趣又有现实意义的问题，试图扭转人们对数学抽象而枯燥的认识。人们时常在不经意中掉进数字的陷阱。在红球和黑球中随机选择五次，一般人会认为出现“红红红红红”的概率要低于“红黑红红黑”的概率，让人们在0至9中选一个数字，他们最常选的是7。2009年伊朗总统选举中内贾德以较大优势胜出。哥伦比亚大学的两个研究生指出，这场选举中很可能有操控选票的行为。他们研究4名主要候选人在伊朗29个省得到的官方总选票数，一共得出116个数字。如果数据没有造假，那么这些数字的末位数应当是随机数，但计票结果显示，末位数是7的次数是正常几率的两倍，这说明票数很有可能是人为捏造的。Facebook能预测出谁会成为恐怖分子吗？《魔鬼数学》中提出了一个很有应用前景的问题：Facebook能预测出谁会成为恐怖分子吗？Facebook通常掌握着用户的真实姓名和地址，了解他们的人际关系和行为方式。掌握了大量数据，预测用户中谁有可能参加恐怖活动这个问题并不困难。“从数学角度来看，这与判断Netflix用户是否有可能喜欢看电影《十三罗汉》的区别不大。Netflix通过向用户推荐自己没看过的影片，亚马逊向顾客推荐新书，已经是一项我们司空见惯的服务。塔吉特百货公司能够通过一个少女购买的无香味护肤液、矿物质营养品和棉球的数量增加，准确地推断出她怀孕了，并向她派送婴儿服装优惠券，而同一屋檐下的女孩父亲对此可能毫无察觉。”这些预测的背后是数学模型，类似于一套评分系统，网站根据收集来的大量数据，对顾客尚未发生的下一次购买行为的几率进行打分。这就与Facebook预测恐怖分子的原理非常类似。他们可以为一系列已经被认定犯有恐怖主义罪行或者支持恐怖组织的人建立档案，然后进行数学统计：恐怖分子的状态更新规律与普通人相比是更多还是更少？他们使用哪些词语的频率更高？恐怖分子喜欢哪些乐队、组织或产品？Facebook将这些规律加以归纳，可以对每位用户打分，预测该用户与恐怖组织有联系的概率。预测结果可能是从2亿美国用户中筛选出一份10万人的名单，并指出：“名单上用户是恐怖分子或者恐怖主义支持者的概率，是普通用户的两倍。”在技术上，制作这样一份名单并不困难，关键是我们如何解读这个名单的含义。假设10万人的名单中，有万分之一（即10人）确实是恐怖分子（其余99,990人是无辜的）。但Facebook会认为自己的预测已经足够精确，因为将一个无辜的人列到恐怖分子嫌疑人名单上的概率为仅为约0.05%（99,990 /199,890,00）。那么，如果你邻居的名字出现在这份名单上，就意味他很有可能是恐怖分子吗？不，实际上你的邻居是无辜的概率高达99.99%（99,990/100,000）。一方面，遵纪守法的人几乎不可能被列入名单；另一方面Facebook算法筛选出的人大部分都是无辜的，但这个矛盾并不是算法错误导致的。此处作者艾伦伯格引入了数学定理贝叶斯推理中“先验概率”（prior probability）的概念，即面对这份名单时，要首先意识到：在2亿Facebook用户中，恐怖分子极为少见。大多数人都不是恐怖分子，因此该假设的先验概率非常小，即使找到相关证据，我们也不必十分担心 。乔丹·艾伦伯格艾伦伯格提醒说，大数据无法判断谁是恐怖分子、谁不是恐怖分子，它只能做到给某些人加上标记，认为他们更加危险和值得关注。数字帮助我们透过混沌和嘈杂的表象去理解世界中的隐形秩序，相信数学方法的力量，不代表数字是万能的。要对矛盾有一定的容忍度，并且在情感、道德、信仰问题上，数学应该保持沉默。