《费马大定理》章节试读

《费马大定理》的笔记-第41页

642年，一场伊斯兰教的进攻成功地打败了基督教徒。...获胜的哈利法奥马尔命令凡是违反《古兰经》的书籍都应销毁，而那些与《古兰经》相符的书籍则是多余的，也必须销毁。

《费马大定理》的笔记-第8页 - 序言

突然对bbc地平线系列有兴趣～

《费马大定理》的笔记-第109页

上帝是万能的，上帝能否创造上帝都不能举起的石头

《费马大定理》的笔记-第41页 - 出谜的人

一些最重要的书籍的珍本幸免于基督教徒的袭击，学者们继续来到亚历山大寻求知识。然而在642年，一场伊斯兰教的进攻成功地打败了基督教徒。当问及应该如何处置图书馆时，获胜的哈里发奥马尔（Caliph Omar）命令凡是违反《古兰经》的书籍都应销毁，而那些与《古兰经》相符的书籍则是多余的，也必须销毁。那些手稿被用作公共浴室加热炉的燃料，希腊的数学化为烟灰。丢番图的绝大部分著作被毁灭了，这并不令人惊奇。实际上，《算术》中的6卷能设法逃过亚历山大的这一场惨剧倒是一个奇迹。

《费马大定理》的笔记-第74页

暗示生命周期的年数为质数也许有着某种进化论意义上的优势。

《费马大定理》的笔记-第140页

大多数数学家是按某种审美观点来做数学的

《费马大定理》的笔记-第43页

十七世纪时法国不鼓励法官们参加社交活动，理由是朋友和熟人有一天可能会被法院传唤。与当地居民过分亲密会导致偏袒。

《费马大定理》的笔记-第27页

成了一名杰出人物，使他有资格用德（de）作为他的姓氏的一部分。

《费马大定理》的笔记-第115页

在战争期间比对策论（三人决斗）有更大影响的是破译密码的数学。阿兰.图灵是对这次破译密码的努力贡献最大的英国人。...在战后的年月中，图灵处于英国情报部门的监视之下，他们知道他是一个同性恋者。他们担心这个对英国的密码懂得的比任何人都更多的人容易受到敲诈胁迫，决定监视他的任何行动...1954年6月10日的验尸表明他是自杀...

《费马大定理》的笔记-第107页

库特.哥德尔1906年4月28日出生于莫拉维亚。......哥德尔证明了要想创立一个完全的、相容的数学体系是一件不可能做到的事情。他的思想可以浓缩成为两个命题：第一不可判定性定理 如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。 第二不可判定性定理 不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。（克里特人悖论或说谎者悖论）

《费马大定理》的笔记-第70页

数学真理的仲裁者不是直觉，而是逻辑。

《费马大定理》的笔记-第9页

最有意义和最少见的数是那些其因数之和恰好等于其本身的数，这些就是完满数。完满数总等于一系列相邻的计数数之和：6=1 2 3；28；469；8128；

《费马大定理》的笔记-第49页 - 出迷的人

作者和译者笔下的费马太可爱了！

《费马大定理》的笔记-第17页

在未来的十年中，那种把粒子作为点样对象的观念甚至可能被作为弦的粒子的观念所取代_这里的弦与可能最好地解释引力的弦是相同的。这种理论说，长度为一米的10亿分之一的10亿分之一的10亿分之一的10亿分之一的弦（如此小，结果它们似乎是点样的）能以不同的方式振动，每种振动产生特定的粒子。

《费马大定理》的笔记-第13页

除了发现引力定律外，艾萨克.牛顿也是一个数学家。他对数学最大的贡献是对微积分的发展。

《费马大定理》的笔记-第66页 - “我想我就在这里结束”

哈哈哈，大阿瑟•克拉克又跳出来…

《费马大定理》的笔记-第15页 - “我想我就在这里结束”

虽然这个定理将永远与毕达哥拉斯联系在一起，但中国人和巴比伦人实际上使用这个定理还要早1000年。在这方面，注意到这一点是重要的。然而，这些文明并不知道这个定理对一切直角三角形都是对的。对于他们测试的三角形而言，它肯定是对的，但是他们无法证明它对于他们尚未测试的所有直角三角形都是对的。这个定理归属毕达哥拉斯的理由是他第一个证明了它的普遍正确。
看外文书籍总能看到些新颖观点，虽然无法确定以上叙述的正确性。

