中国科学技术史·数学卷

出版社:科学出版社
出版日期:2010-10-29
ISBN:9787030290533
页数:858页

章节摘录

二十进位值制记数法(一)十进位值制记数法在原始社会,各部落和氏族在各自的环境和条件以及习惯下形成多种多样的记数方法和记数系统,其中十进、二进、五进、十二进、六十进等大概都有过。当氏族社会发展到它的高级阶段形成部落联盟时,交流、形成共同力量和进行公共管理等方面的需要促进了一种共用的记数法的形成。《尚书•尧典》说帝舜时“协时月、正日,同律度量衡”,这种规范历日和度量衡的活动,也需要先在一定范围内规范记数法。而进入夏代奴隶制社会以后,各方国都要受夏王朝节制,对夏尽贡赋、征发等各种义务,这时统一历日、度量衡和记数法的需要就更加迫切,而统一的历日、度量衡和记数法的行用范围也会更加深广。对十进制的认知以身体的十指为基础,十分自然,大概是中国境内各部落采用较多的记数法。据张政烺研究,存在着一种“十进制氏族组织”,居统治地位的氏族对被统治氏族的原有血缘组织进行调整,使每一氏族都含有一百个壮丁,从氏族到宗族再到部族都成为一种十进制组织,这样每一部族便包含一百个氏族一万个壮丁,“这便是《尚书•尧典》上所说的‘平章百姓,百姓昭明’”张政烺,古代中国的十进制氏族组织,历史教学,1951,3(2):13~19。4:14~17。。较为广泛的社会基础使十进制成为统一记数法的首选。至迟到殷商的时候,它已经普遍使用,并发展到比较完善的程度,这从上面讨论的甲骨文和金文的准十进位值制记数法中可以看到充分的证据。据《甲骨文字典》,商周时代也用简策来书写。甲骨文“册”作、诸形,正是简牍编成册的样子;“典”字作、,像双手持册的样子。在传世文献中用到的数字单位有比万更大的亿、兆、京等单位,也都是十进制,除偶尔用到廿、卅、、卌外,都不用合书。《周髀算经》载公元前11世纪商高答周公问说“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一”,这说明“九九”已为商高掌握。“九九”与先进的记数法是互为表里的。从甲骨金文看,其中所用的准十进位值制记数法到算筹的十进位值制记数法,在道理上是很容易过渡的参考王青建,算筹记数思想,第七届国际中国科学史会议文集,大象出版社,1999年,第220~225页。。我们认为算筹记数法的形成大约有三个阶段:第一阶段约在商代之前,竹、木或草茎等用于计算,但用途尚不固定,我们称为前算筹期;第二阶段是商末之前,某些长条形的竹、木棍(片)被赋予一项计数的专门功能,我们称为算筹形成期;第三阶段是商末至西周末年,逐渐形成后世算筹记数制度,可以称为算筹完善期。(二)干支记数法除十进制外,夏商西周时期还有一种记数法,就是干支法。它主要用来记时。干就是天干,即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号;支是地支,即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号。天干可能来源于原始社会曾把一年分为十个时节的十月太阳历,地支有人认为出于日月之会一年中有十二次陈久金,天干十日考,陈久金集,黑龙江教育出版社,1993年,第59~75页。。干支搭配形成60种组合:甲子,乙丑,丙寅,丁卯,戊辰,己巳,庚午,辛未,壬申,癸酉;甲戌,乙亥,丙子,丁丑,戊寅,己卯,庚辰,辛巳,壬午,癸未;甲申,乙酉,丙戌,丁亥,戊子,己丑,庚寅,辛卯,壬辰,癸巳;甲午,乙未,丙申,丁酉,戊戌,己亥,庚子,辛丑,壬寅,癸卯;甲辰,乙巳,丙午,丁未,戊申,己酉,庚戌,辛亥,壬子,癸丑;甲寅,乙卯,丙辰,丁巳,戊午,己未,庚申,辛酉,壬戌,癸亥。这60个组合由于以“甲子”开头,又称为甲子。干支记日法是一种序数记法,它与60进制有关,但不能算作60进制,从甲子到癸亥,再往下又回到甲子,确实只用60个符号。但是,干支的记日不出现某“干支”周期的某“干支”日,因此,它决算不上是60进制。第二节数学成为一门学科从夏代进入阶级社会开始,国家的社会结构对数学提出了更高的要求从而刺激了数学的进步,另外,数学在管理者和世代相传的劳动者手中成长,从而具有更加稳定的传承纽带。数学知识的积累和社会的需要,使它终于在西周时期发展成为一门学科。一社会管理和工作的需要与数学的发展原始社会晚期促进数学发展的诸多因素,在中国步入奴隶社会以后依然存在并得到了加强。夏、商、周三个王朝,国家机构日趋完善,所统辖的范围越来越广,以华夏族活动区域为中心的广大地区的民族冲突和融合逐渐形成越来越大的社会共同体,当然也就为数学提出了越来越高的要求。特别是大的工程和战争,必然要求其领导对人力、物力有较好的方法进行安排和调配,还须要解决一些技术问题。国家庞大和复杂的管理系统,既对管理人员提出较高的要求,也使他们能脱离机械的体力劳动,有时间和精力完备制度,提高管理能力。同时,手工业的分工也越来越细,经过经验的不断总结和技艺的世代相传,生产力和工艺水平就会越来越高。这些都会对数学的发展产生刺激作用。《史记•夏本纪》云,禹与益和后稷奉帝舜之令治水,“命诸侯百姓兴人徒以傅土,行山表木,定高山大川。……左准绳,右规矩,载四时,以开九州,通九道。”这里提到要用规矩准绳等工具来测定高山大川的高低宽窄、地势迂直,确立地域的疆界,开通道路。这就需要对工程量大小、用工人数、工具和粮食等进行估算,其中肯定会用到测望、加减乃至某种形式的乘除和比例分配方法等数学知识。这为三代的数学提供了基础。夏商西周不仅要继续兴建水利工程,也要筑王城,夏、商都多次迁都,每次都要大兴土木,西周建立不久就兴修洛邑。各诸侯卿大夫也都要修筑城邑。夏商周时候的国家机构要管理大量的财物,了解国家的资源,在遇到大型工程和重大事情时,要合理调配大量人力物力。同时,国家又拥有一大批世代相传的工匠,他们在制作产品时,都形成越来越完备的规程。这些既应用了已有的数学知识,也促进了数学的发展。《孟子•滕文公上》说:“夏后氏五十而贡,殷人七十而助,周人百亩而彻。其实皆什一也。……贡者,校数岁之中以为之常。”注云:“民耕五十亩,贡上五亩;耕七十亩者,以七亩助公家;耕百亩者,彻取十亩以为赋。虽异名而多少同,故曰‘什一’也。”战国•孟轲,孟子,十三经注疏,中华书局,1981年。夏王朝向王畿地区的平民,按耕种50亩收取5亩的实物收获征税。这和商代70亩收7亩、周100亩收10亩的税率相等,都是十分之一的税率。这里需要用比例算法。《国语•周语上》说“《夏书》有之曰:‘关石、和钧,王府则有’”注云:“言征赋调钧,则王之府藏常有也。”上海师范大学古籍整理研究所校点,国语,上海古籍出版社,1990年,第121页。如是则夏代已开始征收商业税了。在商代,平民的商品交换已经很活跃,商王室和贵族的用品也有很多是通过商品交换得到的。商代已经有贝币作为流通的一般等价物。杨升南,商代经济史,贵州人民出版社,1992年,第590~607页。商品交换的发展必然刺激相关计算方法的进步。上面我们看到甲骨文已经有大到三万的数和准十进位值制记数法,这就为商品交换时准确快捷的计算提供了基础。战争与数学也有密切关系。三代有些战争规模很大。例如,《吕氏春秋•简选》提到商汤伐夏桀用70辆军车,6000人的敢死队秦•吕不韦,吕氏春秋,《诸子集成》本,上海书店,1991年,第79页。,加上其他的部队,人数会多得多。甲骨文中有一些用兵人数的记载,多数为3000~5000。最多的一次是13000人,由武丁妻子的封邑提供3000人,王室的军队提供10000人。杨升南,商代经济史,贵州人民出版社,1992年,第48~49页。《史记•周本纪》载周武王伐纣,“率戎车三百乘,虎蕡三千人,甲士四万五千人”,并有“诸侯兵会者车四千乘”。而据说商纣王则匆匆集结了七十万人的军队。《逸周书•世俘》说,周灭商以后,“武王遂征四方,凡憝国九十有九国,馘魔亿有万七千七百七十有九,俘人三亿万有二百三十”,“凡武王俘商,得旧宝玉万四千,佩玉亿有八万”黄怀信、张懋镕、田旭东,逸周书汇校集注,上海古籍出版社,1995年。原文“万”前衍“十”,今从章太炎校。“凡武王俘商,得旧宝玉万四千,佩玉亿有八万”原文作“凡武王俘商旧玉亿有百万”,今从王念孙校。。不管这些数字是否有传抄错误,它们的获得必定用到统计方法,其中必定有整数运算问题。而且发动这些大规模的战争,肯定需要在战前对双方实力有合适的估计,对地势、路程、人数、粮草、器械等有合理的安排。这就必然用到很多相关的数学方法。商代的手工业有青铜、建筑、陶瓷、纺织等各种行业杨升南,商代经济史,贵州人民出版社,1992年。,其中肯定要用到很多数学方法。例如,建筑、木作中用到长宽、体积的计算等多种几何方法,青铜铸造、酿造业中都有原料的配伍问题,需要比例算法,等等。《考工记》中记录关于各种手工业的规范,涉及大量的数学知识,其中很多可能来源于前代。历法的制定有两项重要工作,一是观测,二是计算,都离不开数学。观测天象除用肉眼外,还借助工具。立杆测影大概在原始社会时代就已经有了。商代已经采用圭表法测日影。商玉芝,殷商历法研究,中国社会科学出版社,1987年,第87页。《考工记》“正朝夕”的测影法用到平分和垂直的概念。其源当远在《考工记》形成前。商高的测望方法也与历法的制定有关系。能在一定程度上反映西周制度的《周礼》特别强调数量化和负担均平。其“天官冢宰”说大宰要“均万民”,就是要让万民的负担相等;小宰辅佐大宰执用九贡九赋九式,合理调配国家的财用,并采用定期会计的方法管理财物的出入。司会“掌邦之六典八法八则之贰,以逆邦国都鄙官府之治。……掌国之官府郊野县都之百物财用,凡在书契版图者之贰,以逆群吏之治,而听其会计。以参互考日成,以月要考月成,以岁会考岁成,以周知四国之治,以诏王及冢宰废置”周•周礼,十三经注疏,中华书局,1981年。本编凡引《周礼》文字,均据此。。对国家财货的出入,每日每月每年都要有会计并登记在册,并以之作为考核官吏的成绩。《周礼》甚至还主张用统计方法对医生、酒官、卜筮之类的官员进行考核。因此,周代的贵族子弟所受的教育中就有数学一门。……

