混沌系统模糊建模、同步与控制

章节摘录

版权页：第1章绪论 混沌是确定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动，其本质是系统的长 期行为对初始条件的极端敏感性。混沌理论隶属于非线性科学，只有非线性系统 才能产生混沌运动。最近二三十年来，随着混沌理论的日渐成熟，人们已经不再满 足于仅仅理解混沌现象，更希望能够对混沌系统加以控制以便更好地利用混沌，因 此混沌控制作为一个新的交叉研究方向应运而生，并且成为非线性科学领域的一 个研究热点。这里所讲的混沌控制是个广义的概念，包括混沌抑制、混沌同步和混 沌反控制三个方面的内容。 另外，自从1965年美国加州大学的Zadeh教授创立模糊集理论和1974年英 国的Mamdami教授成功地将模糊控制应用到蒸汽机控制以来，模糊系统和模糊 控制理论的研究取得了迅速发展并在实际中得到了广泛应用。目前，模糊控制理 论业已成为智能控制理论的一个不可或缺的重要分支。模糊控制器具有结构简 单、鲁棒性强、对参数变化不敏感和抗干扰能力强等优点，在处理复杂系统的建模 问题上获得巨大成功，并且模糊模型的万能逼近性从理论上保证了建模的可靠性， 因而在诸多领域得以成功应用。所以，如何将模糊控制理论应用到混沌控制当中 成为当前的一个热点研究方向。 本章首先回顾了混沌理论的发展历程、混沌的几个数学定义以及混沌的分类 等相关知识，然后系统介绍混沌控制理论中的一些基本知识和研究方法，包括混沌 抑制的目标分类和常用方法、混沌同步的不同分类和同步判据以及混沌反控制的 定义和混沌化的主要途径等内容。此外，简要介绍模糊控制的相关理论。最后，指 出本章所做的主要工作。 1.1混沌学的基本理论 混沌作为一个哲学上的理念古而有之。公元前580年左右的《乾凿度》中就有 “太易者，未见气也；太初者，气之始也；太始者，形之始也；太素者，质之始也。气、 形、质具而未相离，故曰浑沦”。这是中国古代对混沌的最初认识，这里混沌概念被 认为是宇宙之初物质某种原始的没有分化的状态，但从侧面说明混沌的天然特 性――“混乱不堪”。从现代科学的观点出发，混沌现象是隶属于确定性系统的而 难以预测（基于其动力学性态对于初始条件的高度敏感性），隐含于复杂系统但又 不可分解（基于其具有稠密轨道的拓扑特征），以及呈现多种“混乱无序却又颇有规 则图像”（如具有稠密的周期点）的非线性动力学系统所特有的一种运动形式。它 广泛存在于自然界，如物理学、化学、生物学、地质学以及技术科学、社会科学等各 种科学领域。我们周围也存在大量的混沌现象，并在大气运动、电子电路、心脏节 律等研究中得到证实［1］，这些都说明客观世界并不是如拉普拉斯想象的那样简单。 遗憾的是，20世纪60年代之前的多数学者往往把这些现象归结为随机扰动的影 响。19世纪末的法国数学物理学家Poincaré最早意识到确定性系统中可以存在 复杂运动形式。他在研究三体问题时发现，即使在非常简单的三个物体相互作用 的动力学方程中，也可能存在不确定性。他发现某些系统具有初值敏感依赖性和行 为不可预见性。他在《科学的价值》一书中写道［2］：“我们觉察不到的极其轻微的原因 决定着我们不能不看到的显著结果，于是我们说这个结果是由于偶然性。……可以 发生这样的情况：初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大差别；前者的微 小误差促成了后者的巨大误差，于是预言变得不可能”。这些描述实际上已经蕴涵 了“确定性系统具有内在的随机性”这一混沌现象的重要特征，但这个观点并没有 得到应有的重视。1963年，美国大气学家Lorenz发表了著名论文《确定性非周期 流》［3］。他通过对一组由简化对流模型得到的完全确定的三阶常微分方程组的计 算机数值模拟发现，该系统对于初值极其敏感。即使是初值的微小差别，也会导致 系统长期演化的不可预测性。他用“蝴蝶效应”来形容他的发现：得克萨斯州的一 只蝴蝶扇动一下翅膀，就可能在巴西里约热内卢引起一场风暴。Lorenz是第一个 发现了奇怪吸引子――Lorenz吸引子，并且在计算机上采用数值方法研究混沌的 人，因此Lorenz被誉为“混沌之父”。同年，在以保守系统为研究对象的天体力学 领域中，KAM定理的建立被公认为是混沌理论创建的历史性标志，郝柏林院士称 其为“牛顿力学发展史上最重大的突破”［4］。 1.1.1混沌学的发展历史 到目前为止，人们对混沌研究主要经历以下四个阶段。 1）哲学概念的认识阶段 在这个阶段，人们从宇宙观的角度来认识混沌，这可从《三五历》中“未有天地 之时，混沌如鸡子，盘古生其中，万八千岁，天地开辟，阳清为天，阴浊为地”看出，它 反映了中国古代认为在盘古开辟天地之前，世界处于混沌状态这一哲学思想。古 希腊对混沌的认识与中国古代相近。如在古希腊早期的自然哲学和宇宙论中，混 沌被看成是原始的混乱和不成形的物质，例如把无定形的水或气等看做世界的始 基，有序世界就是从这样的始基发展起来的。