《费马大定理》的笔记-第99999页 - 进入抽象

数学又救下一条性命。 在恩斯特·库默尔的工作之后，发现费马大定理的证明的希望比以前更渺茫了。此外，数学正开始转向各种不同的研究领域，并且存在着新一代的数学家不再理睬那些似乎不可能解决的、有进入死胡同的危险的问题。到20世纪初，这个问题依然在数论家的心目中占有特殊的地位，不过他们对待费马大定理就像化学家对待炼金术一样，两者都是来自过去年代的荒谬和富有浪漫色彩的梦。
然后，在1908年，达姆斯塔特（Darmstadt）的一位德国实业家保罗·沃尔夫斯凯尔（Paul Wolfskehl）给这个问题注入了新的生命力。
沃尔夫斯凯尔家族以其财富和乐于资助艺术和科学而闻名，保罗也不例外。他在大学里学过数学，虽然他的绝大部分时间花在营造家族的商业帝国上，但他仍与职业数学家保持着联系，并且继续涉猎数论。特别是，沃尔夫斯凯尔拒绝放弃对费马大定理的爱好。
沃尔夫斯凯尔绝不是一个有天赋的数学家，也不是生来就注定会对发现费马大定理的证明做出重大贡献的人。然而由于一连串不可思议的事件，他却与费马问题永远相伴在一起，鼓舞着数以千计的人去攻克这个富有挑战性的问题。
故事是从沃尔夫斯凯尔对一位漂亮女性的迷恋开始的，她的真实身份至今未被确定。使沃尔夫斯凯尔备感沮丧的是这位神秘的女性拒绝了他，这使他处于一种极端失望的境况以致决定自杀。他是个感情强烈的人，但并不鲁莽。他极其谨慎地计划他的死亡，包括每个细节。他定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起时开枪射击自己的头部。在剩下的日子里，他仍然处理他所有的重要商业事务。在最后一天，他写下了遗嘱，并且给他所有的亲朋好友和亲属写了信。
沃尔夫斯凯尔的高效率使得所有的事情略早于他午夜的时限就办完了。为了消磨这几个小时，他到图书室里开始翻阅数学书籍。不久，他就不知不觉地被库默尔解释柯西和拉梅失败的原因的经典论文吸引住了。那是一篇那个时代最伟大的计算之一，很适合一个要自杀的数学家在最后时刻阅读。沃尔夫斯凯尔一行接一行地进行计算，突然他惊呆了：似乎逻辑上有一个漏洞——库默尔提出了一个假定，却未能在他的论证中说明其合理性，沃尔夫斯凯尔不清楚到底是他发现了一个严重的缺陷呢还是库默尔的假定是合理的。如果是前者，那么费马大定理的证明就有可能比许多人推测的容易得多。
他坐了下来，仔细审阅那一段不充分的证明，渐渐地全神贯注于做出一个小证明，这个证明或者会加强库默尔的工作，或者会证明他的假定是错的，在后一种情形下，库默尔的所有工作都将是无效的。
直到黎明时分他的工作才完成。坏消息（就数学方面而言）是库默尔的证明被补救了，而大定理依旧处于不可达的境界中。好消息是规定的自杀时间已经过了，沃尔夫斯凯尔对于自己发现并改正了伟大的恩斯特·库默尔的工作中的一个漏洞感到无比骄傲，以致他的失望和悲伤都消失了。数学重新唤起了他对生命的欲望。
由于那个夜晚发生的一切，沃尔夫斯凯尔撕毁了他写好的告别信，重新立了他的遗嘱。在他1908年去世时，新遗嘱被宣读，沃尔夫斯凯尔家族震惊地发现保罗已经把他财产中的一大部分遗赠作为一个奖，规定奖给任何能证明费马大定理的人。奖金为10万马克，按现在的币值计算其价值超过100万英镑。这是他对这个挽救过他生命的复杂难题的报答方式。