前言

数学史,科学出版社,1964年。见:李俨钱宝琮科学史全集,第五卷,辽宁教育出版社,1998年。李迪的分期相当细致,将中国传统数学分成两个时期六个阶段,这就是:中国传统数学的形成期(自远古至西汉末期),这一时期分成三个阶段:约公元前2000年以前为中国数学的“史前期”,约公元前2000~前221年为中国数学的“积累期”,从秦汉之际至西汉末期为中国数学发展史上的第一个高峰。中国传统数学的发展期(自东汉初期至元朝前期),这一时期也分成三个阶段:从约公元1世纪初期至8世纪初亦即东汉初至唐中叶为中国数学的“理论期”,从公元8世纪初至11世纪初即唐中叶至北宋初期为中国数学的“滞缓期”,从11世纪初至14世纪初为中国数学的高峰期。此外,李迪将1304~1936年称为中国传统数学向西方数学的“过渡期”,这一时期被分成四个阶段:1304~1606年即元中叶至明朝后期为“珠算期”,1607~1760年左右即明朝末期至清朝中期为“融合期”,约1760~约1850年即清朝中后期之间为中国数学的“复古期”,约1850~1936年为“西化完成期”。李迪,中国数学史大系•总论,见:吴文俊主编,中国数学史大系•第一卷,北京师范大学出版社,1998年。还有一些别的分期方法。我们认为,钱宝琮的分期思想是可取的。数学史的分期应以数学内部的发展为主要依据,同时考虑相应时期的社会经济、政治的变革和思想、文化背景。我们根据钱宝琮的思想,结合近30年中国数学史的研究成果,对中国数学史的分期提出以下看法:中国有文字记载的历史相当早,然而夏、商、周三代没有任何数学著作流传到现在。不过,完成当时世界上最方便的记数制度——十进位值制记数法,创造出当时世界上最先进的计算工具——算筹,是两项具有世界意义的成就。一些文史典籍中的鸿爪雪泥说明当时人们的数学知识已经达到相当高的水平。《九章算术》在西汉先后由张苍、耿寿昌删补成书,它奠定了中国传统数学的基本框架,在分数四则运算、比例和比例分配算法、盈不足算法、开方法、线性方程组解法、正负数加减法则、解勾股形和勾股数组等方面走在世界的前面,有的超前其他文化传统数百年,甚至上千年,是当时世界上第一流的数学著作。人们不禁要问,《九章算术》这么高深的著作是突然冒出来的吗?当然不可能。根据刘徽《九章算术注序》“九数之流,《九章》是矣”的提示和《九章算术注》所提供的资料(包括物价)的分析,《九章算术》的主体部分及主要成就在春秋战国时期已经完成了。换言之,中国传统数学的第一个高潮出现在春秋战国,西汉完成《九章算术》、《周髀算经》等著作的编纂,只是这个高潮的总结。20世纪80年代出土的竹简《算数书》虽然不是《九章算术》的前身郭书春,关于《算数书》与《九章算术》的关系,曲阜师范大学学报,2008,34(3):1~9。,却为上述看法提供了佐证。因此,不能将春秋战国的数学与夏、商、西周混为一谈。它们应该是两个阶段。也就是说,从远古到夏、商、西周是第一个阶段,数学在某种意义上已经形成一个学科。而春秋战国秦汉是以《九章算术》为代表的第二个阶段。西汉末年至东汉中叶,数学进展不大。东汉末年之后,一直到唐中叶,中国数学最主要的成就体现在刘徽《九章算术注》中。由于这是一部注解《九章算术》的著作,人们往往将其与《九章算术》归于一个阶段。实际上,刘徽《九章算术注》“析理以辞,解体用图”,提出了许多严格的数学定义,并以演绎逻辑为主要方法全面证明了《九章算术》的算法,奠定了中国传统数学的理论基础。他对圆面积公式和刘徽原理的证明在世界数学史上首次将极限思想和无穷小分割方法引入数学证明,其贡献主要是数学理论方面的。刘徽《九章算术注》无论是从数学的研究方向看,还是从理论高度、逻辑方法看,都与《九章算术》时代有明显的不同,应该属于另一个阶段。祖冲之父子的数学水平不会低于刘徽,可惜对他们的数学造诣,我们只知道只鳞片爪。此外,《数术记遗》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《缉古算经》等在计算工具的改进、不定方程解法、三次方程上有贡献。然而,隋唐数学明显落后于魏晋南北朝时期,对中国古代水平最高的数学著作《缀术》,隋唐“学官莫能究其深奥,是故废而不理”唐•李淳风,《隋书•律历志上》,见:魏征等,《隋书》,中华书局,1973年。,导致《缀术》失传。自唐中叶起,人们简化乘除运算,创造各种口诀,导致珠算最迟在南宋诞生。北宋贾宪、刘益,南宋秦九韶、杨辉,金元李冶、朱世杰等在高次方程、高次方程组解法、一次同余方程组解法、垛积术和招差术等高深数学的许多分支取得了超前其他文化传统几个世纪的成果。这就是人们常说的宋元数学高潮。元中叶到明末,继续改进筹算、珠算技术,珠算得到普及,并最终在明中叶之后取代筹算。除此之外,中国传统的高深数学急剧衰落。中国数学遂失去了世界领先的地位。明末之后,西算传入中国,开始了中西数学融会贯通的阶段。这是学术界都知道的。我们认为,数学的发展,既有数学内部的自身因素,也必然受社会经济、政治、思想和文化背景的制约。人类进入文明社会以来,世界数学研究的重心发生了几次大的变化。郭书春,略谈世界数学重心的三次大转移,科学技术与辩证法,1986,(1):44~48。又见:李文林,数学史教程,高等教育出版社,2000年,第366页。先是约公元前31世纪开始的尼罗河流域数学和约公元前24世纪开始的两河流域数学。自公元前7世纪起,希腊取代了上述地区,数学非常发达。约公元前3世纪至公元14世纪初,中国取代古希腊,成为世界数学研究的重心;公元8世纪之后,印度、阿拉伯地区的数学也发展起来。16~17世纪,欧洲数学伴随着文艺复兴,度过了中世纪的黑暗,进入变量数学时代。从此欧洲以及20世纪的苏联、美国一直占据着世界数学研究的重心位置。不难看出,世界数学的重心都发生在某一种社会形态最完备,经济、政治和思想文化最发达的地区。值得注意的是,中国传统数学发展的几个不同阶段,与当时社会经济、政治、思想和文化的变革亦即中国古代社会不同的发展阶段有某种对应关系。中国历史学界对中国古代历史的分期不管持什么观点,都认为,中国在春秋战国时期发生了领主制崩溃并向地主制过渡的激烈社会变革,思想界出现诸子林立、百家争鸣的活跃局面;东汉末至魏晋,庄园农奴制占据经济政治舞台的中心,思想界以谈“三玄”(《周易》、《老子》、《庄子》)为主的辩难之风取代了烦琐的两汉经学,中国社会进入一个新的阶段;唐中叶至宋初,庄园制逐步解体,土地可以自由买卖,地主阶级由按等级占田变成靠购买扩大土地占有,思想界也还比较宽松;元中叶之后,宗法地主制度走向没落,理学占据思想界的统治位置,思想禁锢严酷。两相对照,就会发现,在中国社会发生某种变革的初期,都给数学的发展带来新的活力,从而带来数学发展的高潮。而在某一个社会发展阶段的后期,数学不仅发展缓慢,甚至低于其前期,东汉、隋唐、元末至明末的数学就是这种情形。由于这种原因,我们将中国古代数学的发展分成以下几个阶段:中国数学的兴起——原始社会到西周时期的数学;中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学;中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学;中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶的数学;传统数学主流的转变与珠算的发展——元中叶至明末数学;西方数学的传入与中西数学的融会——明末至清末的数学。显然,这种分期方法是在钱宝琮基础上的修正。本书各编正是基于这种分期思想和方法设置的。本书除了论述各个阶段的数学成就和特点外,还力图探索各个时期数学的发展与当时社会经济、政治、思想、文化的关系。二中国古代传统数学重视实际应用,以解决人们生产生活中产生的数学问题为主要目的,以数学理论密切联系实际为其特点。许多中国数学史著述进而将中国古代数学著作统统概括为“应用问题集”,特别将《九章算术》概括为“应用问题集”。实际上,这种概括不符合实际情况,因而并不恰当。不言而喻,“应用问题集”是以问题为中心的,而《九章算术》等著作的主体部分则是以术文为中心的。“应用问题集”这种不恰当的概括造成了许多误解。例如,许多没有读过《九章算术》或虽读过而不求甚解的人,误以为《九章算术》等中国古代所有的数学著作都是“一题、一答、一术”,其术文都是应用问题的具体解法,而不了解《九章算术》中许多术文是几道、十几道甚至是几十道题目的总术,大部分术文是非常抽象的、具有普适性的严谨算法。许多学者没有认真考察数学著作本身,而从“应用问题集”的片面概括出发,推想中国古代数学著作中的术文都是具体问题的演算细草。既然是演算细草,当然都是“一题、一答、一术”。甚至有的中国数学史著述将《九章算术》中明显属于几道题目的总术都说成是专属于某一题目的术文,并且以讹传讹,谬种流传。实际上,中国传统数学著作之间的差别相当大。第一,它们的体例不同。《九章算术》的主体部分是以术文为中心的,我们称之为术文(算法)统率例题的形式。在这里,术文是一类数学问题的普适性、抽象性算法,含有一道、几道、十几道甚至几十道例题,相当大的部分根本不是“一题、一答、一术”。而《孙子算经》等著作不仅是“一题、一答、一术”,而且术文都是应用问题的具体解法。第二,它们的内容高深程度不同。《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《缉古算经》、《黄帝九章算经细草》、《数书九章》、《测圆海镜》、《详解九章算法》、《算学启蒙》、《四元玉鉴》等是具有高深内容的著作,《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《杨辉算法》、《算法全能集》、《详明算法》、《九章算法比类大全》、《算学宝鉴》、《算法统宗》等是浅显的或普及性的著作。第三,抽象程度不同。抽象性是数学的重要特点。中国古代数学著作的数学表达方式的抽象性也有分野。《九章算术》主体部分的术文大都是抽象性非常高的公式、算法,刘徽《九章算术注》、贾宪《黄帝九章算经细草》和杨辉《详解九章算法》等进一步抽象了《九章算术》抽象得不够的术文。《海岛算经》、《张丘建算经》、《缉古算经》、《杨辉算法》、《算学宝鉴》等的术文是关于一种数学问题的比较抽象的算法。《测圆海镜》卷一展示了全书所需的基本理论,其“圆城图式”用汉字记点,是个创举;其“识别杂记”提出600余条抽象命题,集中国勾股容圆知识大成;卷二在“洞渊九容”基础上以非常抽象的形式表示了勾股形与圆的十种基本关系。许多著作都有不同程度的抽象命题,而《九章算术》的一小部分以及《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《九章算法比类大全》、《算法统宗》等的术文大都是具体问题的演算细草。例如,《九章算术》和《孙子算经》都有开方术,前者是非常抽象的对任何开平方问题都适用的程序,而后者只是演算细草。第四,严谨性不同。严谨性也是数学的一大特点,是数学著作的生命线。