恐怖袭击与大屠杀，哪一种暴行更恶劣？哈佛大学教授史蒂芬·平克在《人性中的善良天使》提出，“20世纪是人类历史上最血腥的世纪”这一论断值得怀疑。如果按比例换算，安史之乱是是人类历史上最严重的暴行，死亡人口占当时世界人口的1/6。17世纪欧洲的三十年战争期间失去生命的人只占世界人口的1%，但如果按比例换算成现代社会的人口，就意味着有7000万人丧命，超过20世纪两次世界大战死亡人数的总和。但如果机械使用比例换算，得出的结论并不能完全令人信服。恐怖分子杀死1074个以色列人，占以色列总人口的0.015%，那么1074个以色列人的生命，是否相当于7700个西班牙人，22.3万个中国人，300个斯洛文尼亚人或1~2个图瓦卢人？“9·11”事件中死亡的人占美国人口的比例仅为0.001%，这个数字近似于零，显然不能与这场恐怖袭击给美国人心理留下的伤痕等价。在《魔鬼数学》中，艾伦伯格说，在比较暴行残忍程度时，我们既不能使用绝对数，也不能使用比例，因为它与比较数量大小的问题在本质上是完全不同的。一场恐怖袭击刚刚发生在自己所居住的城市——不是在发生历史上的某个年份，也不是远在地球另一端。那么只要展开想象，就能知道它给人的悲伤感受，“这个方法无论在数学还是在道德层面都是无可指摘的，也不需要进行复杂的计算。”作者身为一名数学教授，写出的这本书比一般读者所期待的休闲读物要“更数学”一点，除了介绍数学思想之外，也不会避免列出算式。但他强调，得出算数上的正确答案，不等于掌握了事实真相。不能迷信论文的研究结果，艾伦伯格借用了科学博客xkcd上的一个讽刺漫画：当你看到“绿色豆胶糖与得痤疮的相关性”置信度达到95%（p值小于0.05）时，并不知道研究人员在试图证明“黄色、紫色、红色……豆胶糖与得痤疮的有关”的研究中已经失败了20次。艾伦伯格说，学校数学课的上计算题就像是职业足球选手为了锻炼力量、速度、观察力和柔韧性，必须在健身房里进行枯燥的重复性训练一样，确实必要，但不是数学的实质。对于不想成为“职业数学选手”的一般人来说，比解答算式更重要的是用数学思维理解现实问题。

数学是一种洞察力

数学的花样年华，盛开在与日常有关的事物里，带一种自然亲切的风采，绝不是我们通常固有的刻板印象。世界知名数学家、美国科普作家乔丹•艾伦伯格的《魔鬼数学》，可谓是“深入浅出”的典范创作，涤清了我自小读书以来对数学的畏惧感，原来数学可以这样有趣，原来数学可以这样融入生活，原来数学拥有这样一种非凡的洞察力。0.9999……=1吗？很多人立刻摇头，然后马上说，应该是等于1减去一个无限小的数。嗯，是这样吗？现在换个说法。古希腊数学家芝诺的诡辩，艾伦伯格用现代场景形容为“永远无法到达的冰激凌商店”。无论你走完多少个半程，你永远无法到达冰激凌店，总会有一段极小但不等于零的距离。犬儒学派的第欧根尼用行动直接驳斥了芝诺，我们当然也清楚冰激凌最终肯定能吃到，但是问题好像还是没解决啊？从芝诺到牛顿的“无限小”、贝克莱的“逝去量的鬼魂”、哈代的发散级数、柯西定理，数学对这个貌似简单的问题的纠结，答案不是要点，重要的是福尔摩斯式的推理过程，如果情况显得诡异，说明一切皆有可能。对于那些看上去自相矛盾的事情，人们的第一反应往往是，“这怎么可能！”恰恰是这些看上去自相矛盾的洞察力，能够将我们引上通往更好发展方向的途径。0.9999……=1还是<1？都有可能。艾伦伯格提醒我们，这不是数学的相对主义。数学既要重视答案的准确，也要鼓励明智的含糊，数学向来是灵活多变的，向来要在习以为常的生活中寻找各种“不可能”，并研究“不可能”背后的必然规律。