在这个阶段虽然没有指出混沌的基 本特性，但它给人们一个关于混沌的朴素思想认识。 2）物理领域研究阶段 这个阶段比较短，是从19世纪中期开始，自然科学家首先讨论混沌问题的是 热力学方面。发现热力学当中的很多现象是与混沌有关的，都是混沌无序的状态， 例如，当达到热力学平衡时，系统内部每一点的温度、压强、浓度、化学势等均无差 别，处处相同，熵极大，即分子的混乱度极高。 3）现代科学意义上的混沌定义和数学分析阶段 这个阶段从19世纪末20世纪初开始，庞加莱在研究三体问题时遇到了混沌 问题。从发现三体问题无法求出精确解开始，他把动力学系统和拓扑学有机地结 合起来，并指出三体问题中，在一定范围内，其解是随机的。实际上这是一种保守 系统中的混沌。庞加莱成为世界上了解混沌存在的可能性的第一人。1954年， 苏联概率论大师Kolmgorov指出近可积的Hamilton系统解的性质的一些重要 结论［5］。1962年和1963年分别经Arnold和Moser证明，得出著名的KAM定 理。1963年，Lorenz讨论天气预报的困难和大气湍流现象，给出三个变量的自 治系统［3］ x• 1（t）＝σ（x2-x1） x• 2（t）＝γx1-x1x3-x2 x• 3（t）＝x1x2-bx3 Lorenz发现，当σ＝10，b＝8/3时，只要γ＞24.74，该系统的解就变得混乱不 规则，并且解很不稳定，敏感地依赖于初始条件。Lorenz的论文现在被公认为研 究耗散系统混沌现象的经典文献。几乎同一时期，美国的数学家Smale构造出著 名的马蹄模型，给出二维离散映射产生混沌的几何解释［6］。1964年，法国天文学 家Hénon给出如下Hénon映射［7］： x1（k+1）＝1.4-x21 （k）-0.3x2（k） x2（k+1）＝x2（k） 其动力学行为表现出混沌态。 1971年，法国的数学物理学家Ruelle和荷兰的Takens发表论文《论湍流的本 质》［8］，首次发现动力系统存在一类特别复杂的新型吸引子，与这类吸引子相关的 运动即为混沌，从而揭示了一条通往混沌的道路。他们将这类新型吸引子命名为 奇怪吸引子。此后，判别是否存在奇怪吸引子以及刻画这种吸引子的特征，成了耗 散系统混沌研究的基本课题。 1975年，华人李天岩及其导师Yorke发表著名论文《周期3蕴涵混沌》［9］。在 该文中，混沌作为一个概念正式成为现代科学术语。而这篇文章似乎巧合地证明 了中国古代老子的“道生一，一生二，二生三，三生万物”的哲学理念。 1973年，美国生态学家May用计算机数值模拟方法研究了描述种群演化的 Logistic方程［10］： xn+1＝μxn（1-xn） 即虫口映射。随着参数μ的变化，它显现出极为复杂的动力学行为。很多经济 学理论都遵从这个模型。1978年，Feigenbaum在May的基础上独立地发现了 倍周期分岔现象中分岔的参数间距收敛速率为4.6692［11］，这个结果将混沌理论 的研究从定性分析推进到定量计算阶段，从而使混沌在现代科学中具有坚实的 理论基础。 1987年，Grassber等提出通过时间序列提取分数维和Lyapunov指数等来重 构动力系统理论方法，从而使混沌理论进入实际应用阶段。 4）混沌控制与工程应用阶段 20世纪90年代初，科学家Ott、Grebogi、Yorke、Pecorra和Canon分别在混沌 控制和混沌同步方面取得突破性进展，从而在全世界掀起了“混沌控制”的热潮，使 其应用范围扩展到工程技术领域以及其他领域，例如，其在保密通信中就起到重要 作用。 1.1.2混沌的定义 由于混沌系统的奇异性和复杂性，至今尚未被人们彻底了解，因此至今混沌还 没有一个统一的定义。目前，已有的定义是从不同的侧面反映混沌运动的性质。 Li唱Yorke［9］定义是影响较大的混沌的数学定义，它是从区间映射出发进行定 义的，该定义可描述如下。 定义1.1（Li唱Yorke混沌定义）区间I上的连续自映射f（x），如果满足如下 条件，便可证明它具有混沌现象： （1）f的周期点的周期无上界。 （2）闭区间I上存在不可数子集S，满足 ①对任意x，y∈S limn→∞sup|fn（x）-fn（y）|＝0 ②对任意x，y∈S，x≠y limn→∞sup|fn（x）-fn（y）|＞0 ③对任意x∈S和f的任意周期点y，有 limn→∞sup|fn（x）-fn（y）|＝0 由上面的定义得到了下面的著名定理。 定理1.1（Li唱Yorke定理）设f（x）是［a，b］上的连续自映射，若f（x）有3个 周期点，则对任何正整数n，f（x）有n个周期点。 根据上述定理和定义，对闭区间I上的连续函数f（x），如果存在一个周期为3 的周期点，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。 