就算法的严谨程度而言,《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《缉古算经》、《夏侯阳算经》、《黄帝九章算经细草》、《数书九章》、《测圆海镜》、《详解九章算法》、《杨辉算法》、《算学启蒙》、《四元玉鉴》、《算学宝鉴》、《勾股算术》、《测圆海镜分类释术》、《弧矢算术》、《测圆算术》等都是算法严谨的著作。而《五曹算经》、《算法全能集》、《详明算法》、《九章算法比类大全》等错误比较多,甚至重复某些已被前人纠正了的错误……此外,在是不是有数学推理和证明上,当然更是不同的。这在下面还要谈。因此,起码从以上几个方面看,中国古代数学实际上存在着数学的学术研究与普及的分野。《九章算术》及其刘徽注、《海岛算经》、《黄帝九章算经细草》、《数书九章》、《测圆海镜》、《详解九章算法》、《算学启蒙》、《四元玉鉴》、《算学宝鉴》、《勾股算术》、《测圆海镜分类释术》、《弧矢算术》、《测圆算术》等是数学的学术研究著作,而《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《算法全能集》、《九章算法比类大全》、《算法统宗》等是普及应用著作。中国古代某些数学家实际上也发现了这一区别。刘徽在阐发了自己求“弧田密率”的方法之后说:“然于算数差繁,必欲有所寻究也。若但度田,取其大数,旧术为约耳。”魏•刘徽,九章算术注•方田章。见:郭书春,汇校《九章算术》增补版,辽宁教育出版社,台湾九章出版社,2004年。寻究弧田密率,是学术研究;用来度田,是民间应用,用不到弧田密率。南宋初年的数学家荣棨说,当时的许多数学著作“或隐问答以欺众,或添歌彖以衒己。乖万世益人之心,为一时射利之具。以至真术淹废,伪本滋兴。学者泥于见闻,伥伥然入于迷望,可胜计邪!居仁由义之士,每不平之”南宋•荣棨,九章算经序,见:《详解九章算法》、《诸家算法及序记》。见:郭书春,汇校《九章算术》增补版附,辽宁教育出版社,台湾九章出版社,2004年。。金元大数学家李冶在批评了某些著作“惟恐学者得窥其仿佛”的错误倾向之后,接着说:“不然,则又以浅近粗俗无足观者,致使轩辕隶首之术,三五错综之妙,尽堕于市井沾沾之儿,及夫荒村下里蚩蚩之民,殊可悯悼。”元•李冶,益古演段自序,见:郭书春主编,中国科学技术典籍通汇•数学卷,第一册,河南教育出版社,1993年。荣棨、李冶这里所指责的,便是在宋元时期得到高度发展的筹算乘除捷算法,这当然是普及应用的数学。抛开荣棨、李冶等鄙视筹算乘除捷算法的错误态度不谈,显然在他们的头脑中,数学的学术研究与普及是泾渭分明的。至于就某一个数学家而言,到底是从事学术研究还是普及工作,得具体分析。像张苍、刘徽、祖冲之、王孝通、贾宪、李冶、秦九韶、顾应祥等这样的学者,当然是致力于数学的学术研究。也有一些数学家,如赝本《夏侯阳算经》的作者和唐中叶以后从事乘除简化运算的许多数学家以及丁巨、贾亨、安止斋、吴敬、程大位等,则主要关注数学知识的普及应用。但是,也有一些数学家,如杨辉、朱世杰、王文素等,则在这两方面都做了杰出的工作。三与“中国古代数学著作都是应用问题集”这一不恰当的概括相联系,国内外数学界和学术界,包括对中国古代数学成就十分推崇的学者在内,多认为“在古代中国的数学思想中,最大的缺点是缺少严格求证的思想”,中国古代数学没有形式逻辑,尤其没有演绎逻辑。“在从实践到纯知识领域的飞跃中,中国数学是未曾参与过的”[英]李约瑟,中国科学技术史,第3卷,科学出版社,1978年,第337~338页。其中关于中国数学缺少“严格求证”的说法,是李约瑟转引日本的中国数学史家三上义夫的话。见:YMikami(三上义夫),The Development of Mathematics in China and Japan(《中国和日本数学之发展》),Leipzig:Teubner,1913,所谓成就都是经验的积累,没有推理和证明。总之,没有数学理论。这种看法是不符合实际情况的。数学理论主要有两个方面:首先是具有普适性、抽象性的正确算法。其次是关于这些算法的推理和论证以及数学定义,并且其推理和论证主要是演绎的。对前者,前已指出,在《九章算术》等著作中有大量关于一类数学问题的具有正确性、普适性和抽象性的术文,这本身就是数学理论。许多学者没有认真考察数学著作本身,而“应用问题集”的概括造成中国古代所有术文都是具体问题的演算细草的错觉,从而“顺理成章”地得出“中国古代数学没有理论”的错误看法。对后者,确实,《九章算术》等大多数中国古代数学著作都没有数学定义、推理和论证。然而,这不是中国古代数学著作的全部,只是其中一部分,尽管是大部分。即使是以大部取代全部,也是一种以偏概全,当然是不恰当的。事实上,刘徽的《九章算术注》和贾宪的《黄帝九章算经细草》、李冶的《测圆海镜》和《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》、王文素的《算学宝鉴》等都有不同程度的定义、推理和论证。李约瑟已经指出,杨辉有演绎推理的倾向。[英]李约瑟,中国科学技术史•数学,科学出版社,1978年。实际上,刘徽《九章算术注》中的演绎推理和数学证明比杨辉高明得多,深刻得多。我们经过考察发现,现今形式逻辑教程中关于演绎推理的几种主要形式,刘徽都娴熟地使用过,而且没有任何循环推理。刘徽的数学证明是相当严谨的。说中国古代数学没有演绎逻辑,大约是没有读或者没有读懂刘徽的《九章算术注》。西方有远见的学者,如以研究古希腊数学著称的英国罗界(GLloyd)爵士多次与我讨论刘徽的证明问题,他对刘徽的评价极高。GLloyd,Préface aux Neuf Chapitres:Le Classique mathmatique de la Chine ancienne et ses commentaires(中法对照本《九章算术》序),KChemla(林力娜),Guo Shuchun(郭书春)译,Dunod Paris,2004、2005年。法国伦理与政治科学院院长EPoulle教授等认为,刘徽在数学证明及其意义的概念上有新的突破。我们认为,刘徽等数学家的数学证明表明,中国古代存在着纯数学研究,也就是为数学而数学的活动。一个明显的事实是:就实际应用而言,《九章算术》和许多数学著作提出的公式、算法,只要能够无数次应用,并且在应用中表明它们正确就够了,不在数学上证明它们,根本不会影响它们的应用。刘徽的《九章算术注》对《九章算术》的公式、算法进行了全面而且基本严谨的证明,并在证明中追求逻辑的正确、推理的明晰,这显然是纯数学的活动。杨辉、王文素等的论证工作,也属于纯数学的范畴。此外,对计算中精确度的追求,也是纯数学的工作。例如,对开方不尽的情况,在刘徽之前,人们用a+A-a22a+1或a+A-a22a表示平方根的近似值。在实际应用中,一般说来,这已经足够了。刘徽认为这不精确,提出求“微数”的思想,以十进分数逼近无理根。然而,这在实际应用中意义不大。刘徽、祖冲之将求“微数”的思想用于求圆周率,祖冲之将其精确到8位有效数字,更不是实际应用所需要的。实际上,祖冲之后1000多年间,在工艺技术和历法的计算中,人们还大多使用“周三径一”,除了数学著作中的计算外,甚至连徽率15750也未必使用。王恂、郭守敬制定明以前最精确的历法《授时历》,仍然使用圆周率3。事实上,即使使用祖率355113或8位有效数字的圆周率计算出需要的数值,没有近现代的精密加工技术,古代加工技术所造成的误差,会远远超过圆周率不精确造成的误差。显然,追求圆周率的精确值,不是人们日常生产、生活的需要,而是纯数学活动。四20世纪70年代以前,中国数学史界一般将中国古代数学的特征概括为强烈的位值制,以计算为中心,数学理论密切联系社会实际……这是非常明显的,也是正确的。钱宝琮等前辈已经做了充分的论述。然而,进一步问,中国古代数学的算法有什么特点?提出并解决这个问题的是吴文俊。他说:“我国古代数学,总的说来就是这样一种数学,构造性与机械化,是其两大特色。”吴文俊,吴文俊论数学机械化,山东教育出版社,1995年。本文凡引吴文俊语,均据此。构造性和机械化的思想贯穿于整个中国古代数学的始终。所谓构造性数学,是指从某些初始对象出发,通过明确规定的操作展开的数学理论。中国古代的方程术即线性方程组解法、刘徽求圆周率的程序、开方术和求高次方程正根的增乘开方法、大衍总数术即一次同余方程组解法等成就都是典型的构造性方法。所谓机械化,就是刻板化和规格化。《九章算术》中的分数四则运算法则,开平方、开立方程序,方程术等,刘徽的求圆周率程序、解方程的互乘相消法和方程新术以及由《九章算术》的开方术发展起来的贾宪、秦九韶的增乘开方法,秦九韶的求解一次同余方程组的大衍总数术,宋元数学家设未知数列方程的天元术,元朝朱世杰等求解多元高次方程组的四元术,等等,都具有规格化的程序,是典型的机械化方法。另外,吴文俊特别重视中国传统数学中几何问题的代数化思想特征。自《九章算术》起,勾股测望问题都要化成算术、代数问题求解。到宋元时期,数学家发明了天元术,将几何问题通过天元多项式化为一元高次方程。后来,又发展为二元术、三元术、四元术,即二元、三元、四元高次方程组。四元术的核心是四元消法,即将四元高次方程组化为三元,再化为二元,最后化为一元高次方程。这就是几何学代数化。吴文俊从中国传统数学的构造性和机械化特征得到启发,开创了数学机械化理论。五吴文俊关于中国传统数学特征的论述,为在理论上回答什么是世界数学发展的主流、彻底解决中国传统数学属不属于世界数学发展的主流等问题开辟了道路。文艺复兴之后,欧洲发生了资产阶级革命,跃居世界前列,并向亚非及美洲扩张,使他们养成了欧洲中心论思想,加之近代中国数学落后,西方人一般鄙视中国古代数学。当他们从日本学者三上义夫的书[日]YMikami(三上义夫),The Development of Mathematics in China and Japan(《中国和日本数学之发展》),Leipzig:Teubner,1913。上知道了中国古代数学的许多成就时,由于他们固守根深蒂固的西方中心论或其变种,便不顾起码的编年史,也不要任何证据,就说中国数学是从巴比伦、希腊甚至比中国晚出的印度等传入的。他们编著的数学史著作,大都根本不提中国古代数学,甚至将中国与日本、玛雅的数学一道列入“对于数学思想的主流没有重大的影响”而略而不论。[美]MKline(克莱因),古今数学思想•序。见:古今数学思想,第1册,上海科学技术出版社,1979年,Ⅴ。英国科学史家李约瑟(1900~1995)根据自己以及李俨、钱宝琮、严敦杰等学者的中国数学史研究成果指出,在数学上,“在公元前250年到公元1250年之间,从中国传出去的东西比传入中国的东西要多得多”[英]李约瑟,中国科学技术史•数学,科学出版社,1978年。,批驳了中国古代数学源于古巴比伦、古希腊和印度的谬说。吴文俊根据钱宝琮的思想,将中世纪数学发展过程概括为:中国5c印度希腊9c阿拉伯10c欧洲c表示世纪。后来,他进而指出:“贯穿在整个数学发展历史过程中有“两个中心思想”,一是公理化思想,一是机械化思想。”不久,他又将“两个中心思想”改成“两条发展路线”:“一条是从希腊欧几里得系统下来的;另一条是发源于中国,影响到印度,然后影响到世界的数学。”