《费马大定理》的笔记-第91页 - 进入抽象

我更愿意相信这个故事是真的：
一个数学爱好者由于求爱失败想自杀，结果自杀前应处理的事务和遗嘱等等都由于他的高效率而搞掂了，还剩点时间，他到图书馆看起了数学书籍，结果被一篇论文吸引了。由于投入到解决论文的漏洞里，计划自杀的时间点过了。他也由于发现并解决了伟大的前辈的漏洞而重新唤起了他对生活的骄傲和热爱！
我相信，只要有爱，生活总会回馈给你的～

《费马大定理》的笔记-第130页

谷山他天生就有一种犯许多错误，尤其是朝着正确的方向犯错误的特殊本领。我（志村）对此有点妒忌，徒劳地想模仿他，结果发现要犯好的错误也是十分不容易的

《费马大定理》的笔记-第53页 - 出谜的人

“寻求费马大定理的证明牵动了这个星球上最有才智的人们，巨额的赏格，自杀性的绝望，黎明时的决斗。”

《费马大定理》的笔记-第9页 - 第一章 “我想我就在这里结束”

按照毕达哥拉斯的说法，数的完满性取决于它的因数（能整除原数的那些数）。例如：12的因数是1，2，3，4和6。当一个数的各因数之和大于该数本身时，该数称为“盈”数。于是12是个盈数，因为它的因数加起来等于16。另一方面，当一个数的因数之和小于该数本身时，该数称为“亏”数。所以10是一个亏数，因为它的因数（1，2和5）加起来只等于8。
最有意义和最少见到数是那些其因数之和恰好等于其本身的数，这些数就是完满数。数字6有因数1，2和3，结果它是一个完满数，因为1+2+3=6。下一个完满数是28，因为1+2+4+7+14=28。

《费马大定理》的笔记-第109页

杰出的数学评论家安德烈.韦依说：“上帝之存在是因为数学是相容的，而魔鬼之存在是因为我们不能证明数学是相容的。”

《费马大定理》的笔记-第272页 - 进入抽象

一个天文学家、一个物理学家和一个数学家（据说）正在苏格兰度假。当他们从火车车厢的窗口向外瞭望时，观察到田地中央有一只黑色的羊。“多么有趣，”天文学家评论道，“所有的苏格兰羊都是黑色的！”物理学家对此反驳说：“不，不！某些苏格兰羊是黑色的！”数学家祈求地凝视着天空，然后吟诵起来：“在苏格兰至少存在着一块田地，至少有一只羊，这只羊至少有一侧是黑色的。” 喜闻乐见的腹黑数学家

《费马大定理》的笔记-第45页

亲和数是一对数，其中每一个数是另一个数的因数之和。220和284被认为是友谊的象征。...早期神学家注意到《创世纪》中雅各给以扫220只山羊。他们相信山羊的数目（一对亲和数中的一个）表达了雅各对以扫的挚爱之情。

《费马大定理》的笔记-第38页

毕达哥拉斯已经用有理数解释了天地万物...毕达哥拉斯不愿意承认自己是错的。同时他又无法借助逻辑推理的力量来推翻希帕索斯的论证。使他终身羞耻的是他判决将希帕索斯淹死。

《费马大定理》的笔记-第72页

质数理论是纯粹数学中已经在现实世界中找到直接应用的少数领域之一，它在密码学中有直接应用。

《费马大定理》的笔记-第218页

数学证明不仅回答了问题，还使人们对于为何答案应该如此有所理解。但把问题送进一个黑匣子然后从另一端收到一个答案，这增加了知识但没有增进理解力。

《费马大定理》的笔记-第六章 秘密的计算 - 第六章 秘密的计算

最后，他发现他的归纳法证明中的第一步隐藏于19世纪法国的一位悲剧性的天才人物的工作之中。老伽罗瓦不能忍受由此而遭受的羞辱和非难。他认定唯一能保持名誉的选择就是自杀。在决斗的前夜，伽罗瓦力图写下他所有的数学思想。他彻夜工作，写下了所有的定理，绝望地试图使它们得到承认，他相信这些定理全面地阐明了有关五次方程的疑难之处。我没有时间了，我没有时间了。不过为时已晚，腹膜炎已经形成，第二天伽罗瓦就死了。