《魔鬼数学》既不冷艳高贵，也不浅陋平庸，那些高深的数学理论，微积分、素数、概率、线性回归等，时时刻刻与当下的经济生活、社会生活联系起来，理论明晰且非常实用，擦亮我们的眼睛，及时发现“不可能”。哈维团队在“Cash WinFall”彩票中的赢利让人咋舌。他们发现了规则中的漏洞，抓住每次累积奖金向下分配的时机，在六年的时间里，分批分地点购买事先演算出的彩票号码。作为麻省理工学院的学生，专业的数学知识帮了他们大忙，或许有人说这个案例并不典型，普通人难以捕捉这样的机会。那么，2007年的美国次贷危机呢？“怎么可能？绝不可能！”是什么蒙蔽了人们的眼睛？巴里等“大空头”获得的资料和数据并不是绝密文档，几乎每个华尔街人都可以看到，只要稍加思考，就能找到其中自相矛盾的各种问题。与其说巴里的洞察力令人佩服，不如说华尔街“精英”的盲目更让人惊讶。对于普通投资者而言，即使我们看不懂数据，至少我们要明白“选股必涨巴尔的摩股票经纪人”绝不可能存在，不要把钱交给所谓的“专家”，世界上没有那么多的神算子，只不过刚好有人会被概率砸中。学一点数学真的很必要。生活里的许多场合——那些经常被有意或无意地巧妙运用的数学，本身展现给公众的都是无辜的、美好的一面，但其实是出于某种目的而异化为玄虚或欺骗的法宝。如果直觉与事实相抵触，那就依靠数学常识来解决问题。看过“拉弗曲线”，就能理解税率与政府之间的关系；知道“线性中心主义”，才清楚“按比例换算”原来那么荒谬；“大数定律”就是那只不讲情面的、无法抗拒的手；“比盘子还大的饼状图”反映了“真实但是不准确”的数字错位……这些数学常识告诫我们，必须要注意数学出现的场合，离开了附着的情境，数学就会成为有心人的工具，政治选票、市场数据、盈利报告，这种那种，它们往往用繁琐的、累叠的数字来包裹，能够破解它们的就是数学思维培养出的洞察力。大数据时代，我们需要具备明澈的数学思维。各种各样的数学问题包围我们的生活，小至电信扣费，大至GDP报告，我们有太多的数据，却很难理解其中的相关性。数学本身就是一种生活态度，以数学的眼光来看生活，就不会有那么多的模糊。繁花似锦的复杂路途常埋陷阱，而最简单的总是被证明是对的，当然也是好的。原创书评，如需转载请先联系本人，见豆瓣主页联系方式，谢谢。

数学，理性的基础

走出校园多年，就连当年的学霸都要感叹一句：“数学？恐怕只会加减乘除了。”确实，似乎真的没有什么工作会要求数学考级的，除非是与这个领域相关的专研小组吧。如果你想用一道题难倒你的数学老师，你就问他：“现在学的这些知识到底什么时候能用上呢？”这时候，你的老师就会抽动已经僵硬的腮帮子笑笑，尴尬的回答你：“总会用上的。”我就是带着这个不甘的疑惑，阅读这本《魔鬼数学》的。一边看一边回想高考前无数个熬夜刷题的夜晚，那个恨啊，感觉全白学了。读着，读着，我好像开始理解封面那句“大数据时代，数学思维的力量”。或许那些勾股定理、正余弦、各种函数，我们真的用不上了，而思维模式却留下了，毋庸置疑。假如你今天看到一条健康咨询说吃苦瓜可以减肥，你会疯狂的吃尽天下所有苦瓜吗？肯定不会吧，也有人为了养生而不吃很多东西，结果却导致肠胃菌群的不平衡。其实这也是和数学有关的。恰如这本书第一章提到的“线性模式”可以解释。假设你的健身教练告诉你，你只要坚持锻炼一定的时间，体重就可减轻多少多少的量。在这个随着时间加剧运动和体重减轻的过程，就是直线模式，这时候我们会觉得运动量越多体重就越轻。