接着,他提出这两条发展路线互为消长:“从数学有史料为依据的几千年发展过程来看,以公理化思想为主的演绎倾向以及以机械化思想为主的算法倾向互为消长。”两年后,他更明确地指出了数学发展的主流问题:“在历史长河中,数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长交替成为数学发展中的主流。”这就在理论上回答了什么是世界数学发展的主流的问题。而“中国古代数学,乃是机械化体系的代表”,从而彻底解决了中国传统数学属于世界数学发展的主流,并且是主流的两个主要倾向之一的问题。这就是说,在吴文俊看来,数学发展的主流并不像以往有些西方数学史家所描述的那样——只有单一的希腊演绎模式,还有与之平行的中国式数学,而就近代数学的产生而言,后者甚至更具有决定性的(或者说是主流的)意义。李文林,古为今用的典范——吴文俊教授的数学史研究,见:林东岱、李文林、虞言林主编,数学与数学机械化,山东教育出版社,2001年。正是以中国数学为其源头和重要组成部分的东方数学,包括数学方法和用数学解决实际问题的传统,传到欧洲,与发掘出来的古希腊数学相结合,导致数学模式和数学家的数学观改变,重视数学计算,走向几何问题的代数化,从而开辟了文艺复兴后欧洲数学的繁荣,并开辟了通向解析几何和微积分的道路。古希腊数学与中国传统数学各有所长,厚此薄彼,褒一贬一,不是恰当的态度。正确的态度是取两者之长,兼收并蓄。如果现代数学家既能施用古希腊的抽象方法,又长于中国式的算法,便可以同时进行深入的证明和准确的计算,对当今数学的发展可能会起到无法预料的作用。这是中西数学思想的一种新的融会贯通,可以说是较明末至清末更高的、完全不同的一种融会贯通。总之,只要了解并客观、公正地评价中国传统数学,就会发现,它是世界数学主流中极其重要的一部分。六数学史是历史学的一部分。它要求研究者站在现代数学的高度,用历史学的方法整理此前产生的数学遗产。不言而喻,反映这些遗产的载体——原始文献,是我们研究的主要对象,是数学史研究的出发点。因此,尊重并认真研读原始文献,是对数学史工作者的起码要求。这不是杞人忧天。事实上,不认真研究原始文献,以自己现有的知识理解甚至取代古文;对原始文献弃而不用,只靠自己的臆测得出某些结论;读不懂古文,便对古文乱加改窜;因原始文献的记载与自己的观点相左,便对古文进行曲解,甚至不加说明便随意删节,强古人以就我的态度……在我们的数学史研究中并不鲜见。中国数学史研究经常发生一些争论,原因当然各异。然而,不尊重原始文献,甚至有意无意地篡改古文,曲解古义,是一个重要原因。我们以清中叶以来学术界对《九章算术》的编纂、刘徽的割圆术及求圆周率的程序、对秦九韶大衍总数术的认识、李冶《测圆海镜》为何而作、对天元式的认识等问题的偏颇为例说明这个问题。刘徽关于《九章算术》是“九数之流”,张苍、耿寿昌等在秦火遗残基础上“各称删补”而成的论述不仅是最早的,而且被对《九章算术》的结构和体例的分析郭书春,古代世界数学泰斗刘徽,山东科学技术出版社,1992年。又见:繁体字修订本,明文书局,1995年。、对《九章算术》所反映的物价的分析[日]堀毅,秦汉物价考,见:秦汉法制史论考,法律出版社,1988年,第268~307页。所证实,因而是最正确的。自清中叶戴震整理《九章算术》(1774)时开始否定刘徽的说法清•戴震,九章算术提要,见:《武英殿聚珍版丛书》本。见:郭书春主编,中国科学技术典籍通汇•数学卷,第1册,河南教育出版社,1993年。起,此后整整200年间,人们不再考虑刘徽的说法是不是正确,却沿着戴震的思路走下去,提出一些或者似是而非,或者毫无根据、纯属臆测的《九章算术》成书说。事实上,1983年底张家山汉墓中与《算数书》同时出土了关于“均输律”的竹简李学勤,中国数学史上的重大发现,文物天地,1985,(1)。之后,刘徽的说法不再与任何历史事实相矛盾,是不能轻易怀疑的。我们认为,今天的研究者不能将刘徽关于《九章算术》编纂的论述与近人、今人关于《九章算术》成书的一些猜测放在同等的位置上来考察。只有首先驳倒刘徽,才能再考虑其他说法。因为刘徽的话是在《九章算术》成书二三百年后,而戴震等的话则在2000多年之后。刘徽去古未远,他不仅能师承前辈关于《九章算术》编纂的可靠说法,而且能看到比近人、今人多得多的资料。乾嘉学派特别是戴震等的考据功夫极深,但是,疑古倾向太严重。且不说当时大规模的文物考古发掘尚未展开,只就典籍而言,由于时代久远及各种天灾人祸,古代出现过的典籍能流传到清中叶的百无一二;有幸流传到清中叶的,一个人即使如戴震这样聪明博学的大才,能读到的亦百无一二。因此,戴震等以一己之知识,便随意否定历史文献的记载,其偏颇是显而易见的。尊重原始文献,走出疑古,这就是结论。中国传统数学在20世纪初中断,从事中国数学史研究的学者绝大多数是受西方现代数学教育的,这就存在着一个既站在现代数学的高度,又回到中国古代的问题。然而,在研治中国数学史的时候,往往囿于自己的知识修养,离开原始文献,自觉或不自觉地用我们所熟悉的希腊的或现代的方法取代中国传统的方法,从而造成误解。即使是一些造诣相当高的学者的某些严肃的论著在使用原始文献方面也会造成失误。对刘徽割圆术及求圆周率程序的理解偏颇就是一个典型的例子。刘徽为《九章算术》圆田术写了一个很漂亮的注。这个注首先记述了前人用出入相补原理对圆田术的论证方法,当然是不严格的。接着,刘徽创造了用极限思想和无穷小分割方法严格证明圆田术的方法,其画龙点睛之处是“以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂”。这几句话清楚地表明刘徽完成了对《九章算术》圆面积公式的证明。然后,刘徽指出,《九章算术》圆田术中的周、径“谓至然之数,非周三径一之率也”。因此需要求这个“至然之数”,就是圆周率。他在批评了前人沿用“周三径一之率”的错误之后,提出了求圆周率近似值的程序。他从直径为2尺的圆的内接正六边形逐步割圆,计算出314寸2作为圆面积的近似值。将其代入圆田术,反求出圆周长的近似值628寸。将其与圆直径20寸相约,便得到圆周率15750。刘徽的整个圆田术注,论点明确,论据充分,逻辑清晰,没有任何费解之处。显然,刘徽割圆术的主旨和他的几个极限过程是为了证明《九章算术》的圆田术。可是,“文化大革命”前约半个世纪,几乎所有关于刘徽割圆术的文章都没有认识到这一点。甚至一篇逐字逐句用现代汉语翻译圆田术注的文章励乃骥,《九章算经》圆田题和刘徽注的今释,数学教学,1957,(6):1~11。对上面提到的画龙点睛的几句话,竟然略而不译。并且由于这个失误,人们对刘徽求圆周率的程序也统统搞错了。首先,误以为整个割圆术,特别是几个极限过程,就是为了求圆周率。实际上,求圆周率是极限思想在近似计算中的应用,用不到极限过程。其次,误以为求出圆面积近似值314寸2之后,使用现今中学数学教科书中的圆面积公式S=πr2求圆周率。这不仅背离了刘徽注,而且还会把刘徽置于他从未犯过的循环推理错误的境地。对刘徽割圆术的误解延续时间之长,涉及范围之广,是罕见的。究其原因,除了离开原文并囿于自己的知识结构外,对许多作者而言,是犯了“天下文章一大抄”的错误。研究数学史,认真研读原著是第一要务。在这里,没有捷径可走。人们常把南宋数学家秦九韶《数书九章》中求解一次同余方程组的方法称为“大衍求一术”。实际上,这是一个误解。秦九韶求解一次同余方程组的方法是“大衍总数术”,它包括四个部分:诸问数的定义、将不两两互素的问数化为相当于两两互素的定数的程序、求乘率的程序即“大衍求一术”、求率数即答案的程序。“大衍求一术”只是其中一部分,尽管是其相当重要甚或核心的一部分,但不是一次同余方程组解法的全部。自清中叶以来,许多推演秦九韶方法的著作清中叶之后推演秦九韶求解一次同余方程组方法的著作几乎全部冠以“求一术”之名,如张敦仁的《求一算术》、焦循的《大衍求一术》、时曰醇的《求一术指》、黄宗宪的《求一术通解》等。及20世纪的数学史著述钱宝琮,秦九韶《数书九章》研究,见:钱宝琮等,宋元数学史论文集,科学出版社,1966年,第67~77页。大都将“大衍求一术”说成是秦九韶的一次同余方程组解法,这是不恰当的。自清阮元(1764~1849)提出“《测圆海镜》何为而作也?所以发挥立天元一之术也”清•阮元,重刻《测圆海镜细草》序,见:郭书春主编,中国科学技术典籍通汇•数学卷,第1册,河南教育出版社,1993年。的说法之后,许多中国数学史著述便将《测圆海镜》说成是一部研究天元术的著作,而李冶的《益古演段》是一部普及天元术的著作。诚然,《测圆海镜》和《益古演段》是现存使用天元术的最早的两部著作,人们重视它们关于天元术的内容,这是完全正确的。但是,说它们是李冶为天元术而写的,是不符合历史事实的。实际上,李冶自序已经说明他的《测圆海镜》是为了阐释洞渊九容,而《益古演段》是在《益古集》上“移补条段,细翻图式”,为了使初学数学者能看懂。在李冶自序中,没有一个字谈到天元术。在他的朋友和子侄辈为他的两部书写的序跋中,也都没有一个字谈到天元术。可见,《测圆海镜》是阐释勾股容圆的著作,《益古演段》是阐发《益古集》中田亩问题的著作,二者都不是以阐述天元术为目的的著作。天元术只是李冶在这两部著作中使用的主要方法,当时业已成熟。对天元式的表示自清中叶以来也有一些模糊认识。应当指出,天元式主要是指含有“天元”的多项式或单项式,而不是指开方式。许多数学史著述说,在天元术中,开方式也称为天元式,甚至称为“天元开方式”,说“‘天元开方式’就是一元高次方程”,并在开方式中以“元”字或“太”字表示一次项或常数项。这是不恰当的。一般说来,在天元术中,经过“如积相消”,得出的开方式中的常数项或天元的一次项便不再标以“太”或“元”。有的学者在引用开方式时加上原文没有的“元”字,是上述误解所致。经过李俨、钱宝琮等中国数学史学科奠基者和历代数学史工作者的努力,中国数学史研究有相当深厚的基础和成就。在这种情况下,更应该力求准确地表述这些成就,既不夸大,也不缩小。为此,除了尊重原始文献之外,别无他途。同时,中国传统数学成就虽然辉煌,然而历史上产生的尤其是元中叶以前的大量数学著作,流传到现今的只是极少一部分。就是说,我们实际上只知道中国数学史的几个“点”。如何将这些“点”串联成“线”、“面”或“体”,成为一部完整的中国数学史,是数学史工作者的任务。李俨、钱宝琮、严敦杰等前辈站在现代数学的高度,用历史学的方法研究中国古代数学的辉煌成就,为中国数学史奠定了实事求是的研究方法。吴文俊进而提出了“古证复原”的“三原则”:原则之一,证明应符合当时本地区数学发展的实际情况,而不能套用现代的或其他地区的数学成果与方法。原则之二,证明应有史实史料上的依据,不能凭空臆造。原则之三,证明应自然地导致所求证的结果或公式,而不应为了达到预知结果以致出现不合情理的人为雕琢痕迹。这里虽然讲的是复原古证的问题,但对数学史研究的其他问题也是适用的。我们认为,这“三原则”的核心是尊重历史,尊重原始文献。只有尊重原始文献,深入研究这些“点”,才有可能做好串联成“线”、“面”或“体”的工作,形成完整、准确的中国数学史。这是本书力求达到的目标。正因为如此,本书凡是阐述重大成就或重要观点,必定引征古文献的原文艺为佐证。