《费马大定理》的笔记-第3页

数学是一种最纯粹的思维形式，对局外人来说，数学家似乎是属于另一个世界的人。在我与他们的讨论中，给我深刻印象的是他们的谈话中表现出来的惊人的精确性。很少有人立刻就回答我的问题，我常常不得不等待他们在脑海中把答案的精确结构组织好；不过，此后他们就会回答你，讲得井井有条，非常仔细，超过我的期望。

《费马大定理》的笔记-第20页

西隆抓住了下层民众畏惧、妄想和嫉妒的心理

《费马大定理》的笔记-第16页

数学证明是绝对的。...科学理论的证明永远不可能达到数学定理的证明具有的绝对程度。

《费马大定理》的笔记-第69页

数学家们认为质数是最重要的数，因为它们是数学中的原子。质数是数学的建筑材料，因为所有别的数都可以由若干个质数相乘而得。

《费马大定理》的笔记-第1页 - 第三章

虽然像有热尔曼这种家庭背景的女性并没有受到积极的鼓励去研究数学，但是被要求对这门学科有相当的了解，以便在礼节性的谈话中涉及这类话题时也能参与讨论。为此目的，当时一些人写了一批教科书，帮助年轻妇女了解数学和科学中的最新发展。《艾萨克·牛顿爵士的哲学——为女士使用而写》（Sir Isaac Newton's Philosophy Explain'd for the Use of Ladies）一书的作者是弗朗西斯科·阿尔加洛蒂（Francesco Algarotti）。由于阿尔加洛蒂相信妇女只对浪漫故事有兴趣，所以他试图通过一位侯爵夫人和她的对话者之间的挑逗性的对话来解释牛顿的发现。例如，对话者概略地叙述了引力的反平方定律，于是侯爵夫人就谈她自己对这个物理基本定律的解释：“我禁不住想到……位置的距离的平方这个比例……甚至在爱情中也可观察到。因此，分别8天以后，爱情就变得比第一天时弱64倍了。”
笑死了。
想起jw全身心投入传教的妈妈改的简爱，大火之后简爱对盲眼的罗彻斯特先生漠不关心，反而嫁给了圣约翰，两个人四处传教。

《费马大定理》的笔记-第204页

所有已知完满数有一个共同的特点，即都是偶数

《费马大定理》的笔记-第3页 - 序

“在我与他们（数学家）的讨论中，给我深刻印象的是他们的谈话表现出来的惊人的准确性。很少有人立刻就回答我的问题，我常常不得不等待他们在脑海中把答案的精确结构组织好。。。”
我常常在想，这样一种特别是在我的高中应试教育中非常深的影响了我的思维模式，好像正是它让我养成了一种畏手畏脚，不够果决决断的行为模式。