但是实际上，我们的身体素质是有饱和度的，减重量达到最高点，就开始进入维持阶段，如果这个时候我们松懈了锻炼或是管不住嘴，体重不减反增。接着你再努力迈开腿，体重又开始减轻。这一系列体重在增多、减轻的过程，呈现的会是曲线模式。作者更倾向于曲线模式的事实，他认为：“非线性思维表明，正确的前进方向取决于你当前所在的位置。”我也是相信曲线模式的，人生无常，太多的因素可以干扰任何一件事的成与败。若是处在一个人力、环境、时机最佳的位置，我们就可以达到成功的最高点。人生更多时候是在波动的状态，不过倘若不努力，那就真的只能跌倒在最低点了。马云的一句“梦想还是要有的，万一实现了呢”火了好几年，至今仍被大家视为金句。而这句话里的“万一”便是概率论，还是和数学扯上关系了吧。说到概率，想必大家都想知道自己中一张彩票的期望值有多高。而这本书告诉你，除了中奖值得期待，其实卖彩票的都是能赚钱，只是赚多赚少的问题罢了。有人觉得数学不该是必学科目，而应该划分到理科。那么，我想请问文绉绉的文科生们，你能正确的理解“且”、“或”、“且非”、“或非”、“并”等这些词吗。如果你学过数学中的“推理”，你一定能很娴熟的运用。“推理”其实不是读书时课本的内容，说到这个我要得瑟一番，本人曾经是参加过奥数的人哦。好吧，只过了初赛，复赛没戏，也没什么可炫的。不过我就是在奥数培训的时候，接触到的“推理”。说白了，破案最需要的就是这门知识。除此之外，这本书更侧重于阐述“推理”在股市、政坛以及互联网中识别恐怖分子的运用。平时生活中，当人们在一句话中用到“且或非”，我们应该要正确解读，才能良性交流。不然，不就是对牛弹琴了嘛。我是做会计的，我们常常会因为一分钱的差异必须查账。财务的严谨性不是说自己掏腰包补下这一分钱就能解决问题的，有的人为了这一分钱通宵达旦，有的人却能很快找出问题所在。说起来也不过是加减乘除的失误造成的，但查账的方法和速度就是思维强与弱的差别了。数学，这玩意。看似无用，其实无所不用。我认同“数学思维”这个词，说得非常恰当。它是理性的基础，是通学之术，所以既不偏文，也攀不上理。当别人告诉我哪支股票能赚钱，吃什么可以减肥，发表什么话能红......我都能不盲目的跟从，有自己的思想就是理性的思维，这就是逻辑的力量。

借我一双慧眼吧

曾经有一首流行歌曲里面反复吟唱“借我一双慧眼吧”，据说是闫肃老先生为3.15晚会作的主题歌，但是后来在大家眼里成为辨别爱情真假的慧眼。还是回到本来，这个世界陷阱太多了，谁都希望有一双孙悟空的火眼金睛，一眼看透一切的花招和伎俩吧。但是火眼金睛只是传说，而且还得经历太上老君的炼丹炉烤炼，我等凡夫俗子怎样才能拥有呢？别急，《魔鬼数学》的作者乔丹。艾伦伯格告诉你，懂得一些数学，就可以大大提高你的辨别能力，相当于拥有一双火眼金睛了。先讲一个二战故事，为了逃避德国纳粹迫害，犹太数学家瓦尔德逃到美国，进入哥伦比亚大学的统计研究小组工作。这个小组是专为二战中的美国政府服务的。当时美军面临的一个问题是，飞机被打落的较多，所以希望给飞机装护甲，但是又不可能全部装护甲，那样就太重了。当时军方的统计数据中，机身、翅膀、油箱和引擎的中弹率都差不多，引擎甚至还要小一些，所以军方倾向于装备中弹率较高的部位。但是瓦尔德敏锐地指出来，统计数字中引擎中弹率较低，那是因为引擎中弹以后挂掉的概率高，军方统计的数字都是从幸存的飞机身上统计得到的！所谓摆事实讲道理，军方没话说，按照瓦尔德的建议给引擎装备了护甲。对于一般人，这是神一般的敏锐目光，但是对于只对纯数学感兴趣的瓦尔德来说，这是常识。