该定义准确地刻画了混沌运动的几个重要特征： （1）存在可数无穷多个稳定的周期轨道； （2）存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道； （3）至少存在一个不稳定的非周期轨道。 定义1.2（Melnikov的混沌定义）在二维系统中，最具开创性的研究是 Smale马蹄理论［6］。马蹄映射F定义于平面区域D上，F（D）炒D，其中D由一单 位正方形S和两边各一个半圆构成。映射规则是不断把S纵向压缩（压缩比小于 1/2），同时横向拉伸（拉伸比大于2），再弯曲成马蹄形后放回D中，Hénon映射就 是马蹄映射的一个实例。已经证明，马蹄映射的不变集是两个Cantor集之交，映 射在这个不变集上呈混沌态。因此，如果在系统吸引子中发现了马蹄，就意味着系 统是混沌的。 概括起来可表述为：如果存在稳定流形和不稳定流形且这两种流形横截相交， 则必存在混沌。Melnikov给出判定稳定流形和不稳定流形横截相交的方法，但这 种方法只适合于近可积哈密顿系统。 Devaney［12］的混沌定义在拓扑意义下为： 定义1.3（Devaney混沌定义）设V是一度量空间，映射f：V→V，如果满足 下面三个条件，便称f在V上是混沌的。 （1）对初始敏感依赖。存在δ＞0，对任意的ε＞0和任意的x∈V，在x的I邻 域内存在y和自然数n，使得d（fn（x），fn（y））＞δ。 （2）拓扑传递性。对V上的任意对开集X≠Y，存在k＞0，fk（x）∩Y≠（若 一映射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的）。 （3）f的周期点集在V中稠密。 对初值的敏感依赖性，意味着无论x和y离得多近，在f的作用下两者的距 离都可能分开较大的距离，并且在每个点x附近，都可以找到离它很近而在f的 作用下最终分叉点y。对这样的f，如果用计算机计算它的轨道，任意微小的初值 误差，经过多次迭代后将导致计算结果的失败。周期点集稠密性表明，系统具有很 强的确定性和规律性。 1.1.3混沌的特征及分类 混沌是确定性非线性动力学系统中对初始条件具有敏感性的非周期有界动态 行为，它具有下述主要特征［13］： （1）有界性。混沌是有界的，它的运动轨迹始终局限于一个确定的区域，该区 域称为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨道都不会走出混沌吸 引域。所以从整体上说混沌系统是稳定的。 （2）遍历性。混沌运动在其吸引域内是各态经历的，即在有限时间内混沌轨 道经过混沌区内每一个状态点。 （3）随机性。混沌是由确定性系统产生的不确定性行为，具有内在随机性，与 外部因素无关。尽管系统的规律是确定性的，但它的动态行为难以确定，在它的吸 引子中任意区域概率分布密度函数不为零，这就是确定性系统产生的随机性。实 际上，混沌的不可预测性和对初值的敏感性导致混沌的内在随机性性质，同时也说 明混沌是局部不稳定的。 （4）分维性。分维性是指混沌的运动轨道在相空间中的行为特征，维数是对 吸引子几何结构复杂程度的一种定量描述。分维性表示混沌运动状态具有多叶、 多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。 （5）标度性。标度性是指混沌运动是无序中的有序态。其有序可理解为只要 数值或实验设备精度足够高，总可以在小尺度混沌区内看到其中有序的运动花样。 （6）普适性。普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同特 征，它不依赖具体的系统方程或参数而变。具体表现为几个混沌普适常数，如著名 的Feigenbaum常数。普适性是混沌内在规律性的一种体现。 （7）混沌敏感地依赖于初始条件。拉伸和折叠特性是形成敏感依赖初始条件 的内在机制。拉伸是指系统内部的局部不稳定所引起的点之间距离的扩大；折叠 是指系统在整体稳定因素作用下形成的对点与点之间距离的限制，经过多次拉伸 与折叠，轨道被搅乱，从而形成混沌。混沌具有局部不稳定而整体稳定的特性，所 以混沌区域是有界的，但是任意小的初始值的差别会导致其以后状态完全不同。 （8）正的Lyapunov指数。它是对非线性映射产生的运动轨道相互间趋近或 分离的整体效果进行定量刻画。它表明轨道在每个局部都是不稳定的，相邻轨道 按指数分离。同时，正的Lyapunov指数也表示相邻点信息量的丢失，其值越大， 信息量丢失越严重，混沌程度越高。 目前，人们已经逐渐接受混沌普遍存在于自然界及人类社会中这一事实，将混 沌现象分为四类［14］：时间混沌、空间混沌、时空混沌和功能混沌，如图1.1所示。 时间混沌是指经过长时间演化后，仅在时间上表现为混沌行为；空间混沌指在空间 广延上表现为混沌行为；时空混沌不仅在时间上表现为混沌行为，而且在系统长时 间发展以后，空间广延上也表现为混沌行为；功能混沌则是更高层次的混沌现象， 如人的大脑中神经网络表现出的混沌行为等。