后记

《中国科学技术史》是“八五”计划中国科学院重大课题,《数学卷》是其子课题之一,由于种种原因没有按时完成。在陈美东先生和中国科学院自然科学史研究所领导反复动员下,我在2004年夏应允出任《中国科学技术史•数学卷》(以下简称《数学卷》)主编,至于我参加《数学卷》的工作,则是在1988年秋宣州梅文鼎会议期间杜石然先生约请的,二年后杜先生即退休去国。我则在90年代初完成了我承担部分的初稿。

内容概要

郭书春,中国科学院自然科学史研究所研究员、党委委员、学术委员会副主任、工会主席,全国数学史学会理事长、博士生导师。长期从事中国数学史研究,在《九章算术》的编纂,刘徽《九章算术注》的结构、成就,刘徽的数学体系、逻辑思想渊源、时代背景,以及贾宪、秦九韶、杨辉

书籍目录

总序前言第一编  中国数学从兴起到形成一门学科——原始社会到西周时期的数学  第一章  中国数学的兴起——原始社会的数学    第一节  图形观念的形成      一  图形观念的产生      二  从方位观念看图形观念      三  原始的作图工具——规矩准绳    第二节  数概念的形成与原始的记数方法      一  数概念的产生      二  原始的记数方法    第三节  传说中的数学人物      一  伏羲      二  黄帝和隶首      三  尧、舜、禹和倭    第四节  从原始社会晚期的社会结构看当时数学的发展  第二章  数学形成一门学科——夏、商、西周三代的数学    第一节  十进位值制记数法的形成      一  甲骨文和金文中的数字      二  十进位值制记数法    第二节  数学成为一门学科      一  社会管理和工作的需要与数学的发展      二  数学进入教学科目      三  商高及其所掌握的数学知识第二编  中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学第三编  中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学第四编  中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶的数学第五编  传统数学主流的转变与珠算的发展——元中叶至明末数学第六编  西方数学的传入与中西数学的会通——明末至清末的数学主要参考文献后记总跋

编辑推荐

《中国科学技术史•数学卷》是《中国科学技术史》丛书之一,此系中国科学院“八五”重点研究课题,国家自然科学基金资助,国家“九五”重点图书出版项目。丛书共28卷,分综合类、专史类、工具类三类,是一套系统、完整的中国科学技术史的大型著作。综合类:通史卷,科学思想卷,中外交流卷,人物卷,教育、机构与管理卷。专史类:数学卷,物理学卷,化学卷,天文学卷,地学卷,生物学卷,农学卷,医学卷,水利卷,机械卷,建筑卷,桥梁卷,矿冶卷,纺织卷,陶瓷卷,造纸与印刷卷,交通卷,军事技术卷,度量衡卷。工具类:词典卷,图录卷,年表卷,论著索引卷。

作者简介

《中国科学技术史•数学卷》简介:数学是中国古代最为发达的基础科学学科之一,约公元前3世纪至公元14世纪初领先于世界先进水平。中国传统数学是当时世界数学发展的主流。中国传统数学的思想和方法既可用于现今的中小学数学教学,也对当前的数学研究有某些启迪作用。
《中国科学技术史•数学卷》根据对原始文献的深刻研究,以重新划分的中国数学发展各阶段为序,试图系统论述远古至清末中国数学的主要成就、思想、理论贡献以及重要的数学典籍、杰出的数学家,并探讨其产生的社会经济、政治、思想和文化背景,是对截止到21世纪初中国数学史研究成果的最新全面总结。
《中国科学技术史•数学卷》既是数学史专业工作者的参考读物,也适合从事数学、历史、文化、教育工作的各界人士和爱好者阅读。