《费马大定理》的笔记-第1页

费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜
【英】西蒙·辛格
第一章 “我想我就在这里结束”
数学家的数学生命是短暂的，25岁或30岁以后很少有更好的工作成果出现。如果到那个年龄还几乎没有什么成就，那就不再会有什么成就了。”
“年轻人应该证明定理，而老年人则应该写书。”G. H. 哈代在他的《一个数学家的自白》（A Mathematician's Apology）一书中说道：“任何数学家都永远不要忘记：数学，较之别的艺术或科学，更是年轻人的游戏。举一个简单的例子，在英国皇家学会会员中，数学家的平均当选年龄是最低的。”
“我从未听说过数学方面由年过五十的人开创的重大进展的例子。
研究数之间的关系之外，数与自然之间的关系也引起了毕达哥拉斯的兴趣。他认识到自然现象是由规律支配的，这些规律可以用数学方程式来描述。他首先发现的联系之一是音乐的和声与数的调和之间的基本关系。
寻找一个数学证明就是寻找一种认识，这种认识比任何别的训练所积累的认识都更不容置疑。最近2 500年以来，驱使着数学家们的正是这种以证明的方法发现最终真理的欲望。
科学理论的证明永远不可能达到数学定理的证明所具有的绝对程度：它仅仅是根据已得到的证据被认为是非常可能的。所谓的科学证明依赖于观察和理解力，这两者是容易出错的，并且仅仅提供了近似于真理的概念
虽然这有点像是悖论，然而所有的精确科学都被近似性这个观念支配
即使不是完全抹掉重新再来，物理学家们也是在不断地修改着他们对宇宙的构想。
如果一个有名望的教授说某事毫无疑问是正确的，那么有可能下一天它就被证明是错误的。科学证明不可避免变化不定和假冒。另一方面，数学证明是绝对的，无可怀疑
科学是按照评判系统来运转的。如果有足够多的证据证明一个理论“摆脱了一切合理的怀疑”，那么这个理论就被认为是对的。在另一方面，数学不依赖于来自容易出错的实验的证据，它立足于不会出错的逻辑
一个被证明了的数学结果具有比任何别的真理更可靠的真实性，因为它是一步接一步的逻辑结果。
毕达哥拉斯定理的第二个重要性是将抽象的数学方法与有形的实体结合起来了。毕达哥拉斯向人们展示了数学的真理可以应用于科学世界并为其提供逻辑基础。数学赋予科学一个严密的开端，在这个绝对不会出错的基础上科学家
第二章 出谜的人
永恒的幸福具有无限的价值，由于生活道德高尚而进入天堂的概率不管怎么小肯定是有限的。于是，按照帕斯卡的定义，宗教是一种有无穷刺激的游戏，一个值得参与的游戏，因为无限的奖励乘以一个有限的概率其结果是无穷大。
第三章 数学史上暗淡的一页
创建数学是一个充满痛苦且极为神秘的历程。通常证明的目标是清楚的，但是道路却隐没在浓雾之中。数学家们踌躇不决地计算着，担心着每一步都有可能使论证朝着完全错误的方向进行。此外，还担忧根本没有路存在
第四章 进入抽象
库特·哥德尔迫使数学家们承认数学永远不可能是逻辑上完美无缺的
哥德尔证明了要想创立一个完全的、相容的数学体系是一件不可能做到
不管使用哪一套公理，总有数学家不能回答的问题存在——完全性是不可能达到的
数学家永远不可能确定他们选择的公理不会导致矛盾出现——相容性永远不可能证明。
此外，许多数学家相信哥德尔的不可判定命题只有在数学的最不引人注目和最极端之处才可能发现，因而可能永远也不会碰到。总之，哥德尔只是说这种命题存在，他并不能真正地指出是哪一个。
大定理就像数学中的塞壬，诱惑天才人物走近它，结果却打破了他们的希望。
“纯粹数学家就是爱好挑战。他们喜欢解答未解决的问题。做数学时会产生一种极好的感觉。你着手解一个使你迷惑的问题，你无法理解它，它是那么地复杂，使你一点也看不明白。但是后来当你最终解出它时，你会不可思议地感到它是多么地美好，它组合得又是多么地精巧。
激励数学家们的是因发现而得到的乐趣
“真正的数学对战争并无影响，迄今为止还没有任何人发现数论能为任何与战争有关的目的服务。”
判断一个数学问题是否是好的，其标准就是看它能否产生新的数学，而不是问题本身。”
第五章 反证法
在某个数学领域中无法解答的任何问题，却可以被转换成另一个领域中相应的问题，而在那里有一整套新武器可以用来对付它。如果
第六章 秘密的计算
一个高超的问题解答者必须具备两种不协调的素质——永不安分的想象和极具耐心的执拗。
当你真的进入死胡同的时候，当有一个真正的问题需要你去征服的时候，那种循规蹈矩的数学思维对你来说毫无用处。导致那一类新的想法必须经过长时间的对那个问题的极其专注的思考，不能有任何分心。这之后似乎有一段松弛期，在这期间潜意识出现，占据了你的脑海。正是在这段期间，某种新见解冒出来了。”
”在这种情况下，如同处理数论中的许多问题一样，计算机不会有任何用处。谷山-志村猜想适用于无限多个方程，虽然计算机能够在几秒钟内核对一个给定的情形，但是它永远不能核对完所有的情形。这里所需要的倒是一个能有效地说明理由并解释为什么每一个椭圆方程必定是可模式化的步步相接的逻辑论证。
数学上来说，一个群是一些元素的一个集合，这些元素可以使用某种运算（例如加法或乘法）结合起来，并且这种运算满足某些条件。用来定义群的一个重要性质是：当它的任何两个元素用这种运算结合时，其结果仍是群中的一个元素。这个群被称为在该运算下是封闭的。