书籍目录

前言
第1章 绪论
　1.1 混沌学的基本理论
　　1.1.1 混沌学的发展历史
　　1.1.2 混沌的定义
　　1.1.3 混沌的特征及分类
　　1.1.4 超混沌系统
　1.2 混沌控制的目标、任务及意义
　1.3 混沌控制的研究现状
　　1.3.1 混沌镇定(抑制)
　　1.3.2 混沌同步
　　1.3.3 混沌反控制
　　1.3.4 混沌化研究现状
　1.4 模糊控制的基本原理
　　1.4.1 模糊控制的产生与发展
　　1.4.2 模糊控制的理论基础
　　1.4.3 模糊控制的特点
　　1.4.4 模糊控制的分类
　1.5 混沌的应用举例
　　参考文献
第2章 基于模糊模型的混沌(超混沌)系统建模方法
　2.1 引言
　2.2 基于T—S模糊模型混沌(超混沌)系统精确建模
　　2.2.1 T—S模糊模型与混沌系统建模
　　2.2.2 几类超混沌系统的精确T—S模糊模型
　　2.2.3 混沌(超混沌)系统T—S模糊精确建模统一方法
　　2.2.4 7昆沌(超混沌)系统模糊建模的仿真研究
　2.3 本章小结
　　参考文献
第3章 基于T—S模糊模型的同结构超混沌(混沌)系统同步
　3.1 引言
　3.2 基于精确线性化技术的参数不确定超混沌系统鲁棒同步
　　3.2.1 精确线性化参数不确定超混沌系统鲁棒同步的问题描述
　　3.2.2 精确线性化参数不确定超混沌系统鲁棒同步控制器设计
　　3.2.3 精确线性化参数不确定超混沌系统鲁棒同步的仿真研究
　3.3 基于T—S模糊模型的部分参数未知时变时滞混沌系统H∞同步
　　3.3.1 部分参数未知模糊时变时滞混沌系统H∞同步的问题描述
　　3.3.2 模糊部分参数未知时变时滞混沌系统H∞同步控制器设计
　　3.3.3 部分参数未知模糊时变时滞混沌系统H∞同步的仿真研究
　3.4 本章小结
　　参考文献
第4章 基于T—S模糊模型的异结构超混沌系统同步
　4.1 引言
　4.2 基于H∞控制理论的异结构超混沌系统同步
　　4.2.1 基于H∞的异结构超混沌系统同步的问题描述
　　4.2.2 基于H∞的异结构超混沌系统的同步控制器设计
　　4.2.3 基于H∞的异结构超混沌系统同步的仿真研究
　4.3 基于精确线性化技术的异结构超混沌系统渐近同步
　　4.3.1 精确线性化异结构超混沌系统渐近同步的问题描述
　　4.3.2 精确线性化异结构超混沌系统渐近的同步控制器设计
　　4.3.3 精确线性化异结构超混沌系统渐近同步的仿真研究
　4.4 本章小结
　　参考文献
第5章 模糊时滞混沌(超混沌)系统同步与自适应同步控制
　5.1 引言
　5.2 基于模糊模型的时滞混沌系统的同步
　　5.2.1 模糊时滞混沌系统同步的问题描述
　　5.2.2 模糊时滞混沌系统同步控制器设计
　　5.2.3 模糊时滞混沌系统的仿真研究
　5.3 基于模糊模型的时滞混沌系统自适应同步
　　5.3.1 模糊时滞混沌系统自适应同步的问题描述
　　5.3.2 模糊时滞混沌系统的自适应控制器设计
　　5.3.3 模糊时滞混沌系统的自适应同步仿真研究
　5.4 本章小结
　　参考文献
第6章 基于模糊模型的混沌系统采样同步控制
　6.1 引言
　6.2 基于T—S模型的混沌系统采样同步控制
　　6.2.1 采样同步控制的问题描述
　　6.2.2 不同结构混沌系统的采样同步控制器设计
　　6.2.3 混沌采样控制的仿真研究
　6.3 混沌系统模糊的自适应采样同步控制
　　6.3.1 自适应采样同步控制的问题描述
　　6.3.2 自适应采样同步控制器设计
　　6.3.3 自适应采样同步控制仿真研究
　6.4 本章小结
　　参考文献
第7章 混沌系统的脉冲同步控制
　7.1 引言
　7.2 脉冲滞后同步控制
　　7.2.1 脉冲滞后同步控制的问题描述
　　7.2.2 脉冲滞后同步控制器设计
　　7.2.3 脉冲滞后同步控制仿真研究
　7.3 时滞混沌系统的脉冲同步控制
　　7.3.1 时滞混沌系统脉冲同步控制的问题描述
　　7.3.2 时滞混沌系统脉冲同步控制器设计
　　7.3.3 脉冲同步控制仿真研究
　7.4 本章小结
　　参考文献
第8章 基于模糊模型的混沌反控制
　8.1 引言
　8.2 参数不确定离散模糊双曲正切模型的混沌反控制
　　8.2.1 参数不确定离散模糊双曲正切模型混沌反控制的问题描述
　　8.2.2 参数不确定离散模糊双曲正切模型的混沌反控制器设计
　　8.2.3 参数不确定离散模糊双曲正切模型混沌反控制的仿真研究
　8.3 基于Delta算子离散化方法的连续T—S模糊模型混沌反控制
　　8.3.1 Delta算子离散化连续T—S模糊模型混沌反控制的问题描述
　　8.3.2 Delta算子离散化连续T—S模糊模型的混沌反控制器设计
　　8.3.3 Delta算子离散化连续T—S模糊模型混沌反控制的仿真研究
　8.4 本章小结
　　参考文献

