高等代数

章节摘录

多项式是代数学中最基本的对象之一，它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会碰到。本章就来介绍一些有关多项式的基本知识。在中学代数中我们学过多项式，现在的讨论可以认为是中学所学知识的加深，并且推到更一般的情况。我们知道，数是数学的一个最基本的概念。我们的讨论就从这里开始。在历史上，数的概念经历了一个长期发展的过程，大体上看，是由自然数到整数、有理数，然后是实数，再到复数。这个过程反映人们对客观世界的认识的不断深入。中学数学的学习也基本上反映了这样一个发展过程。回想一下，中学数学中数的涵义在不同的阶段实际上是不同的，只是没有明确指出而已。按照所研究的问题，我们常常需要明确规定所考虑的数的范围。譬如说，在解决一个实际问题中列出了一个二次方程，这个方程有没有解就与未知量所代表的对象有关，也就是与未知量所允许的取值范围有关。又如，任意两个整数的商不一定是整数，这就是说，限制在整数的范围内，除法不是普遍可以做的，而在有理数范围内，只要除数不为零，除法总是可以做的。因此，在数的不同的范围内同一个问题的回答可能是不同的。我们经常会遇到的数的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数，它们显然具有一些不同的性质。当然，它们也有很多共同的性质，在代数中经常是将有共同性质的对象统一进行讨论。

书籍目录

第一章  多项式
1

1  数域
1

2  一元多项式
3

3  整除的概念
8

4  最大公因式
12

5  因式分解定理
18

6  重因式
22

7  多项式函数
24

8  复系数与实系数多项式的因式分解
26

9  有理系数多项式
29

10  多元多项式
34

11  对称多项式
39

习题
44

第二章  行列式
50

1  引言
50

2  排列
52

3  n级行列式
55

4  n级行列式的性质
61

5  行列式的计算
68

6  行列式按一行(列)展开
74

7  克拉默(Gramer)法则
83

8  拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则
89

习题
96

第三章  线性方程组
105

1  消元法
105

2  n维向量空间
113

3  线性相关性
117

4  矩阵的秩
127

5  线性方程组有解判别定理
136

6  线性方程组解的结构
140

7  二元高次方程组
148

习题
154

第四章  矩阵
162

1  矩阵概念的一些背景
162

2  矩阵的运算
164

3  矩阵乘积的行列式与秩
175

4  矩阵的逆
177

5  矩阵的分块
181

6  初等矩阵
187

7  分块乘法的初等变换及应用举例
193

习题
197

第五章  二次型
205

1  二次型及其矩阵表示
205

2  标准形
210

3  唯一性
220

4  正定二次型
226

习题
232

第六章  线性空间
237

1  集合·映射
237

2  线性空间的定义与简单性质
242

3  维数·基与坐标
246

4  基变换与坐标变换
250

5  线性子空间
253

6  子空间的交与和
257

7  子空间的直和
262

8  线性空间的同构
264

习题
267

第七章  线性变换
273

1  线性变换的定义
273

2  线性变换的运算
275

3  线性变换的矩阵
281

4  特征值与特征向量
290

5  对角矩阵
299

6  线性变换的值域与核
302

7  不变子空间
306

8  若尔当(Jordan)标准形介绍
311

9  最小多项式
317

习题
320

第八章  λ-矩阵
328

1  λ-矩阵
328

2  λ-矩阵在初等变换下的标准形
329

3  不变因子
335

4  矩阵相似的条件
339

5  初等因子
342

6  若尔当(Jordan)标准形的理论推导
346

7  矩阵的有理标准形
352

习题
355

第九章  欧几里得空间
359

1  定义与基本性质
359

2  标准正交基
365

3  同构
371

4  正交变换
372

5  子空间
375

6  实对称矩阵的标准形
377

7  向量到子空间的距离最小二乘法
386

8  酉空间介绍
390

习题
393

第十章  双线性函数与辛空间
399

1  线性函数
399

2  对偶空间
401

3  双线性函数
406

4  辛空间
415

习题
420

附录一  关于连加号“∑”
425

附录二  整数的可除性理论
428

编辑推荐

《高等代数(第3版)》：高等学校教材。

作者简介

从《高等代数(第3版)》的前身《高等代数讲义》(1964年由高等教育出版社出版)算起，它已问世近40年了。国内广大读者从它得益，也对它肯定。《高等代数(第3版)》又是从我们的师长段学复教授、聂灵沼教授、丁石孙教授继承下来的，我们感到它有着历史的纪念意义。因此在修订时力求保持它原来的框架和原来的风格。

这次修订有如下几点：

(1)文字上的推敲，特别是一些名词，如“映上”、“1-1”等均用现代流行的“满射”、“单射”来替代。

(2)删去广义逆及代数基本概念两部分内容。我们发现两者都不必作为基础课内容。特别是后者，现在数学专业专科也要开设抽象代数或近世代数课程，它就更不必要在基础课中占据课时了。

(3)增加了矩阵的有理标准形，辛空间两节和附录二“整数的可除性理论”。

增添了若尔当标准形的存在性的一个“几何”证明。

(4)用(*)注出了一些选学内容。根据学时和需要，教师可自行决定选择其中哪些内容。

图书封面

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