这就是幸存者统计偏差。一个比较极端的例子是，如果发现幸存的飞机上一般不超过一个弹孔，这并不说明所有的驾驶员都技术高超，这说明飞机不能中第二枪----机身上超过一个弹孔，飞机就掉下来了。另一个例子，我们常见的投资广告，里面说他们的专家多么厉害，回报率能够有多高。他们撒谎了吗？你可以说是的，但是他们也可以说不是。关窍在于，这些投资机构在真正推出他们的统计数字之前，会投资很多项目，将资金放入一个所谓的投资池里进行“孵化”，很多项目在这个过程中就夭折了。但是用脚后跟去想，这些基金经理也不会告诉你这些项目的存在的。他们用于吹嘘自己高明的数据都是来自孵化后存活的项目。看着眼熟吗？对了，幸存者统计偏差。在瓦尔德的例子里是由于大兵们脑子简单，无意之中造成的；但是在这个例子里，这些基金经理有意略去了那些失败的投资，将那些失败的投资统计进来，资金回报率也就比银行稍微好一点而已，远远达不到他们吹嘘的两倍甚至三倍银行利率。他们撒谎了吗？他们说没有，数据都是真实的；但是用户会说，撒谎了，因为数据不完整。现代神棍们经常从某一本经典里挑选字母，组成一些眩人耳目的信息。这个东西是真是假？艾伦伯格告诉我们一种叫大数统计的数学工具。如果按照那种方法来组成词语，得到的结果将是极大极多的，里面会有各种各样的结果，找到你想要的词语也就相对容易得多。为什么我们这个世界骗子总是存在？骗子的手段看来特傻，前天看到一个段子说，电话里的骗子一口浓重的福建普通话，一听就是骗子。写手就很奇怪，为什么这么傻的手段还来行骗？因为骗子行骗的基础也是数学，就是大数统计。这些手段很简单，人们上当的概率很低，但是如果把人群的数量扩大之后，就会有人上当了。比如说，一个人上当的概率极低，但是他找一万个人行骗，终有一两个上当的。每个人一通电话不过几毛钱，一万个人也就几千块钱，但是只要一个人上当，就可以得到几万到几十万不等的收入。不要以为这些数学知识只和这些风险相关。有时候还跟我们的性命息息相关。在《鲑鱼会读心术》这一章，一位医学教授就尖锐地指出了目前医学研究中的一些误区。这位教授给一条死了的鲑鱼做核磁共振扫描，每次给鲑鱼看一张人的不同表情的照片后，做一次扫描。根据每张照片被看过后，鲑鱼核磁扫描结果的差异，这位教授说，死鲑鱼有读心术。教授这么干当然是在讽刺当下的“研究”。从数学角度来分析，就是用噪音当做标准，用小概率事件来找规律。我曾经接触过国内某研究所的纳米粒子研究，深入了解之后彻底丧失对那个研究组的信心。那个组只追求漂亮的图片，要知道电子扫描放大镜扫描的区域是极小的，往往他们在扫描一个上午也得不到漂亮的图片，偶尔得到漂亮的图片便如获至宝，拍下照片以备发文章之用。有一次在组内讨论，我问他们考虑过这种结果和广大的不定形区域相比有什么意义没有？这帮人像看怪物一样看着我—有漂亮图片就足够了，管那个干什么？后来我了解到，这是那个研究所的传统，以前他们的所长当学生时，搞的是有机固体在超低压下喷溅成像的工作。说白了，就是让有机分子在很低的气压下气化，然后接收在干净的玻璃上，拍照。由于接收的时候各种方向都有，所以要拍一张漂亮的照片得碰运气。后来这哥们儿有一天在计算机上打游戏呢，突然屏幕上蹦出一张照片。谁都不知道是什么，就把老师叫进来，老师一看，说：这就是那个完美的照片！哪儿得来的？当下赶紧存档。就靠着这一张照片，发好文章，这哥们儿飞黄腾达。那种照片以后再也没有得到过。不止研究所，北大某个研究课题是在苯环上接上去巴基球。巴基球体积巨大，所以要在苯环上接上多个巴基球是很难的，这个组费劲地在苯环上接了五个巴基球，但是要得到好文章，最好接上六个。