《费马大定理》的笔记-第179页 - 我想我就在这里结束

即使埃斯库德罗被人们遗忘了，阿基米德仍会被人们记住，因为语言文字会消亡而数学概念却不会。“不朽”可能是个缺乏理智的用词，但是或许数学家最有机会享用它，无论它意味着什么。

《费马大定理》的笔记-第34页

欧几里德生于公元前330年左右。...欧几里德一生的大量时间花在撰写《几何原理》这本有史以来最成功的教科书上。直到本世纪前，它是世界上仅次于《圣经》的第二本畅销书。

《费马大定理》的笔记-第74页

质数在自然进化中的有趣意义。约数太多的生长周期和寄生虫碰到的概率高，都被弄死了。

《费马大定理》的笔记-第104页 - 出谜的人

数学家雨果·罗西（Hugo Rossi）曾注意到下列事实：“在1972年秋天，尼克松总统宣布通货膨胀率的增长率正在下降。这是第一次一个当任总统使用一个三阶导数来推进他的连任活动。” (哈哈哈 数学家都好黑

《费马大定理》的笔记-第52页 - 我为什么没有宗教信仰

《费马大定理》的笔记-第99999页 - 进入抽象

作者并未给出黄色论断的数学证明，给出的仅仅是一个经验归纳，这里略微补充一个。
证明：注意到
1) 横向移动一个塑料片，不会改变错序参数；
2) 竖向移动一个塑料片，总会改变错序参数，而且改变量总是一个奇数 (证明请自行补充)；
3) 为使空白格子回到右下角，竖向移动塑料片的次数一定为偶数；
所以，每当空白格子回到右下角时，错序参数的奇偶性也与初始值相同。

《费马大定理》的笔记-第32页

帕斯卡说：“赌徒在押赌时感受的刺激等于他可能赢得的钱数乘以他获胜的概率。”。然后他论证道：永恒的幸福具有无限的价值，由于生活道德高尚而进入天堂的概率不管怎么小肯定是有限的。于是，按照帕斯卡的定义，宗教是一个有无穷刺激的游戏，一个值得参与的游戏，因为无限的奖励乘以一个有限的概率其结果是无穷大的。

《费马大定理》的笔记-第8页

毕达哥拉斯建立兄弟会后不久，撰造了一个名词“哲学家”（philosopher)...毕达哥拉斯缔造了一种社会精神，它改变了数学的进程。兄弟会实际上是一个宗教性社团组织。他们崇拜的偶像之一是数，他们相信，通过了解数与数之间的关系，他们能揭示宇宙的神圣的秘密，使他们更接近神。

