《数学的语言》章节试读

《数学的语言》的笔记-第69页 - 第二章 心智的模式

将逻辑的模式改写成代数的模式并没有改变这些模式的本质，不过却会改变人们思考这些模式的方法。在一个架构下看起来不自然且困难的问题，在另一个架构下可能很自然且简单。在数学及其他各行各业里，重要的通常都不是你说的是什么，而是你说的方式。

《数学的语言》的笔记-第113页 - 第三章 动静有数 小节：无限的逆袭

在讲到几何级数的形式：S=a+ar +ar^2+ar^3+············。时，他将这个级数乘上同一个r，而得到如下一个新级数：Sr=ar+ar^2+ar^3+ar^4+·············。并且从这一个减去第一个。留下如下方程式：S-Sr=a。。。
我对这有疑问：S和Sr所加的项数应该是相等的啊（虽然是无限），假如S=a+ar+ar^2+ar^3
则Sr=ar+ar^2+ar^3+ar^4，，，，，，，，，则S-Sr=a-ar^4
明显不对嘛，，书本前面的几个也是采用这样方法。
例如这个：
例如：S=1-1+1-1+1-1+···，
用-1乘遍这个级数，得到
-S=-1+1-1+1-1+···。这个级数比上面的一个只差一个1被移走。将第一个减去第二个，那么右式的所有项都会消失，除了第一项之外，而剩下 2S=1。
谁能告诉我为什么呢？

《数学的语言》的笔记-第三章 动静有数 - 第三章 动静有数

数学始于自然数，由于牛顿与莱布尼茨发明了微积分，数学的以应对“无限”的概念。复数的引进以及代数基本定理（复系数的多项式方程在复数域可解）的证明，提供了解决多项式方程的利器。接着柯西与黎曼发展了解析复函数的理论。最后黎曼及其他数学家使用这个成果。取得了关于自然数的全新结果（数论结果，例如：质数猜想）。数学家转了一圈，又回到了原点。

《数学的语言》的笔记-第103页 - 第二章 心智的模式

……关于联邦论中有争议的文章究竟是谁写的案例（汉弥顿vs麦迪逊 ）
在一个许多人表明无力做数学的时代，语言学家和统计学家的研究说明了我们使用的语言和数学有关（尽管只是潜意识地），注意到这事情非常有趣。如乔姆斯基所示范的，文法句子的抽象模式是数学的——至少，它们可以被数学极为恰当地描述——而摩斯特拉和华里斯对于《联邦论》的分析，说明了当我们书写时，是用一种文字频率的确定数学模式来进行的，而这些文字频率和我们的指纹一样独特。如同伽利略的观察，数学不只是宇宙的语言，它甚至可以用来帮助我们了解自己。

《数学的语言》的笔记-第10页 - 序曲 何谓数学

1918年，罗素在《神秘主义与逻辑》（Mysticism and Logic）里写道：“如果对数学加以正确考察，我们会发现，它所包括的不止是真理，还有至高无上的美——一种冷冽与朴实无华的美，就像雕刻的美一样，不必诉诸我们较弱本性的任一部分，无须绘画与音乐的奢华装饰，却还是具有庄严的纯粹，以及只有伟大艺术才能表现的一种冷酷的完美。”

《数学的语言》的笔记-第3页 - 序曲 何谓数学

数学是研究模式的科学（science of patterns）。

《数学的语言》的笔记-第4页 - 序曲 何谓数学

现代数学有一个甚至对不经意的观察者都属显然的趋向，那就是抽象记号的使用：代数表现式、形状复杂的公式、以及几何图形。数学家对抽象记号的依赖，恰好反映了他所研究的模式的抽象本质。
实在（reality）的不同面向需要对应不同的描述（description）形式。譬如：研究土地的地势或是对某人描述一个陌生小镇如何找路的最恰当的方法，就是画一张地图，相比之下，文字的内容就远不及此。依次类推，在蓝图中，以线条图示是标示一栋建筑物构图的最恰当的方法。至于记谱法（musical notation），或者是除了实际演奏这支曲子之外，传递音乐的最恰当的方法。

《数学的语言》的笔记-第3页 - 序曲 何谓数学

数学是研究模式的科学（science of patterns ）。
不同种类的模式引出不同的数学分支：
算数与数论研究数字与计算模式；
几何学研究形状模式；
微积分允许我们处理运动模式；
逻辑学研究推论模式；
概率论处理机会模式；
拓扑学处理临近（closeness）与位置（position）模式。

《数学的语言》的笔记-第84页 - 第二章 心智的模式

……（关于数学的抽象），19世纪时，这个 从抽象中抽象化的过程，被带到某种地步，使得数学家中只有极少部分的例外人可以欣赏到大部分数学的新发展。抽象被堆放在抽象之上，形成一座巨大无比的高塔，直到今天这个过程还在继续。虽然高层次的抽象可能会使人回避现代数学，但是增加抽象的层次并不能使数学变得更困难。在每个抽象的层次，做数学的方法（mechanics）大致是一样的，只是抽象层次有所改变而已。
有趣的是，在过去百年间抽象逐渐增加的这个趋势，并非只发生在数学里。同样的过程在文学、音乐、视觉艺术里同样发生——而且那些没有直接参与的人也不会欣赏。