量子力学表象与变换论

章节摘录

版权页：   插图：  《量子力学原理》是狄拉克敏锐的物理直觉和卓越的数学才能的结晶，它的出版表明量子力学已成为严密的、自洽的、优美的理论体系，它对量子论本身及其在其他各学科方面的应用起了奠基石的作用。例如，另一种量子化方案——Feynman路径积分量子化理论的提出，就是得益于《量子力学原理》这本书。狄拉克最大的贡献——相对论量子理论（描述电子的狄拉克方程）则是该书另一重要内容。 半个多世纪以来，量子理论在若干代科技精英的不懈钻研下不断完善，使得“现在第一流的物理学家做第二流的工作都非常困难”[3]。一般认为，量子论由古典物理观念演化而成，这一过程完成于20世纪20年代中叶后的两三年间，由于新颖的创想和数学形式的建立，以及物理意义和哲学解释，整个新理论的系统皆确立无遗，那么，狄拉克的符号法（Symbolic method）本身（包括表象理论、变换理论）究竟还能发展吗？现有的表述形式至善至美了吗？让我们先看看狄拉克本人在《量子力学原理》的第一版序言中是怎样讲的吧。狄拉克写道：“符号法，用抽象的方法直接地处理有根本重要意义的一些量……”，“但是符号法看来更能深人事物的本质，它可以使我们用简洁精炼的方式来表达物理规律，很可能在将来当它变得更为被人们所了解，而且它本身的特殊数学得到发展时，它将更多地被人们所采用。”[1]狄拉克的《量子力学原理》再版了多次，所以他的这段话也强调了多次，因此我们对其应予以足够的重视与关注。 从这段话中我们领会到狄拉克期望着：①他的抽象而深刻的q数理论在将来变得更为人们所了解（即目前理解得还不够）。②符号法本身的数学应有所发展。③符号法应该有更多的物理应用。 科学进步的途径之一就是对常识提出合理的疑问，善于发问反映了科学家的素质，尼尔斯•玻尔曾谦逊地说过他不过也许比别人多知道一点问题。善于从平凡中发掘出不平凡的问题，也是科学思维的重要特点，事实上，与其他创新相比，对传统的基本见解的创新显得格外意义重大，因为它对现有科学知识将产生广泛的影响。那么，我们怎样从已作为基本常识接受下来的狄拉克的符号法中找出不平凡的问题来呢？ 对于连续表象的完备性，如大家熟悉的坐标表象的完备性关系，我们不应局限于知其然，还应该知其所以然，例如，对于∫∞ —∞ dq| q〉〈q|=1这个公式，是否真正 对官实现过积分应该作深入考虑。因为比这完备性稍稍复杂一些的式子 乍一看来就不知道这个积分的结果是什么。暂时我们只晓得当μ=1时，此积分值应该为1。当μ≠1，它是一个算符。这个积分是个积分型的投影算符。就数学而言，如何简捷解析地实现积分呢？（注意这里的左矢已经不是右矢的共轭虚量了。）这说明狄拉克的表象理论确实需要发展，我们对狄拉克符号法的理解确实应该深入。 从物理上看，这个积分代表一种幺正变换，其中的|q/μ〉也是坐标Q的本征态，只是本征值为q／μ，q／μ是个实数，在经典坐标空问中表示q压缩至1／μ倍，这个变换映射到希尔伯特空间中量子算符就由式（1.1）表示，其中的系数1／√μ是为了保证其幺正性而引入的，因此，若能把式（1.1）明显地积出，结果就是生成量子压缩变换的算符的明显形式，可与量子光学中压缩态相联系。 我们再考虑如下的与双模坐标表象 有关的积分 这里A，B，C和D都是实数，且满足AD—BC=1.式（1.2）也代表一个积分型的ket—bra算符，它可以看做是经典正则变换 （q1，q2）→（Aq1+Bq2，Cq1+Dq2） 到量子力学希尔伯特空间的一个映射。如能把这积分简捷地算出，既可有利于对狄拉克表象理论的了解，扩大其应用范围，又可发展变换理论。而“变换理论的应用日益增多，是理论物理学新方法的精华”。[1]《量子力学原理》中的变换理论既包括各个表象（如原始的矩阵力学取了能量表象、原始的波动力学取了坐标表象）之间的相互转换，又指出了那些仍以正则坐标和正则动量描述的量子力学系统的幺正变换是经典力学中切变换的类比。那么，如何将已知的经典正则变换快捷地过渡到量子力学的幺正变换呢？方程（1.1）与（1.2）以积分型的ket—bra算符的形式反映了经典变换与量子算符的映射，因此需要一个理论去实现这类积分。这等于为经典变换快捷地过渡为量子力学幺正变换搭起一座“桥梁”。

