数学归纳法
出版社:上海教育出版社
出版日期:1963
ISBN:SH7150-1457
作者:华罗庚
页数:56页
作者简介
高中代数教科书里，讲过数学归纳法，也有不少的数学参考书讲到数学归纳法。但是，我为什么还要写这本小册子呢？
首先，当然是由于这个方法的重要。学好了、学透了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益。但更主要的，我总觉得有些看法、有些材料值得补充。而这些看法和材料，在我学懂数学归纳法的过程中，曾经起到过一定的作用。
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目录:
一 写在前面
二 归纳法的本原
三 两条缺一不可
四 数学归纳法的其他形式
五 归纳法能帮助我们深思
六 “题”与“解”
七 递归函数
八 排列和组合
九 代数恒等式方面的例题
十 差分
十一 李善兰恒等式
十二 不等式方面的例题
十三 几何方面的例题
十四 自然数的性质
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<数学归纳法>-华罗庚精彩摘录(这本华老先生的书在网上没有找到文字版的,鉴于对里面有一些很精彩的地方的喜欢,我决定将部分摘录下来)一写在前面(下面说的是数学归纳法的其它方面,我们知道,要是给你正确的公式,用数归来证明是很容易的,但我有个想不通的是: 在公式出现之前,它是怎么产生的?要知道大胆的创造可比机械的证明要来得美丽得多,一下是华老文中的说法)….但是呢,我后来仔细想想,却感到有些不满足,问题不是由于证明错了,而是对上面这个归纳式是怎么得来的,也就是对前人是怎么发现这个恒等式的,难道是从天上掉下来的?当然不是!是有”天才”的人直观地看出来的吗?也不尽然!这个问题启发了我,难处不在于有了公式去证明,而在于没有公式之前,怎么样去找出公式来.要知道要点在言外,而我们以前学到的,仅仅是其中比较同意的一个方面而已.二 归纳法的本源(这一段主要在说明归纳法真正的作用)先从少数的示例摸索出规律来,再从理论上来证明这一规律的一般性,这就是人们认识客观规律的方法之一.以识数为例,小孩子识数,先学会数1,2,3,过些时候就可以数到10了,又过些时候到20,30…100.但后来,却不是这样一段一段地增长了,而是飞跃前进.到了某些时候,他领悟了,他会说”我什么数都能数出来”.这一飞跃,竟从有限到了无限!怎么会这样呢?首先,他知道要从头数,其次,他知道一个一个是有序的,而且不用担心数会数得完,也就是说他领悟了下一个数的表达方式---可以由上一个数来决定,于是他也就会数任何一个数了.(个人说一句,可惜这个天真浪漫的小孩不会想到,数学家接下来会发明小数,负数,虚数来折腾你)设想一下,要是这个飞跃现象不出现,那么人们一辈子就只能学数数了,而且人生有限,数目无限,就是学了一辈子,也决不会学尽.(哦~~伟大的数归,知识的海洋也是无尽的,help me~~)解释这个现象的原理,就是数学归纳法.数学归纳法大大地帮助了我们认识客观事物,由简到繁,由有限到无限…五 归纳法能帮助我们深思(这一段才是吸引我的地方,前面的烟雾弹过滤了一些没耐心的货了吧,突然觉得我好阴森呀…)大家都知道,数学归纳法有助于我们”进”的一面,现在我想谈谈数归帮助我们”退”的一面.(一刀流评论曰: 可进可退,可攻可受,攻受结合,岂不快哉乎~~~)把一个比较复杂的问题,”退”成最简单最原始的问题,再把它想通透了,然后再用数归来一个飞跃上升,于是问题也就迎刃而解了.我们还是举一个好玩的例子来谈吧.这只是一个有趣的数学游戏,但他充分说明了,一个人会不会数归,在思考问题上就会有很大的差异.不会数归的人想要解决这个问题需要耍些”聪明”,但是融会贯通地掌握了数归,耍”聪明”或许就不是必要的手段了.问题是这样的:有一个老师,想辨别出他的3个得意门生哪一个更聪明,他采用了一下方法,事先准备好5顶帽子,其中3顶是白的,2顶是黑的.实验前,他让他的3个学生看了帽子,然后要他们闭上眼睛,替每一个学生带上一顶白色的帽子,并把剩下的两顶黑帽藏起来.最后让他们睁开眼睛,请他们说出自己头上帽子的颜色,(他们不能看自己的帽子,但可以看到其他两个人头上的帽子).三个学生互相看了一下,踌躇了一会,然后他们异口同声地说,他们头顶上的帽子是白色的.现在问题是,他们是怎么推算出来的?建议读者看到这里的时候,把书搁下来,自己想一想,我们不急着公布答案.-------------------------华丽的思考线------------------------------------------现在,我把谜题揭晓一下:甲乙丙三个同学是怎么想的:甲是这样想的:要是我头上的帽子是黑色的,那么乙一定会这样想: 要是我的也是黑色的,那么丙一定会立即说出他的帽子是白色的.