有一个学生有一次得到了这个结果，质谱显示六个巴基球都接到苯环上了。于是研究组发了一篇指数高的文章，可是问题是这个结果无法重复，后来他们再怎么做，也无法得到那个结果。这种结果有什么意义？王羲之写下《兰亭集序》后自己也重复不了，但是科学不同于艺术，科学追求的是可重复性或者可控制性。不见得每次都能重复，但是我得知道一百次里面能成功多少次，或者失败的原因是什么。在那些功利的研究组里，人们只关心文章，所以小概率事件冒充规律的事情层出不穷；只关心成功，不关心失败的原因。在书的开头艾伦伯格自问自答“数学有什么用？”其实，数学很实用，他能给我们一双慧眼，看清这世上的虚伪和圈套。

我们为什么学习数学？

每个学习数学的孩子，或多或少地都被数学折磨过，很少有人真正在享受数学的快乐。高中的时候，我就想数学有用吗？我们在生活中不会用到一元二次方程、不会用到sin\cos之类的数学公式，更不会用到那些复杂的微积分，生活中更常用的是算数，但是收银台的机器并没有给我们展示数学功底的机会。那么，我们到底为什么学习数学？乔丹•艾伦伯格的《魔鬼数学》简介中的一句“如果你是一个有’数学焦虑症‘的人，你可能不会相信有一天你会爱上数学”便勾起了我对这本数的兴趣，我迫切地希望作者可以说服我放弃之前对数学的质疑，让我相信数学对生活是有用的。抛开书中我这个文科生看不懂的微积分等数学内容，我确实明白了一个道理：学习数学可以使人明智，可以避免陷入人云亦云的怪圈，而保持着独立思考的能力。不管是政府，还是媒体，或是一些科研机构，都善于抛出一些数字，让我们相信他们的一些观点。书中给出了很多例子。美国《肥胖》杂志曾指出“所有美国人到2048年，都会超重甚至肥胖”。看到这样的断言，大多数人可能不由自主的默认了，认为自己到了2048年也会肥胖，但很少有人会去追究这一结论的推导过程。但是作者思考了，认为到了2048年，不是人人都会肥胖。为什么呢？虽然牛顿发现所有的线都与直线非常接近，并且可以利用“线性回归”的概念去进行统计分析，但是不是所有的线都是直线，我们并不能用直线相关关系去反推每一个个体。因此，当我们面对生活中一大波线性回归分析出的结论时，我们要保持冷静，不要轻易相信，更不能将其适用于每一个个体。与此同时，对于很少人真正享受数学这一难题，作者也为数学教学提出建议：“数学教学既要重视答案的精确，也要鼓励明智的含糊，既要培养学生熟练运用已有运算法则的能力，又要引导他们在较短时间内掌握解题所需要的常识。总之，数学教学一定要张弛有度。”对此，我很赞同。数学绝不是简单的加减乘除，也不能将其概括为“数”的运算，数学是一种逻辑思维，学习数学是学会思考的一种过程。高考之前，我的数学成绩一直不错，但是坦白的讲，我只是善于学习数学，并不是善于思考。只要把所有类型的数学题目进行总结，找出公式，这样所有的题目套公式就好了。然而，对于脑筋急转弯、简便算法等灵活应用的题目，我并不擅长，这便是长期缺乏动脑思考的恶果。由此看来，当我们学习数学时，我们一定要学会动脑，而不是贪图一时成绩copy公式。老师在教学的过程中，也应该以诱导性教学为主，启发学生自主思考，让他们图、字、数相结合，从具象到抽象，灵活的学习数学。在这种环境下学习的孩子，才能真正爱上数学。

理性思维的日常伟力——读《魔鬼数学》

