泛函分析

书籍目录

绪论第一章　距离空间1.1　距离空间的基本概念1.1.1　距离空间的定义1.1.2　距离空间的例1.1.3　距离空间中的收敛1.2　开集和连续映射1.2.1　开球、闭球1.2.2　内点、开集、邻域1.2.3　等价的距离、连续映射1.3　闭集　可分性列紧性1.3.1　距离空间中的闭集1.3.2　闭集的结构1.3.3　可分的距离空间1.3.4　列紧的距离空间1.4　完备的距离空间1.4.1　Cauchy列1.4.2　完备的距离空间1.4.3　完备与不完备距离空间的例1.4.4　距离空间的完备化1.5　完备距离空间的性质和一些应用1.5.1　闭球套定理1.5.2　压缩映射原理1.5.3　压缩映射原理的应用习题1第二章　线性赋范空间2.1　赋范空间的基本概念2.1.1　赋范空间和Banach空间的定义2.1.2　范数的连续性2.1.3　范数与距离的关系2.2　完备的赋范空间2.2.1　连续函数上定义的不同范数2.2.2　赋范空间的完备化2.2.3　Lp空间2.2.4　L∞空间2.2.5　lp空间2.3　赋范空间的几何结构2.3.1　凸集2.3.2　子空间2.3.3　Riesz引理2.4　有限维的赋范空间2.4.1　等价的范数2.4.2　有限维空间2.4.3　有限维赋范空间的几何特征2.5　赋范空间的进一步性质2.5.1　赋范空间中的级数2.5.2　赋范空间的商空间2.5.3　赋范空间的乘积空间习题2第三章　内积空间与Hilbert空间3.1　内积空间的基本性质3.1.1　内积空间的定义3.1.2　由内积生成的范数3.1.3　内积和相应范数的关系3.1.4　完备的内积空间3.2　正交与正交分解3.2.1　正交的定义3.2.2　正交补集3.2.3　最佳逼近3.2.4　Hilbert空间的正交分解3.3　正交系和正交基3.3.1　内积空间中的正交系3.3.2　正交投影3.3.3　正交基3.4　Bessel不等式和正交列的完备性3.4.1　Bessel不等式3.4.2　正交列的完备性3.4.3　标准正交基的例3.5　可分的Hilbert空间3.5.1　线性无关组的正交化算法3.5.2　可分的Hilbert空间与l2等距同构习题3第四章　有界线性算子4.1　有界线性算子与有界线性泛函4.1.1　有界线性算子与有界线性泛函的定义4.1.2　有界线性算子组成的赋范空间4.1.3　有界线性算子的例4.1.4　有界线性算子范数的计算4.2　有界线性算子空间的收敛与完备4.2.1　有界线性算子空间中的收敛性4.2.2　有界线性算子空间的完备性4.3　一致有界原则4.3.1　Baire纲定理4.3.2　一致有界原则4.3.3　强收敛意义下的完备性4.3.4　共鸣定理的应用4.4　开映射定理与逆算子定理4.4.1　逆算子4.4.2　开映射定理4.4.3　逆算子定理4.5　闭算子与闭图像定理4.5.1　闭算子的定义4.5.2　闭算子的例4.5.3　闭图像定理习题4第五章　共轭空间和共轭算子5.1　Hahn-Banach定理5.1.1　Hahn-Banach定理5.1.2　Hahn-Banach定理的推论5.1.3　线性泛函和闭集分离5.2　共轭空间5.2.1　共轭空间的概念5.2.2　Lp[a，b]的共轭空间（1　　5.2.3　C[a，b]的共轭空间5.2.4　空间c的共轭空间5.3　Hilbert空间的共轭空间　共轭算子5.3.1　Riesz表示定理5.3.2　Hilbert空间的共轭空间5.3.3　Hilbert空间上的共轭算子5.4　自共轭的有界线性算子5.4.1　有界自共轭算子的定义、例5.4.2　自共轭算子的性质5.4.3　Cartesian分解5.5　Banach空间上的共轭算子　弱收敛5.5.1　Banach空间上的共轭算子5.5.2　自反性5.5.3　弱收敛5.5.4　一些具体空间中的弱收敛习题5第六章　线性算子的谱理论6.1　谱集和正则点集6.1.1　谱点和正则点的定义6.1.2　特征值和特征元素6.1.3　闭线性算子的正则点6.1.4　存在不是特征值的谱点6.2　有界线性算子的谱集6.2.1　有界线性算子的谱集是有界集6.2.2　有界线性算子的谱集是闭集6.2.3　有界线性算子的谱集非空6.2.4　有界线性算子的谱半径6.3　有界自共轭线性算子的谱6.3.1　有界自共轭线性算子剩余谱集是空集6.3.2　有界自共轭线性算子谱集的性质6.3.3　有界自共轭线性算子谱的分布习题6第七章　紧线性算子的谱分解7.1　紧线性算子7.1.1　紧线性算子的定义7.1.2　紧线性算子的例7.1.3　紧线性算子空间7.1.4　紧算子的有穷秩逼近7.2　紧线性算子的谱7.2.1　紧线性算子的特征值7.2.2　紧线性算子零空间的结构和连续谱7.2.3　紧线性算子像空间的结构和剩余谱7.2.4　Riesz-Schauder理论7.3　紧的自共轭线性算子的谱7.3.1　紧的自共轭线性算子的谱分解7.3.2　极大极小原理7.4　投影算子的加权和7.4.1　投影算子和投影算子的加权和7.4.2　投影算子加权和的性质7.4.3　投影算子加权和的谱7.4.4　紧的自共轭投影算子的加权和习题7附录附录Ⅰ　距离空间的紧性Ⅰ.1　列紧集，完全有界集Ⅰ.2　紧集Ⅰ.3　不同空间中紧集的充要条件Ⅰ.4　弱列紧附录Ⅱ　线性空间Ⅱ.1　线性空间的概念Ⅱ.2　线性无关和线性相关Ⅱ.3　线性空间的维数与Hilbert基附录Ⅲ　Lp空间Ⅲ.1　Lp空间完备性的证明Ⅲ.2　Lp空间的收敛性附录Ⅳ　有界变差函数空间V[a，b]索引参考文献

作者简介

《泛函分析》是高等学校数学与应用数学专业“泛函分析”课程的教材。全书分为七章，内容包括：距离空间、赋范空间、内积空间、有界线性算子、共轭空间和共轭算子、线性算子的谱理论和紧线性算子的谱分解。《泛函分析》从有限维空间元素的分解、对称矩阵按照特征值对角化等实例出发，采用类比、归纳等方法，把有限维空间的数学方法自然地推广到无穷维空间。前三章建立起相应的空间框架，后四章介绍了有界线性算子空间的重要性质，自共轭算子、紧算子的谱分解结构。《泛函分析》在讲述上更多地强调问题的来源和背景，努力做到深入浅出。为了便于阅读，定理的证明写得较为详细，其用到的条件都加以标示，并且部分证明前加入了证明的思路。每章的后面还配备了数量较多的习题。

《泛函分析》配套制作了多媒体教学课件（用LaTex制作的pdf文件），供教师讲课、学生学习参考，读者可登录中国高校数学课程网下载。这是多媒体教学在抽象数学课程中的首次尝试。

《泛函分析》可作为综合大学、理工科大学、师范院校泛函分析课程的教材，也可作为工科院校研究生泛函分析的教材，同时可供青年教师和数学工作者学习参考。

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