内容概要

范洪义，理论物理学家，1947年生，浙江鄞县人。我国首批18名博士之一。他另辟蹊径发展了量子力学创始人之一Dirac的符号法，使得牛顿-莱布尼兹积分扩展到对Dirac符号所组成的投影算符积分的新领域，别开生面地促进了量子力学表象与变换论的发展，尤其是他建立的连续变量纠缠态表象有广泛的物理应用。范洪义的系列成果有长远的科学价值及普及教学的意义。

书籍目录

再版序
序
第1章 问题的提出
第2章 预备知识
2.1 坐标、动量表象和粒子数表象
2.2 相干态引入的必要性
2.3 相干态的定义与若干性质
2.4 Bargmann空间
2.5 相干态的动力学产生
2.6 极小不确定关系与相干态、压缩态
2.7 相干态的经典熵
2.8 相干态的位相
2.9 相干态表象中P表示的应用举例
2.10 相干态的Berry相
2.11 光场的二项式态
2.12 光场负二项分布
2.13 相干态和李群
2.14 SU（1，1）相干态的Berry相
习题（第1，2章）
第3章 有序算符内的积分技术与应用
3.1 正规乘积的性质
3.2 正规乘积内的积分技术
3.3 用IWOP技术改写坐标、动量表象的完备性
3.4 用IWOP技术研究相干态和压缩态完备性
3.5 用IWOP技术研究参量放大器的传播子
3.6 从一维活动墙问题谈压缩变换
3.7 压缩态相位期望值的精确计算
3.8 用相干态计算谐振子的转换矩阵元
3.9 由对角相干态表示求密度矩阵
3.10 纯相干态投影算符的占函数算符形式及应用
第4章 用IWOP技术构造新表象
4.1 两个粒子相对坐标和总动量的共同本征态
4.2 Bargmann函数空间的推广
4.3 |η>表象中的路径积分形式
4.4 描述电子在均匀磁场中运动的新表象
4.5 两粒子质心坐标与质量权重相对动量的共同本征态
4.6 的计算
4.7 在<η|表象内求解两体动力学
4.8 在<η|表象内求解两体动力学
4.9 Morse振子在运动势中的能级
4.10 在<η|-<ε|表象内讨论两体散射
4.11 转换矩阵元（<η|exp（-λP2/r）|η'）的计算
4.12 多模Fock空间中新的连续完备基矢
4.13 单模Fock空间中一类特殊的完备态
第5章 用IWOP技术导出算符恒等式
5.1 Qn与Pm的正规乘积展开
5.2 用相干态超完备性与IWOP技术导出的算符公式
5.3 exp[aiσijai]exp[aiτaj]的正规乘积形式
5.4 压缩粒子态
5.5 IWOP技术和算符Fredholm方程
5.6 在一直线上相干态的超叠加态
习题（第3～5章）
第6章 用IWOP技术研究量子力学转动
6.1 导出S0（3）转动算符的新方法
……
第7章 IWOP技术和Wigner算符
第8章 关于Fock空间的几个基本问题
第9章 辐射场的若干态矢量
第10章 用IWOP技术发展量子力学的变换理论
第11章 费米系统的IWOP技术与应用
第12章 反正规乘积内和Weyl编序内的积分技术
第13章 IWOP技术与群表示论
第14章 相似变换与IWOP技术
第15章 量子力学中的微分型完备性关系
第16章 IWOP技术在分子振动理论中的应用
第17章 IWOP技术固体理论中的一些应用
第18章 q变形玻色算符的IWOP技术
第19章 IWOP技术在量子场论中的应用
参考文献

编辑推荐

《量子力学表象与变换论:狄拉克符号法进展(第2版)》叙述由浅人深，表达也较严谨，适合理工科大学的学生、教师和各个领域的理论物理工作者以及对量子力学感兴趣的人阅读与欣赏。

作者简介

《量子力学表象与变换论:狄拉克符号法进展(第2版)》对狄拉克创立的表述量子论的符号法推陈出新，系统地建立了“有序算符内的积分（IWOP）技术”的理论，在更深层次上揭示符号法的优美和简洁，使狄拉克的表达得到更多的直接应用。在看似已臻完美的量子力学理论体系中，开辟了一个全新的研究方向，别开生面地发展了量子力学的表象与变换理论，展现出广阔的应用前景。 

全书共19章。第1章是问题的提出；第2章介绍预备知识；第3章提出有序算符内的积分技术；第4章到第19章，介绍IWOP技术的各种应用和推广。

图书封面

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