从一元一次方程到伽罗瓦理论

书籍目录

第一部分解三次和四次多项式方程的故事

第一章一次和二次方程的求解

1.1一次方程的求解与数集的扩张

1.2二次方程的求解与根式可解

第二章求解三次方程的故事

2.1波洛那的费尔洛

2.2菲俄与塔尔塔里亚

2.3卡丹与费拉里

第三章三次方程和四次方程的根式求解

3.1三次方程的根式求解

3.2赫德方法的数学背景

3.3四次方程的根式求解

第二部分向五次方程进军

第四章有关方程的一些理论

4.1韦达与根和系数的关系

4.2牛顿与牛顿定理

4.3欧拉与复数

4.41的根

第五章范德蒙与他的“根的对称式表达”方法

5.1范德蒙与范德蒙方法

5.2用范德蒙方法解三次方程

第六章拉格朗日与他的预解式方法

6.1拉格朗日与他的预解式

6.2用拉格朗日方法解三次方程

6.3用拉格朗日方法解四次方程

6.4n=5时的情况

第七章高斯与代数基本定理

7.1高斯与代数基本定理

7.2分圆方程与它的根式求解

7.3开方运算的多值性与卡丹公式

第八章鲁菲尼、阿贝尔与伽罗瓦

8.1被人遗忘的鲁菲尼

8.2死于贫穷的阿贝尔

8.3死于愚蠢的伽罗瓦

第三部分一些数学基础

第九章集合与映射

9.1集合论中的一些基本概念

9.2集合间的映射

9.3集合A中的变换

9.4关系、等价关系与分类

9.5整数集合Z与同余关系

9.6算术基本定理与欧拉函数（n）

第十章群论基础

10.1群的定义

10.2群与对称性

10.3对称群Sn

10.4子群与陪集

10.5正规子群与商群

10.6循环群与n次本原根

10.7单群

10.8群的同态映射与同构映射

第十一章数与代数系

11.1自然数集N作为可换半群及其可数性

11.2整数集合Z与整环

11.3域与有理数域Q

11.4实数域R的不可数性

11.5复数域C与子域

第十二章域上的向量空间

12.1向量空间的定义

12.2向量空间的一些基础理论

12.3数域作为向量空间

第十三章域上的多项式

13.1一些基本事项

13.2多项式的可约性与艾森斯坦定理

13.3关于三次方程根的一些定理

第四部分扩域理论

第十四章有限扩域

14.1扩域作为向量空间

14.2维数公式

第十五章代数数与超越数

15.1代数元与代数数

15.2代数数集A是可数的

15.3超越数的存在

15.4代数扩域

第十六章单代数扩域

16.1最小多项式

16.2单代数扩域

16.3单代数扩域的性质

16.4添加2个代数元的情况

16.5有限个代数元的添加与单扩域

16.6代数数集A是域

16.7m型纯扩域与根式塔

第五部分尺规作图问题

第十七章尺规作图概述

17.1尺规作图的出发点、操作公理与作图法则

17.2最大可作数域K

17.3Q的可作扩域

第十八章尺规不可作问题

18.1存在不可作数

18.2立方倍积、三等分任意角与化圆为方

第十九章正n边形的尺规作图

19.1把正n边形的可作性归结为一些简单的情况

19.2有关□边形的两个域列

19.3分圆多项式

19.4数□应满足的必要条件

19.5对具有p=2m+1形式的奇素数的讨论

19.6费马数

19.7作出正n边形的“充要条件”

第六部分两类重要的群与一类重要的扩域

第二十章对称群Sn

20.1循环与对换

20.2置换的奇偶性

20.3Sn中元素的对称类与其对换乘积表示

20.4交代群An的性质

20.5A5是单群

20.6可迁群

第二十一章可解群

21.1可解群的定义

21.2可解群的性质

21.3n≥5时，Sn是不可解群

第二十二章正规扩域

22.1多项式的基域与根域

22.2正规扩域

22.3正规扩域的性质

第七部分伽罗瓦理论

第二十三章从域得到群

23.1域E的自同构群

23.2E作为F扩域时的一类特殊自同构群

23.3正规扩域时的伽罗瓦群

23.4伽罗瓦群的一些重要性质

23.5域F上方程的伽罗瓦群

23.6域F上的一般的n次多项式方程

第二十四章伽罗瓦理论的基本定理

24.1伽罗瓦对应

24.2伽罗瓦理论的基本定理

第八部分伽罗瓦理论的应用

第二十五章多项式方程的根式可解问题

25.1一些特殊的伽罗瓦群

25.2根式可解的数学含义

25.3根式扩域与根式可解的精确数学定义

25.4循环扩域与拉格朗日预解式

25.5多项式方程根式可解的必要条件

25.62x5—10x+5=0不可根式求解

25.7多项式方程根式可解的充分条件

25.8用伽罗瓦理论解三次方程

第二十六章三次实系数不可约方程有3个实根时的“不可简化情况”

26.1从判别式看根的情况

26.2不可简化情况

26.3根域的表达

26.4xp—a=0，a∈R型方程

26.5实根要通过复数得到

第二十七章正n边形尺规作图的充分条件

27.1正咒边形尺规作图必要条件的回顾与充分条件的提出

27.2p群的一个定理

27.3正n边形尺规作图的充分条件

27.4作正17边形的高斯方法

27.5从伽罗瓦理论看正17边形的尺规作图

第二十八章对称多项式的牛顿定理

28.1一个引理

28.2牛顿定理

附录

附录1关于两个正整数最大公因数的一个关系式

附录2多项式方程的重根问题

附录3计算三次方程的判别式D

参考文献

编辑推荐

　　伽罗瓦理论是数学爱好者无法跨越的理论，“她”深刻而优美，却因为过于深奥，很难被全面地把握。　　《从一元一次方程到伽罗瓦理论》试图从“解三次和四次多项式方程的故事”、“向五次方程进军”、“一些数学基础”、“扩域理论”、“尺规作图问题”、“两类重要的群与一类重要的扩域”、“伽罗瓦理论”及“伽罗瓦理论的应用”八个方面逐步展开，尽可能用通俗易懂的方式介绍伽罗瓦理论。　　《从一元一次方程到伽罗瓦理论》在阐述整个伽罗瓦理论来龙去脉的基础上，试图引导读者自己去探究、解决一系列重大的古典数学难题，如“尺规作图”、“三次实系数不可约方程的‘不可简化情况’”以及“伽罗瓦的根式可解之判别定理”等。

作者简介

《从一元一次方程到伽罗瓦理论》共二十八章，是讲解解多项式方程及数域上的伽罗瓦理论的一本入门读物。《从一元一次方程到伽罗瓦理论》按历史发展从解一元一次方程讲起，详述了一元二次方程、一元三次方程，以及一元四次方程的各种解案，从而自然地引出了群、域，以及域的扩张等概念。由此，《从一元一次方程到伽罗瓦理论》在讨论了集合论后，用近代方法详细阐明了对称群、可迁群、可解群、有限扩域、代数扩域、正规扩域以及伽罗瓦理论等，同时又引导读者一步步地去解决一系列重大的古典难题，如尺规作图问题、三次实系数不可约方程的“不可简化情况”，以及伽罗瓦的根式可解判别定理等。

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