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  •     中国古代数学:不仅重“实用”,而且有“理论”——郭书春先生谈《中国科学技术史·数学卷》《 中华读书报 》( 2011年09月07日 12 版)编者按:2008年,中国科学院“八五”重点研究课题、国家自然科学基金资助项目、国家“九五”重点图书出版项目《中国科学技术史》通过专家验收,本报曾给予大篇幅的报道和高度评价,认为:“这套中国人自己编写的大书出版以后,我们谈论中国古代科技史,可以不用言必称李约瑟了!”不过,当时这套书还未出齐。去年10月底,《中国科学技术史·数学卷》由科学出版社出版,使这一重大出版工程又向前迈进一步。该书出版以后,学界赞誉有加,认为该书是对截至到21世纪头十年中国数学史研究成果的最新全面总结,是该领域里程碑式的成就。日前,记者采访了该书主编郭书春先生,请他介绍了该书编纂过程,及其对中国数学史的阐释新在何处。读书报:据了解,《中国科学技术史·数学卷》的编纂工作早在1980年代后期即已启动,直到去年才最终完成,为什么耗时如此之久呢?郭书春:作为“八五”计划的中国科学院重大课题的一个子课题,《中国科学技术史·数学卷》是上世纪80年代末启动的,我是作者之一,由于种种原因,特别是因主编出国,没有按时完成,却把经费花光了。在《中国科学技术史》编委会和中国科学院自然科学史研究所领导反复动员下,我在2004年夏应允出任《中国科学技术史·数学卷》主编,随即在2004年下半年重新组建编委会,考虑到本人关于明末之后的数学史修养比较薄弱,我提议李兆华先生出任《数学卷》副主编,约请了冯立昇、傅祚华、高红成、郭金海、郭世荣、韩琦、侯钢、纪志刚、孔国平、吕兴焕、田淼、汪晓勤、王渝生、徐泽林、邹大海(以姓氏拼音为序)等中国数学史学科的学术带头人和科研骨干参加编写。大家齐心协力,在经费十分少,甚至零经费的情况下完成了撰写。读书报:据了解,自上世纪30年代以来国内外已经出版了十几部不同规模的中国古代数学的通史性著作,请问,《中国科学技术史·数学卷》与这些著作相比有什么特点?郭书春:首先是关于中国数学史的分期,近一个世纪来,学术界有各种不同看法。我们赞同钱宝琮的思想,认为数学史的分期应以数学内部的发展为主要依据,同时考虑相应时期的社会经济、政治的变革和思想、文化背景,因此,我们结合30余年来中国数学史研究的新成果,将中国数学史分成中国数学的兴起——原始社会到西周时期的数学,中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学,中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学,中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶的数学,传统数学主流的转变与珠算的发展——元中叶至明末数学,西方数学的传入与中西数学的融会——明末至清末的数学凡6个时期,这正是本书的六编。其次是尊重并认真研读原始文献。这本来是对数学史工作者的起码要求。但是,不客气地说,一个世纪以来,不认真研究原始文献,对古文进行曲解,随意删节、篡改,在数学史研究和著述中并不鲜见。本书依据原始文献对清中叶以来学术界流传一二百年的对《九章算术》的编纂、刘徽的割圆术及求圆周率的程序、杨辉《详解九章算法》的结构、秦九韶的人品及其大衍总数术、李冶《测圆海镜》为何而作及其天元式等中国数学史的重大问题的认识偏颇做了实事求是的纠正。第三,本书力图探索各个时期数学的发展与当时社会经济、政治、思想、文化的关系。读书报:在我们一般的印象中,中国古代数学强调实用,未能像西方数学那样发展出高度抽象化、形式化的纯数学,所以其能到达的高度也就大为受限,是这样吗?郭书春:这正是我要讲的本书的第四个特点,就是重视中国古代数学理论的探讨。说中国古代数学重视实际应用是不错的,但简单地以此来概括中国古代数学的特点,由此认为中国古代数学没有理论,就失之于片面了。许多中国数学史著述进而将中国古代数学著作统统概括为“应用问题集”,特别是将《九章算术》概括为“一题、一答、一术的应用问题集”,并不符合实际情况。不言而喻,应用问题集是以问题为中心的,而《九章算术》等著作的主体部分则是以术文为中心的。《九章算术》中,许多术文是几道、十几道甚至是几十道题目的总术,大部分术文是非常抽象的具有普适性的严谨算法。另外,刘徽《九章算术注》、贾宪《黄帝九章算经细草》和杨辉《详解九章算法》等进一步抽象了《九章算术》抽象得不够的术文。《海岛算经》、《张丘建算经》、《缉古算经》、《杨辉算法》、《算学宝鉴》等的术文是关于一种数学问题的比较抽象的算法。所以,简单地将中国古代数学的特点概括为实用,并不准确。读书报:还有一种非常流行的看法是,中国古代数学中没有形式逻辑,尤其没有演绎逻辑。李约瑟也说过,“在从实践到纯知识领域的飞跃中,中国数学是未曾参与过的”,所谓成就都是经验的积累,没有推理和证明,总之,是没有数学理论。您同意这类说法吗?郭书春:我不同意。数学理论,最主要的有两个方面:首先是具有普适性的抽象性的正确的算法;其次是有关于这些算法的推理和论证,以及数学定义,并且其推理和论证主要是演绎的。对前者,前已指出,《九章算术》等著作中有大量关于一类数学问题的具有正确性、普适性和抽象性的术文,这本身就是数学理论。后一方面来说,尽管大多数中国古代数学著作都没有数学定义、推理与论证,但绝不是全部。事实上,刘徽的《九章算术注》和贾宪的《黄帝九章算经细草》、李冶的《测圆海镜》、《益古演段断》、杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》、王文素的《算学宝鉴》等都有不同程度的定义、推理和论证。李约瑟已经指出杨辉有演绎推理的倾向。实际上,刘徽《九章算术注》中的演绎推理和数学证明比杨辉高明得多,深刻得多。我们经过考察发现,现今形式逻辑教程中关于演绎推理的几种主要形式,刘徽都娴熟地使用过,而且没有任何循环推理。刘徽的数学证明是相当严谨的。说中国古代数学没有演绎逻辑,大约是没有读或者没有读懂刘徽的《九章算术注》。西方有远见的学者,比如以研究古希腊数学著称的英国罗界(G.Lloyd)爵士多次与我讨论刘徽的证明问题,他对刘徽的评价极高。法国伦理与政治科学院院长E.Poulle教授等认为刘徽在数学证明及其意义的概念上有新的突破。我们认为,刘徽等数学家的数学证明表明,中国古代存在着纯数学研究,也就是为数学而数学的活动。一个明显的事实是:就实际应用而言,《九章算术》和许多数学著作提出的公式、算法,只要能够无数次的应用,并且在应用中表明它们正确就够了,不在数学上证明它们,根本不会影响它们的应用。刘徽的《九章算术注》对《九章算术》的公式、算法进行了全面而且基本上是严谨的证明,并在证明中追求逻辑的正确,推理的明晰,这显然是纯数学的活动。杨辉、王文素等的论证工作,也属于纯数学的范畴。另外,像祖冲之将圆周率精确到8位有效数字,更不是实际应用所需要的。实际上,祖冲之后一千多年间,在工艺技术和历法的计算中,人们还大多使用“周三径一”,除了数学著作中的计算外,甚至连徽率157/50也未必使用。王恂、郭守敬制定明以前最精确的历法《授时历》,仍然使用圆周率3。事实上,即使使用祖率355/113或8位有效数字的圆周率计算出需要的数值,没有近现代的精密加工技术,古代加工技术所造成的误差,会远远超过圆周率不精确造成的误差。显然,追求圆周率的精确值,不是人们日常生产、生活的需要,而是纯数学活动。读书报:您前面提到中国古代数学很重视算法,中国古代的算法和现代计算机科学中常说的算法是一回事吗?如何看待中国数学的这一特点?郭书春:应该说是一回事。事实上,中国古代的许多算法稍加改变就可以用到电子计算机上。20世纪70年代以前,中国数学史界一般将中国古代数学的特征概括为强烈的位值制,以计算为中心与数学理论密切联系社会实际等。这是非常明显的,也是正确的。钱宝琮等前辈已经做了充分的论述。然而,进一步问,中国古代数学的算法有什么特点?提出并解决这个问题的是吴文俊。他说:“我国古代数学,总的说来就是这样一种数学,构造性与机械化,是其两大特色。”构造性和机械化的思想贯穿于整个中国古代数学的始终。所谓构造性数学是指从某些初始对象出发,通过明确规定的操作展开的数学理论。中国古代的方程术即线性方程组解法、刘徽求圆周率的程序、开方术和求高次方程正根的增乘开方法、大衍总数术即一次同余方程组解法等成就都是典型的构造性方法。所谓机械化,就是刻板化和规格化。《九章算术》中的分数四则运算法则,开平方、开立方程序,方程术等,刘徽的求圆周率的程序、解方程互乘相消法和方程新术,等等,都具有规格化的程序,是典型的机械化方法。吴文俊院士正是从中国传统数学的构造性和机械化特征得到启发,开创了数学机械化理论,为当代数学做出了重大贡献。读书报:研究中国古代数学史,除了要准确地描述其发展历程和特点之外,我想,还应该对中国古代数学与西方数学、现代数学的关系做出说明。我们从上学开始,接触的数学概念、定理、理论大多都是以西方人的名字命名的,所以,很多人都会觉得,似乎中国古代数学与现代数学是没有多大关系的。这种看法是否成立呢?郭书春:事实上,许多西方学者也有这种看法,像西方著名数学史家克莱因在《古今数学思想》中就将中国与日本、玛雅的数学一道列入“对于数学思想的主流没有重大的影响”而略而不论。英国科学史家李约瑟(1900-1995)则根据自己以及李俨、钱宝琮、严敦杰等学者的中国数学史的研究成果,指出在数学上,“在公元前250年到公元1250年之间,从中国传出去的东西比传入中国的东西要多得多”,批驳了中国古代数学源于古巴比伦、古希腊和印度的谬说。吴文俊根据钱宝琮的思想,将中世纪数学发展过程概括为“中国-印度-欧洲”和“希腊-阿拉伯-欧洲”两条路线。后来,他进而指出:“贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想,一是公理化思想,一是机械化思想。”不久,他又将“两个中心思想”改成“两条发展路线”:“一条是从希腊欧几里得系统下来的,另一条是发源于中国,影响到印度,然后影响到世界的数学。”他明确地回答了数学发展的主流问题:“在历史长河中,数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长交替成为数学发展中的主流”,而“中国古代数学,乃是机械化体系的代表”。这就是说,在吴文俊看来,数学发展的主流并不像以往有些西方数学史家所描述的那样只有单一的希腊演绎模式,还有与之平行的中国式数学,而就近代数学的产生而言,后者甚至更具有决定性的(或者说是主流的)意义。正是以中国数学为其源头和重要组成部分的东方数学,包括数学方法和用数学解决实际问题的传统,传到欧洲,与发掘出来的古希腊数学相结合,导致数学模式和数学家的数学观的改变,重视数学计算,走向几何问题的代数化,从而开辟了文艺复兴后欧洲数学的繁荣,并开辟了通向解析几何和微积分的道路。总之,只要了解并客观、公正地评价中国传统数学,就会发现,它是世界数学主流的极其重要的一部分。读书报:从李俨、钱宝琮在上世纪初开创对中国数学史的科学研究,到这部《中国科学技术史·数学卷》出版,已有一百年的时间。经过几代学者的奋斗,我们已基本弄清了中国古代数学发展的面貌。是否这个领域的研究已到了题无剩义的地步?您对今后中国数学史的研究有什么建议?郭书春:由于李俨、钱宝琮、严敦杰等大师筚路蓝缕的工作,中国数学史学科基础深厚,成果丰硕,自上世纪60年代钱宝琮主编的《中国数学史》出版时起,就有“中国数学史没有什么可搞了”,“是贫矿”的说法,并在六七十年代在学术界占据主导地位。30余年来中国数学史的研究,特别是关于《九章算术》及其刘徽注的研究实践,证明了这种看法是不妥当的。同样,这种看法在今天仍然是不对的。总的说来,目前中国数学史的研究,包括《数学卷》的编纂,基本上还是沿着李俨、钱宝琮等开创的路子走的,使用的是传统方法。我们应该进一步与国际接轨,学习国外数学史界科学的、行之有效的研究方法。以新的方法,新的视角考察中国古代数学,一定会取得新的成果。我认为,以下几个方面应该特别重视。首先,就中国数学史的断代史而言,对两头的研究一直薄弱。一头是中国近现代数学史的研究,目前已有很好的起步,应该进一步加强。另一头是先秦数学的研究,其薄弱的原因是资料缺乏。上世纪80年代张家山汉简《筭数书》的出土,2007年底岳麓书院收藏了秦简《数》,改变了文字资料空白的局面,《中国科学技术史·数学卷》都有专门章节论述,但仍值得进一步研究。近年北京大学还收藏了400余支秦数学简牍,清华大学收藏了战国算表简,湖北睡虎地出土了200余支西汉数学简牍,都正在整理中。这些秦汉数学简牍提供了秦与先秦数学最可宝贵的原始文献,对它们的研究,必将开辟中国数学史研究的新天地。其次,开展中国古代数学社会史的研究,包括当时社会的政治、经济、社会思潮和文化背景,甚至各民族的不同的心理素质,所处的不同的地理环境,不同文化传统的交汇,以及科学技术其他学科的发展情况,即所谓外史的研究。第三,开展数学思想史的研究,尽管过去有所涉猎,但总的说来还相当薄弱。第四,要开展比较数学史与交流史的研究。比如研究中国传统数学与古希腊数学为什么会有不同的形式、风格和特点,研究中国传统数学与印度、阿拉伯数学的关系。为此应该培养不仅懂得英文、法文、德文、日文,而且能阅读阿拉伯语、梵文的数学史学者。同时,我们应该清醒地看到,尽管20世纪二三十年代以来,中国古代数学的辉煌成就已得到国内外学术界中有识之士的公认,但是,在国内外学术界中,欧洲中心论或其他什么中心论仍占主导地位。他们或者对中国古代的数学成就视而不见,或者不顾起码的编年史,硬说中国的成就来源于比中国晚几百年的印度或别的什么地方。即使是对中国古代数学十分推崇的学者,也有中国古代数学没有理论,没有逻辑,更没有演绎逻辑的偏见。可见,向学术界、教育界,尤其是大、中、小学的教师、学生,乃至全民族普及数学史(中国数学史应在其中占据恰当的位置)知识,是十分必要的。这是数学史工作者责无旁贷的使命。(本报记者 王洪波)