文/吴情我们多数人脑中有一个根深蒂固的偏见：数学，似乎只属于少部分从事专门研究的人，它从来就和普通大众的日常生活无关，是比哲学或许更加无用的学问。这一偏见并非空穴来风，它一方面有着深厚的实用论基础，另一方面，也因为办学机制、学科设置和教学现状而得到多数人的普遍赞同。在学习生涯中，我们被人为灌输进一整套数学的概念、公理和运算规则；我们被告知，数学界的一切都是“显而易见”、“自然而然的”，你只需服从和运用。但是，真实的情况并非如此。《魔鬼数学》的作者乔丹·艾伦伯格（Jordan Ellenberg）坦言，“数学并没有完全定型”，即使是中学教育中的几何和代数，这些最基本的内容，也经历了一个漫长的争论和互诘的过程，而不是“显而易见”、“约定俗成的”。不幸的是，“在编写教材时，所有这些努力与喧嚣都被小心翼翼地摒弃了”。数学，不仅包括攥写在教材上的知识，还包括执着的探索真理的精神，一种基于人类理性的大胆怀疑。而现今，数学日益教材化，远离了数学萌芽、成长、发展和成熟的鲜活历史。这一过程，尽管有利于我们花费最少的精力来习得数学史上的伟大成果，但却使得“数学”这一概念被严重狭隘化了。在我们的理解中，数学在更多情形下被视为一种专门学问，而不是一种人人可以掌握的理性思维能力。伴随着人类的产生，感性思维的能力即获得了正当地位。然而，理性思维能力的产生、发展和掌握却要晚得多。西方理性思维的源头可追溯到古希腊的柏拉图（主要生活在公元前5世纪），他在《理想国》中提出，现象界是虚假的，理念世界才是唯一真实的存在。他的学说被称为“理念论”，为西方哲学和具体科学（如数学）寻找现象界背后永恒不变的真实提供了理论根基。在很长的历史时期内，数学依附于哲学，被视为认识世界的一种方法，是理性思维的重要体现。尽管18世纪前后，随着自然科学的突破，数学逐渐脱离哲学，但数学对个人理性思维能力的注重态度和塑造作用，依旧一以贯之，不可替代。就艾伦伯格看来，数学是“常识的衍生物”，它对于理性思维的建立和逻辑分析意义重大。同时，数学中包含着“令人窒息的美感”。即使是从狭隘的工具论角度来看，数学的用处也远大于我们所预期。数学并不局限于“纯粹事实”，而是日常生活中必不可少的“常备工具”，“应用得当”，可以避免犯错。例如，我们先天带有线性思维，但数学则彰显了非线性思维的普遍性和在公共事务中的有效运用。再如，小概率事件不等于不可能事件，数学分析下的赌徒心理对个人的危害无处遁形。又如，尽管一物品的期望价值远远高于售价，但拥有其所产生的意义因人而异，不可一味从之。其实，从某种程度上说，数学也代表一种怀疑精神。它源于我们对日常生活的敏锐观察，同时加入了基于逻辑和理性的细致思考。生活中，两起看似毫无联系的事件，很可能具有一定程度上的相关性；即使相关性很小，也不意味着丝毫没有任何联系。拿父母和子女的身高差异来说，这看似寻常普遍的背后，除了生物性的遗传定律在起作用，随机性也扮演了重要角色。这无疑是对完全的基因决定论的反拨。《魔鬼数学》一书，是近些年来我阅读过的数学普及作品中最为生动有趣的一本，内容翔实丰富，但又不以纯粹的理论霸权胁迫读者，而是寓数学真知于具体事例，两相验证，既给人以知识上的补充，又给人以感情上的愉悦。四十多万字的篇幅，有条理地划为“线性”、“推理”、“期望值”、“回归”和“存在”五大部分，环环相扣，逐步深入。在《魔鬼数学》中，我所读出的艾伦伯格，不是板着脸的专家学者，而是可亲可感的旅途友人。他行文流畅，诙谐幽默，数学史上的掌故和现今世界的有趣现象，全都信手拈来，带领读者在数学和生活的交叉面上，经历一次欢欣满足的精神之旅。而旅途即将结束时，除了获得生活的智慧和勇气，我们毫无倦怠。如要转载，【豆邮】联系。