编辑推荐

《混沌系统模糊建模、同步与反控制》从模糊控制角度出发，采用模糊方法进行以下混沌系统的分析和综合问题的研究：提出一大类混沌（超混沌）系统模糊T—S模型的精确化建模方法，给出多种混沌（超混沌）系统的精确T—S模糊模型，进而根据混沌（超混沌）系统的非线性项的不同表现形式，分别提出相应的混沌（超混沌）系统T—S模糊建模的具体方法。针对参数不确定离散模糊双曲正切模型和连续T—S模糊模型的混沌反控制问题，分别提出相应的混沌化方法。针对驱动系统参数未知的时变时滞混沌系统的同步问题，依据Lyapunoy稳定性理论和H∞控制理论，提出基于T—S模糊模型的模糊自适应同步控制器设计方法。针对异结构超混沌系统的同步问题，依据Lyapunov稳定性理论和H∞控制理论，提出基于T—S模糊模型的异结构超混沌系统的H∞同步方法，并以线性矩阵不等式的形式给出异结构超混沌系统H∞同步的充分条件；依据Lyapunoy稳定性理论和精确线性化技术，提出基于T—S模糊模型的异结构超混沌系统的渐近同步方法。《混沌系统模糊建模、同步与反控制》可作为理工科研究生的教材和参考书，也可供相关领域的工程技术人员和科学研究工作者参考。

作者简介

《混沌系统模糊建模、同步与反控制》系统研究基于模糊理论的混沌（超混沌）系统的精确化建模及在此基础上的混沌（超混沌）系统镇定控制、同步及混沌反控制问题。内容包括第1章介绍混沌的基本理论、研究现状及混沌控制的分类；第2章主要研究基于模糊模型的混沌（超混沌）系统精确化建模问题；第3～7章主要研究基于模糊模型的混沌（超混沌）系统同步问题；第8章主要研究基于模糊模型的混沌反控制问题。

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