数值方法

书籍目录

《俄罗斯数学教材选译》序

第三版序言

引言

第一章问题数值解的误差

1.误差的来源与分类

2.数在计算机中的记录格式

3.绝对误差与相对误差数据的记录格式

4.关于计算误差

5.函数的误差

6.反问题

第二章插值法与数值微分

1.函数逼近问题的提法

2.拉格朗日插值多项式

3.拉格朗日插值多项式的余项估计

4.差商及其性质

5.带有差商的牛顿插值公式

6.差商与具有多重节点的插值法

7.有限差分方程

8.切比雪夫多项式

9.插值公式余项估计的最小化

10.有限差分

11.带有常步长的函数表的插值公式

12.函数表的建立

13.关于插值的舍入误差

14.插值工具的应用反向插值

15.数值微分

16.关于数值微分公式的计算误差

17.有理插值

第三章数值积分

1.最简单的一维求积公式待定系数法

2.求积公式的误差估计

3.牛顿一科茨求积公式

4.正交多项式

5.高斯求积公式

6.基本求积公式的实际误差估计

7.快速振荡函数的积分

8.通过将区间划分为等距子区间来提高积分精度

9.关于最优化问题的描述

10.求积公式的最优化问题的描述

11.求积公式节点分布的最优化

12.节点分布最优化的例子

13.误差的主项

14.实际误差估计的龙格法则

15.更高精度插值结果的修正

16.奇异情况的积分计算

17.建立有自动选择步长的标准程序的原则

第四章函数逼近与相关问题

1.线性赋范空间中的最佳逼近

2.希尔伯特空间中的最佳逼近及其建立中出现的问题

3.三角插值离散傅里叶变换

4.快速傅里叶变换

5.最佳一致逼近

6.最佳一致逼近的例子

7.关于多项式的表达形式

8.插值和样条逼近

第五章多维问题

1.待定系数法

2.最小二乘法与正规化

3.正规化的例子

4.多维问题转化为一维问题

5.三角形中的函数插值

6.均匀网格上数值积分的误差估计

7.数值积分误差的下界估计

8.蒙特卡罗方法

9.问题求解的不确定性方法应用的合理性讨论

10.提高蒙特卡罗方法的收敛速度

11.关于问题求解方法的选择

第六章数值代数方法

1.未知数依次消元法

2.反射方法

3.简单迭代方法

4.简单迭代方法在计算机上实现的特点

5.实际误差估计σ平方—过程和提高收敛速度

6.迭代过程收敛速度的最优化

7.赛德尔方法

8.最速梯度下降法

9.共轭梯度法

10.应用等效谱算子的迭代方法

11.方程组近似解的误差和矩阵的条件数、正规化

12.特征值问题

13.借助QR—算法的完全特征值问题的解

第七章非线性方程组和最优化问题的解

1.简单迭代方法和相关问题

2.非线性方程组求解的牛顿方法

3.下降法

4.将高维问题转化为低维问题的其他方法

5.用稳定化方法求解定常问题

6.什么是最优化以及怎样最优化？

第八章常微分方程柯西问题的数值方法

1.借助于泰勒公式求解柯西问题

2.龙格一库塔法

3.带有单步误差控制的方法

4.单步法的误差估计

5.有限差分方法

6.待定系数法

7.依据模型问题研究有限差分方法的性质

8.有限差分方法的误差估计

9.方程组积分的特性

10.二阶方程的数值积分方法

11.积分节点分布的最优化

第九章常微分方程边值问题的数值方法

1.二阶方程边值问题求解的简单方法

2.网格边值问题的格林函数

3.简单网格边值问题的解

4.数值算法的闭合

5.对一阶线性方程组边值问题情况的讨论

6.一阶方程组边值问题的算法

7.非线性边值问题

8.特殊类型的近似

9.寻找特征值的有限差分方法

10.借助于变分原理建立数值方法

11.在奇异情况下提高变分方法的收敛性

12.与有限差分方程的书写形式相关的计算误差的影响

第十章偏微分方程的求解方法

1.网格方法理论的基本概念

2.最简单双曲型问题的逼近

3.冻结系数原理

4.带有不连续解的非线性问题的数值解

5.一维抛物型方程的差分格式

6.椭圆型方程的差分逼近

7.带有多个空间参数的抛物型方程求解

8.网格椭圆方程的求解方法

第十一章求解积分方程的数值方法

1.替换为求积和式的积分方程求解方法

2.借助于核退化变换求解积分方程

3.第一类弗雷德霍姆积分方程

结束语

参考文献

名词索引

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