精彩短评 (总计8条)

  •     对中国数学成就所知甚少。除了中学学的勾股定理,圆周率之外,再无什么概念。想知道更多,这本书的史料性就很强。总之对书的质量和内容都很满意。就是送货的时间稍慢了些。
  •       中国古代数学:不仅重“实用”,而且有“理论”
      ——郭书春先生谈《中国科学技术史·数学卷》
      《 中华读书报 》( 2011年09月07日 12 版)
      
      
       编者按:2008年,中国科学院“八五”重点研究课题、国家自然科学基金资助项目、国家“九五”重点图书出版项目《中国科学技术史》通过专家验收,本报曾给予大篇幅的报道和高度评价,认为:“这套中国人自己编写的大书出版以后,我们谈论中国古代科技史,可以不用言必称李约瑟了!”不过,当时这套书还未出齐。去年10月底,《中国科学技术史·数学卷》由科学出版社出版,使这一重大出版工程又向前迈进一步。该书出版以后,学界赞誉有加,认为该书是对截至到21世纪头十年中国数学史研究成果的最新全面总结,是该领域里程碑式的成就。日前,记者采访了该书主编郭书春先生,请他介绍了该书编纂过程,及其对中国数学史的阐释新在何处。
      
       读书报:据了解,《中国科学技术史·数学卷》的编纂工作早在1980年代后期即已启动,直到去年才最终完成,为什么耗时如此之久呢?
      
       郭书春:作为“八五”计划的中国科学院重大课题的一个子课题,《中国科学技术史·数学卷》是上世纪80年代末启动的,我是作者之一,由于种种原因,特别是因主编出国,没有按时完成,却把经费花光了。在《中国科学技术史》编委会和中国科学院自然科学史研究所领导反复动员下,我在2004年夏应允出任《中国科学技术史·数学卷》主编,随即在2004年下半年重新组建编委会,考虑到本人关于明末之后的数学史修养比较薄弱,我提议李兆华先生出任《数学卷》副主编,约请了冯立昇、傅祚华、高红成、郭金海、郭世荣、韩琦、侯钢、纪志刚、孔国平、吕兴焕、田淼、汪晓勤、王渝生、徐泽林、邹大海(以姓氏拼音为序)等中国数学史学科的学术带头人和科研骨干参加编写。大家齐心协力,在经费十分少,甚至零经费的情况下完成了撰写。
      
       读书报:据了解,自上世纪30年代以来国内外已经出版了十几部不同规模的中国古代数学的通史性著作,请问,《中国科学技术史·数学卷》与这些著作相比有什么特点?
      
       郭书春:首先是关于中国数学史的分期,近一个世纪来,学术界有各种不同看法。我们赞同钱宝琮的思想,认为数学史的分期应以数学内部的发展为主要依据,同时考虑相应时期的社会经济、政治的变革和思想、文化背景,因此,我们结合30余年来中国数学史研究的新成果,将中国数学史分成中国数学的兴起——原始社会到西周时期的数学,中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学,中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学,中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶的数学,传统数学主流的转变与珠算的发展——元中叶至明末数学,西方数学的传入与中西数学的融会——明末至清末的数学凡6个时期,这正是本书的六编。
      
       其次是尊重并认真研读原始文献。这本来是对数学史工作者的起码要求。但是,不客气地说,一个世纪以来,不认真研究原始文献,对古文进行曲解,随意删节、篡改,在数学史研究和著述中并不鲜见。本书依据原始文献对清中叶以来学术界流传一二百年的对《九章算术》的编纂、刘徽的割圆术及求圆周率的程序、杨辉《详解九章算法》的结构、秦九韶的人品及其大衍总数术、李冶《测圆海镜》为何而作及其天元式等中国数学史的重大问题的认识偏颇做了实事求是的纠正。
      
       第三,本书力图探索各个时期数学的发展与当时社会经济、政治、思想、文化的关系。
      
       读书报:在我们一般的印象中,中国古代数学强调实用,未能像西方数学那样发展出高度抽象化、形式化的纯数学,所以其能到达的高度也就大为受限,是这样吗?
      
       郭书春:这正是我要讲的本书的第四个特点,就是重视中国古代数学理论的探讨。说中国古代数学重视实际应用是不错的,但简单地以此来概括中国古代数学的特点,由此认为中国古代数学没有理论,就失之于片面了。许多中国数学史著述进而将中国古代数学著作统统概括为“应用问题集”,特别是将《九章算术》概括为“一题、一答、一术的应用问题集”,并不符合实际情况。不言而喻,应用问题集是以问题为中心的,而《九章算术》等著作的主体部分则是以术文为中心的。《九章算术》中,许多术文是几道、十几道甚至是几十道题目的总术,大部分术文是非常抽象的具有普适性的严谨算法。另外,刘徽《九章算术注》、贾宪《黄帝九章算经细草》和杨辉《详解九章算法》等进一步抽象了《九章算术》抽象得不够的术文。《海岛算经》、《张丘建算经》、《缉古算经》、《杨辉算法》、《算学宝鉴》等的术文是关于一种数学问题的比较抽象的算法。所以,简单地将中国古代数学的特点概括为实用,并不准确。
      
       读书报:还有一种非常流行的看法是,中国古代数学中没有形式逻辑,尤其没有演绎逻辑。李约瑟也说过,“在从实践到纯知识领域的飞跃中,中国数学是未曾参与过的”,所谓成就都是经验的积累,没有推理和证明,总之,是没有数学理论。您同意这类说法吗?
      