《费马大定理》的笔记-第31页

最违背直觉的概率问题之一是关于共有生日的可能性问题。

《费马大定理》的笔记-全书摘录 - 全书摘录

哲学家这个词（philosopher）是由毕达哥拉斯撰造出来的。在一次奥林匹亚运动会上，毕达哥拉斯向弗利尤斯的利昂王子描他自己为哲学家：“利昂王子，生活好比这些公开的竞技会。在这里聚集的一大群人中，有些人受奖励物的诱惑而来，另一些人则因对名誉和荣耀的企求和受野心的驱使而来，但他们中间也有少数人来这里是为了观察和理解这里发生的一切。
生活同样如此。有些人因爱好财富而被左右，另一些人则因热衷于权力和支配而盲从，但是最优秀的一类人则献身于发现生活本身的意义和目的。他设法揭示自然的奥秘。这就是我称之为哲学家的人。虽然没有一个人在各方面都是很有智慧的，但是他能热爱知识，视其为揭开自然界奥秘的钥匙。
寻找一个数学证明就是寻找一种认识，这种认识比任何别的训练所积累的认识都更不容置疑。而对于物理性的科学理论的明而言，它仅仅是根据已得到的证据被认为是非常可能的。所谓的科学证明依赖于观察和理解力，这两者是容易出错的，并且仅仅提供了近似于真理的概念。罗素说：“虽然这有点像是悖论，然而所有的精确科学都被近似性这个观念支配着。”
关于梅尼森神父（Father Marin Mersenne）：虽然此人对于数论的贡献不大，但是他对于数学研究者之间的交流起到了很深远的作用。因为十九世纪前的巴黎的数学家对于自己的研究成果和新发现守口如瓶，以显示自己在某一方面做如无人能及的贡献。但是该神父鼓励数学家之间交流思想，从而促进各自的工作。
任何学科的发展依赖于其交流和表达思想的能力，而后者又借助于足够细致和灵活的语言。
怀尔斯是一个单纯而又有抱负的孩子，他看到了一个成功的机会，一代代的数学家在这个机会面前都失败了。在别人看来这似乎像一个鲁莽的梦想，但是年轻的安德鲁却想到了他——一个20世纪的中学生——懂得的数学与17世纪的天才皮埃尔.德.费马一样多，或许由于他的天真会使他碰巧找到一个别的世故得多的学者未曾注意到的证明。
创建数学是一个充满着痛苦且极为神秘的历程。通常证明的目标是清楚的，但是道路却隐没在浓雾之中。数学家们踌躇不决地计算着，担心着每一步都有可能使论证朝着完全错误的方向进行。此外，还担忧根本没有路存在。数学家可能会相信某个命题是对的，并且花费几年的工夫去证明它确实是对的，可是它实际上完全是错的。于是，在效果上，这个数学家只是一直在企图证明不可能的事。
无穷递降法：如证明方程$x^4+y^4=z^4x^4+y^4=z^4$没有整数解，费马假定存在一个解，然后证明将存在一个更小的解必然存在，然后这样一直进行下去，产生越来越小的解。这是一个无穷的梯队，但实际 x,y,z 必须是整数，所以必定会有一个最小解，从而产生矛盾。
在罗马军队入侵时，阿基米德正全神贯注于研究沙堆中的一个几何图形，以致疏忽了回答一个罗马士兵的问话。结果他被长矛戳死。热尔曼得出这样的结论：如果一个人会如此痴迷于一个结果会导致他死亡的几何问题，那么数学必定是世界上最迷人的学科了。
关于数学中的不变量：洛伊德的数字移动游戏（有点像是华容道）表明，无论如何移动滑块，最终数字的乱序数均为偶数。这就是在各种移动操作下的不变量。所以，若数字的错序数为奇数，无论如何移动，也不可能由最初的正确顺序得到奇数的错序排列。在证明不可能将一个对象变成另一个对象时，不变量为数学家提供了一种重要的策略。
数学在科学技术中有它的应用，但这不是驱使数学家们的动力。激励数学家们的是因发现而得到的乐趣。… 解答某个数学问题的欲望多半是出于好奇，而回报则是因解决了难题而获得的单纯而又巨大的满足感。
研究费马可能带来的问题是，你也许会虚度岁月而一无所成。只要研究某个问题时能在研究过程中产生出使人感兴趣的数学，那么研究它就是值得的——即使你最终也没有解决它。判断一个数学问题是否是好的，其标准就是看它能否产生新的数学，而不是问题本身。
约翰.科茨的责任是为安德鲁找到新的钟情的东西，某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究一番的东西。“我认为研究生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这过程中能做的一件事是使用他的实用的常识，他的对何为好的领域的直觉，然后，学生能在这个方向上有多大成绩就确实是他自己的事了。”