可是他踌躇了.这样乙就会知道他其实是白帽子,可是乙他也踌躇了.想到这里,甲就会知道,他头上的帽子不是黑色的.经过这样的思考,三个人都知道他们头上的帽子都是白色的.以上是很绕口的思考,想通了没?很费劲是吧!那学过数归的人会怎么思考呢?他会先退一步,(善于”退”,足够的”退”,”退”到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍!) 不考虑3个人,而考虑2个人一顶黑帽的问题,这样问题谁都会解,黑帽只有一顶,我戴了,对方会立即说他戴的是白帽,可是对方踌躇了,可见我的是白帽.这就是说”两个人,一顶黑帽,若干白帽”的问题十分简单.现在可以考虑进了,”三个人,两顶黑帽,很多白帽”的问题其实很容易了,为什么呢?如果我头上的帽子是黑帽,那对于他们两个人来说,这就变成了” 两个人,一顶黑帽,若干白帽”的问题,从而直接解决问题,可是他们没有,所以说我的是白帽.(向华老致敬,最近看过最暴力的思考方式!).这里可以看到,学会数归,就会用”归纳技巧”从原来的问题减去”一个人,一顶黑帽”,把它转化为一个简单的问题.倘若我们再把原来的问题搞得再复杂一点”四个人,3顶黑帽,若干白帽”,要是用我们一开始的叙述方式,一定是:甲想…(乙想…(丙想….(丁想)))…..这样说起来多费事呀,简直是”拗口令”,使人听不清,不易搞懂.但是掌握了数归,善于”退”,那么只要几句话就了事了”要是我的是黑帽,那对于他们3个人来说就退化成 ‘3个人,2顶黑帽子’的问题”,这个问题他们可以立即解决而不用都踌躇,所以我的是白帽.在这里,”如果我头上的是黑帽”就是归纳法假定.看到这里,问题就算变成”N 个人,N-1顶黑帽”这样复杂的问题我们也可以很简单地解决.以上内容看得我叹为观止,不记下来不行呀!!!!哈哈,晕了没?来,陪我玩会游戏,因为我刚好想到了一道类似的题: 话说在某一个弱肉强食的海域里,有编号1,2,3….N共N条鱼,正所谓大鱼吃小鱼,现在我们假定:这些鱼有病,挑食病,对于编号N的鱼只喜欢吃编号N-1的鱼 ;还有,这些鱼也还有点神经质, 要是 N-1的鱼很有义气,不吃掉编号N-2的鱼,那编号N的鱼会被感动,然后就不会吃掉编号N-1的鱼了现在我们假设每条鱼策略是:尽可能吃掉小鱼同时不被吃掉好了,现在问题是: 编号1的鱼的命运会是怎么样的?-------------------------------------思考线---------------------------------------------------解答如下:1 考虑一下,要是只有1 条鱼,那它肯定可以欢快地与小伙伴玩耍,不怕被吃;2 要是N=2,那编号1 的鱼肯定被吃;3 要是N=3 ,那为了顾及自己的生命,2不会吃1 .这样的思考是可以的.但是我们可以换一种方式来描述: 对于编号2来说,他会想,要是我吃掉1,那就剩下我编号2 和编号3, 这样跟情况2 是一样的,这样我必然被吃.所以我不能吃掉编号1的鱼.4 当n = 4的时候就有趣了，这时第 2 条鱼可以大胆地吃掉第 1 条鱼，因为根据前面的结论，它知道第 3 条鱼是不会吃它的……各位看官,得出结论了吧,结论就是：当Ｎ是奇数的时候，第一条鱼可以存活下来；（这时候谁也动不了谁，我称这情况是均衡）不然，当Ｎ是偶数的时候，第二条鱼会吃掉第一条鱼从而使鱼的总数变成奇数（因为这达到了均衡状态，所以第二条鱼没有任何顾虑）看到这里的都不容易呀，最后来一道反例，痛痛的反例．话说有一天老师在讲台宣布,下周一到周五将有一天要考试,不过他是不会说是哪一天的,老师只说了,考试那天一定让同学们大吃一惊! ！！！下课后,我们聪明可爱的罗一刀流童鞋这样跟其他人说: 大家淡定,我们采用倒退来思考,考试一定不会在周五,不然周四那晚我们都会知道是周五考试,这样就不可能让我们大吃一惊.所以考试只能是在下周一到周四之间. 这样递推下去,周四也不可能,周三也不可能…..所以下周要考试是不可能的,老师在跟我们开玩笑.一刀流同志说完,掌声响起,女生们投来花痴的目光….(一下省略意淫3000字). 后来呀,下周一第一节就考试了,同学们的确大吃一惊！而罗一刀流他只在考完试后被打得半死,从此遁入空门,俗称:归纳僧
精彩短评 (总计3条)
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《数学归纳法》《杨辉三角》《统筹方法》…您才是数学启蒙老师啊… m_ _m -
归纳法谁都知道，问题是把它说明白很困难；用它证明题大伙都会，问题是为什么要这么证呢？ -
华老毕生污点