       郭书春:我不同意。数学理论,最主要的有两个方面:首先是具有普适性的抽象性的正确的算法;其次是有关于这些算法的推理和论证,以及数学定义,并且其推理和论证主要是演绎的。对前者,前已指出,《九章算术》等著作中有大量关于一类数学问题的具有正确性、普适性和抽象性的术文,这本身就是数学理论。后一方面来说,尽管大多数中国古代数学著作都没有数学定义、推理与论证,但绝不是全部。事实上,刘徽的《九章算术注》和贾宪的《黄帝九章算经细草》、李冶的《测圆海镜》、《益古演段断》、杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》、王文素的《算学宝鉴》等都有不同程度的定义、推理和论证。李约瑟已经指出杨辉有演绎推理的倾向。实际上,刘徽《九章算术注》中的演绎推理和数学证明比杨辉高明得多,深刻得多。我们经过考察发现,现今形式逻辑教程中关于演绎推理的几种主要形式,刘徽都娴熟地使用过,而且没有任何循环推理。刘徽的数学证明是相当严谨的。说中国古代数学没有演绎逻辑,大约是没有读或者没有读懂刘徽的《九章算术注》。西方有远见的学者,比如以研究古希腊数学著称的英国罗界(G.Lloyd)爵士多次与我讨论刘徽的证明问题,他对刘徽的评价极高。法国伦理与政治科学院院长E.Poulle教授等认为刘徽在数学证明及其意义的概念上有新的突破。
      
       我们认为,刘徽等数学家的数学证明表明,中国古代存在着纯数学研究,也就是为数学而数学的活动。一个明显的事实是:就实际应用而言,《九章算术》和许多数学著作提出的公式、算法,只要能够无数次的应用,并且在应用中表明它们正确就够了,不在数学上证明它们,根本不会影响它们的应用。刘徽的《九章算术注》对《九章算术》的公式、算法进行了全面而且基本上是严谨的证明,并在证明中追求逻辑的正确,推理的明晰,这显然是纯数学的活动。杨辉、王文素等的论证工作,也属于纯数学的范畴。另外,像祖冲之将圆周率精确到8位有效数字,更不是实际应用所需要的。实际上,祖冲之后一千多年间,在工艺技术和历法的计算中,人们还大多使用“周三径一”,除了数学著作中的计算外,甚至连徽率157/50也未必使用。王恂、郭守敬制定明以前最精确的历法《授时历》,仍然使用圆周率3。事实上,即使使用祖率355/113或8位有效数字的圆周率计算出需要的数值,没有近现代的精密加工技术,古代加工技术所造成的误差,会远远超过圆周率不精确造成的误差。显然,追求圆周率的精确值,不是人们日常生产、生活的需要,而是纯数学活动。
      
       读书报:您前面提到中国古代数学很重视算法,中国古代的算法和现代计算机科学中常说的算法是一回事吗?如何看待中国数学的这一特点?
      
       郭书春:应该说是一回事。事实上,中国古代的许多算法稍加改变就可以用到电子计算机上。
      
       20世纪70年代以前,中国数学史界一般将中国古代数学的特征概括为强烈的位值制,以计算为中心与数学理论密切联系社会实际等。这是非常明显的,也是正确的。钱宝琮等前辈已经做了充分的论述。然而,进一步问,中国古代数学的算法有什么特点?提出并解决这个问题的是吴文俊。他说:“我国古代数学,总的说来就是这样一种数学,构造性与机械化,是其两大特色。”构造性和机械化的思想贯穿于整个中国古代数学的始终。所谓构造性数学是指从某些初始对象出发,通过明确规定的操作展开的数学理论。中国古代的方程术即线性方程组解法、刘徽求圆周率的程序、开方术和求高次方程正根的增乘开方法、大衍总数术即一次同余方程组解法等成就都是典型的构造性方法。所谓机械化,就是刻板化和规格化。《九章算术》中的分数四则运算法则,开平方、开立方程序,方程术等,刘徽的求圆周率的程序、解方程互乘相消法和方程新术,等等,都具有规格化的程序,是典型的机械化方法。吴文俊院士正是从中国传统数学的构造性和机械化特征得到启发,开创了数学机械化理论,为当代数学做出了重大贡献。
      
       读书报:研究中国古代数学史,除了要准确地描述其发展历程和特点之外,我想,还应该对中国古代数学与西方数学、现代数学的关系做出说明。我们从上学开始,接触的数学概念、定理、理论大多都是以西方人的名字命名的,所以,很多人都会觉得,似乎中国古代数学与现代数学是没有多大关系的。这种看法是否成立呢?
      
       郭书春:事实上,许多西方学者也有这种看法,像西方著名数学史家克莱因在《古今数学思想》中就将中国与日本、玛雅的数学一道列入“对于数学思想的主流没有重大的影响”而略而不论。英国科学史家李约瑟(1900-1995)则根据自己以及李俨、钱宝琮、严敦杰等学者的中国数学史的研究成果,指出在数学上,“在公元前250年到公元1250年之间,从中国传出去的东西比传入中国的东西要多得多”,批驳了中国古代数学源于古巴比伦、古希腊和印度的谬说。
      
       吴文俊根据钱宝琮的思想,将中世纪数学发展过程概括为“中国-印度-欧洲”和“希腊-阿拉伯-欧洲”两条路线。后来,他进而指出:“贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想,一是公理化思想,一是机械化思想。”不久,他又将“两个中心思想”改成“两条发展路线”:“一条是从希腊欧几里得系统下来的,另一条是发源于中国,影响到印度,然后影响到世界的数学。”他明确地回答了数学发展的主流问题:“在历史长河中,数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长交替成为数学发展中的主流”,而“中国古代数学,乃是机械化体系的代表”。这就是说,在吴文俊看来,数学发展的主流并不像以往有些西方数学史家所描述的那样只有单一的希腊演绎模式,还有与之平行的中国式数学,而就近代数学的产生而言,后者甚至更具有决定性的(或者说是主流的)意义。正是以中国数学为其源头和重要组成部分的东方数学,包括数学方法和用数学解决实际问题的传统,传到欧洲,与发掘出来的古希腊数学相结合,导致数学模式和数学家的数学观的改变,重视数学计算,走向几何问题的代数化,从而开辟了文艺复兴后欧洲数学的繁荣,并开辟了通向解析几何和微积分的道路。总之,只要了解并客观、公正地评价中国传统数学,就会发现,它是世界数学主流的极其重要的一部分。
      
       读书报:从李俨、钱宝琮在上世纪初开创对中国数学史的科学研究,到这部《中国科学技术史·数学卷》出版,已有一百年的时间。经过几代学者的奋斗,我们已基本弄清了中国古代数学发展的面貌。是否这个领域的研究已到了题无剩义的地步?您对今后中国数学史的研究有什么建议?
      
       郭书春:由于李俨、钱宝琮、严敦杰等大师筚路蓝缕的工作,中国数学史学科基础深厚,成果丰硕,自上世纪60年代钱宝琮主编的《中国数学史》出版时起,就有“中国数学史没有什么可搞了”,“是贫矿”的说法,并在六七十年代在学术界占据主导地位。30余年来中国数学史的研究,特别是关于《九章算术》及其刘徽注的研究实践,证明了这种看法是不妥当的。同样,这种看法在今天仍然是不对的。总的说来,目前中国数学史的研究,包括《数学卷》的编纂,基本上还是沿着李俨、钱宝琮等开创的路子走的,使用的是传统方法。我们应该进一步与国际接轨,学习国外数学史界科学的、行之有效的研究方法。以新的方法,新的视角考察中国古代数学,一定会取得新的成果。我认为,以下几个方面应该特别重视。首先,就中国数学史的断代史而言,对两头的研究一直薄弱。一头是中国近现代数学史的研究,目前已有很好的起步,应该进一步加强。另一头是先秦数学的研究,其薄弱的原因是资料缺乏。上世纪80年代张家山汉简《筭数书》的出土,2007年底岳麓书院收藏了秦简《数》,改变了文字资料空白的局面,《中国科学技术史·数学卷》都有专门章节论述,但仍值得进一步研究。近年北京大学还收藏了400余支秦数学简牍,清华大学收藏了战国算表简,湖北睡虎地出土了200余支西汉数学简牍,都正在整理中。这些秦汉数学简牍提供了秦与先秦数学最可宝贵的原始文献,对它们的研究,必将开辟中国数学史研究的新天地。
      
       其次,开展中国古代数学社会史的研究,包括当时社会的政治、经济、社会思潮和文化背景,甚至各民族的不同的心理素质,所处的不同的地理环境,不同文化传统的交汇,以及科学技术其他学科的发展情况,即所谓外史的研究。
      
       第三,开展数学思想史的研究,尽管过去有所涉猎,但总的说来还相当薄弱。
      
       第四,要开展比较数学史与交流史的研究。比如研究中国传统数学与古希腊数学为什么会有不同的形式、风格和特点,研究中国传统数学与印度、阿拉伯数学的关系。为此应该培养不仅懂得英文、法文、德文、日文,而且能阅读阿拉伯语、梵文的数学史学者。
      
       同时,我们应该清醒地看到,尽管20世纪二三十年代以来,中国古代数学的辉煌成就已得到国内外学术界中有识之士的公认,但是,在国内外学术界中,欧洲中心论或其他什么中心论仍占主导地位。他们或者对中国古代的数学成就视而不见,或者不顾起码的编年史,硬说中国的成就来源于比中国晚几百年的印度或别的什么地方。即使是对中国古代数学十分推崇的学者,也有中国古代数学没有理论,没有逻辑,更没有演绎逻辑的偏见。可见,向学术界、教育界,尤其是大、中、小学的教师、学生,乃至全民族普及数学史(中国数学史应在其中占据恰当的位置)知识,是十分必要的。这是数学史工作者责无旁贷的使命。(本报记者 王洪波)
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  •     中国的古代数学是非常发达,但是由于计算过程的符号表达复杂,影响了推导就算,所以当发展到一定时候,自身的缺陷阻碍了该学科的发展。
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  •     不好啊,不适用,买亏了
 

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