当他们在 1954 年相遇时，谷山和志村都刚开始从事数学事业。当时的习惯做法（现在仍然是这样）是把年轻的研究人员置于一位教授的领导之下，这位教授负责对初出茅户的年轻人予以指导，但是谷山和志村拒绝这种带徒弟的方式。… 按照志村的说法， 教授们已经“精疲力竭，不再具有理想” 。比较起来，经过战争磨炼的学生对学习显得更为着迷和迫切， 他们很快就意识到对他们来说前进的唯一方法是自己教自己 。学生们组织定期的研讨班，参加研讨班使他们能彼此了解、交流最新的技术和突破。尽管谷山在其他方面常常显得没精打采，但他一参加研讨班就成了巨大的推动力。他会激励高年级学生探索未知的领域，而对更年轻的学生他又充当起父辈的角色。
怀尔斯清楚地知道，为了有希望找到证明，他必须全身心地将自己投入到这个问题。但是与希尔伯特不一样，他准备冒这个风险。 他阅读了所有的最新杂志，然后反复操练最新的技巧方法，直到它们成为他的第二本能为止 。为了为将来的战斗收集必要的武器，怀尔斯花了18个月的时间使自己熟悉以前曾被应用于椭圆方程或模形式的，以及从它们推导出来的全部数学。
你常常会写下一些话来阐明你的想法，但并不一定如此。特别是当你真的进入死胡同的时候，当有一个真正的问题需要你去征服的时候，那种循规蹈矩的数学思维对你来说毫无用处。导致那一类新的想法必须经过长时间的对那个问题的极其专注的思考，不能有任何分心。这之后似乎有一段松弛期，在这期间潜意识出现，占据了你的脑海。正是在这段期间，某种新见解冒出来了。
怀尔斯解释说，他决定秘密地工作的部分原因是他希望自己的工作不受干扰。“我意识到与费马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”
怀尔斯借用穿越一幢漆黑的未经探测的大厦的经历来描述他在做数学研究时的感受。“设想你进入大厦的第一个房间，里面很黑，一片漆黑。你在家具之间跌跌撞撞，但是逐渐你搞清楚了每一件家具所在的位置。最后，经过6个多月或再多一些的时间，你找到了电灯开关，打开了灯。突然整个房间充满光明，你能确切地明白你在何处。然后，你又进入下一个房间，又在黑暗中摸索了6个月。因此，每一次这样的突破，尽管有时候只是一瞬间的事，有时候要一两天的时间，但它们实际上是这之前的许多个月里在黑暗中跌跌撞撞的最终结果，没有前面的这一切它们是不可能出现的。”
如果你不知道这些数学是做什么用的话，你就不可能懂得它。即使你知道它是做什么用的，它也是很难搞懂的。
费马大定理证明的最后一步：5月末的一个早晨，内达和孩子们一起出去了，我坐在书桌旁思考着这剩下的一族椭圆方程。我随意地看一下巴里.梅休尔的一篇论文，恰好其中有一句话引起了我的注意。它提到一个19世纪的构造，我突然意识到我应该能够使用这个结构来使科瓦利金-弗莱切方法也适用于这最后的一族椭圆方程。我一直工作到下午，忘记了下去吃午饭。到了大约下午三四点钟的时候，我真正地确信这将解决最后剩下的问题。当时已到饮茶休息的时候，我走下楼去，内达非常惊奇我来得这么迟。然后我告诉她──我已经解决了费马大定理。
怀尔斯在牛顿研究所演讲后不到6个月，他的证明已破绽百出。多年的秘密演算给他带来的愉悦、激情和希望被烦恼和失望替代。他回忆说他童年的梦想已经变成一场恶梦：“在我从事这个问题的研究的头7年中，我很喜欢这种暗中进行的战斗。不管它曾是多么的困难，不管它看上去是怎样的不可逾越，我与我心爱的问题密不可分。它是我童年时代的恋情，我决不能放下它，我一刻也不想离开它。后来我公开地谈论它，在谈论它时确实有某种失落感。这是一种非常复杂的感情。
怀尔斯向彼得.萨纳克承认情况已面临绝境，他准备承认失败。萨纳克向他暗示困难的一部分来自怀尔斯缺少一个他可以依赖的进行日常讨论的人；没有他能够与其探讨想法的人，也没有能鼓励他利用一些侧面的处理方法的人。
突然间，完全出乎意料，我有了一个难以置信的发现。我意识到，虽然科利瓦金─弗莱切方法现在不能完全行得通，但是我只需要它就可以使我原先采用的伊娃沙娃理论奏效。我认识到科瓦利金-弗莱切方法中有足够的东西使我原先的3年前的工作中对这个问题的处理方法取得成功。所以，对这个问题的正确答案似乎就在科利瓦金-弗莱切的废墟之中。”
单靠伊娃沙娃理论不足以解决问题，单靠科利瓦金-弗莱切方法也不足以解决问题，它们结合在一起却可以完美地互相补足。

《费马大定理》的笔记-第42页 - 出谜的人

对当代的读者来说，这似乎是微不足道的一步，但是所有的古希腊哲学家，包括亚里士多德（Aristotle），却都否认零这个记号的深刻含义。亚里士多德辩解说，数零应该是非法的，因为它破坏了其他数的一致性——用零除任何一个普通的数会导致不可理解的结果。

《费马大定理》的笔记-第68页

欧拉关于月球位置的计算是在他失明期间完成的。1783年9月18日去世