对称的历史

章节摘录

这个改变了数学进程的人就是艾瓦里斯特•加洛瓦（ÉvaristGalois）。他是数学史上最具传奇色彩和悲剧色彩的数学家之一，而他的一大批发现却差一点遗失一空。毫无疑问，即使加洛瓦没有出生，其他人应该也已经得出了同样的发现。很多数学家已经开始在这一领域展开了探索，只是与那些重大发现失之交臂。也许在另一个世界，某个具有加洛瓦的天赋和见解的人（或者阿贝尔能在结核病中多活几年）也可以完成同样的思想历程。但是在现实世界中，这个人只能是加洛瓦。加洛瓦1811年10月25日生于巴黎远郊的堡拉瑞恩(Bourg-La-Reine)，当时，堡拉瑞恩还只是一个小村庄。现如今，它已经成了隶属于塞纳区的近郊，就在N20高速公路和N60高速公路的交汇点上。N60高速公路现在被称为加洛瓦大道。1792年，堡拉瑞恩村曾被命名为布尔-厄加利特（Bourg-l'Egalite），这反映了当时的政局动荡：“皇后镇”已经变成了“平等镇”。1812年，这个村庄的名字又变成了堡拉瑞恩，而大革命的气息仍然挥之不去。艾瓦里斯特的父亲尼古拉斯-加布里埃尔•加洛瓦是一个共和主义者，也是村庄自由党（厄加利特解放阵线）的领导人，主要政治主张是废除君主政体。1814年，通过连蒙带骗的妥协，路易十八重掌大权，尼古拉斯-加布里埃尔变成了镇长，从政治信念上说，在这样一个政府中，他感到很不自在。艾瓦里斯特的母亲阿德莱德-玛丽生于德芒特（Démante）家族。她的父亲是一位法学学者，一个专业律师帮办，职责是就法条问题发表意见。阿德莱德-玛丽精通拉丁语，并把自己的古典学知识传授给儿子。艾瓦里斯特生命中最初的12年是在家里度过的，接受母亲的教育。本来，十岁时兰斯的一所学院准备让他入学，但是母亲觉得十岁离家太早了点。12岁时，他进入路易勒朗格学院（CollégedeLouis-le-Grand），一所预科学校。艾瓦里斯特到学校不久，学生们就开始拒绝在学校的礼拜堂唱颂歌，小加洛瓦亲眼看到了革命的前兆，学校立即开除了100名学生。多亏了数学课，他逃过了这次惩罚。入学后的头两年，他获得了第一个拉丁文的奖励，但他很快就厌倦了。后来，为了成绩，学校强迫他重复自己学过的课程，这进一步加深了他的厌倦，情况变得越来越糟。数学把加洛瓦从下坡路上拉了回来，这门学科的丰富内容足以笼络加洛瓦的兴趣。加洛瓦没有把时间花在其他数学问题上，而是直奔经典著作——拉格朗日的《几何基础》，这有点像现在物理学学生从一开始就去读爱因斯坦的著作。但是数学中有一种门槛效应，有一个智力极点。如果一个学生战胜了最初的几道难关，理解了这门学科的符号特性，掌握了理解数学思想的最佳方式，而不是机械地学习，他就会轻松地驶入快车道，奔向更复杂更抽象的问题，只有那些愚钝的学生才会被等腰三角形之类的几何问题难住。加洛瓦能不能理解拉格朗日言简意繁的著作一直是人们争论的问题，但不管怎么说，他没有被吓倒。他开始阅读拉格朗日和阿贝尔的专业论文，他们研究的领域很自然地变成了加洛瓦兴趣的中心，尤其是方程理论，方程问题可能是唯一真正吸引了加洛瓦的东西。数学大大占用了加洛瓦日常功课的时间。在学校，加洛瓦自由散漫，这一习惯他一直都没有改掉。他为难自己的老师，只在头脑里解决问题，而不是通过作业写出来。在今天，强迫写作业是老师折磨有天分的学生的法宝。我们可以试想一下，一个崭露头角的足球运动员每踢进一个球，教练就要求他按顺序写下自己踢进这个球所使用的技巧有多么痛苦。而事实上，根本就没有这样一串乱七八糟的东西，每个人了解游戏规则的人都知道，有空当就要把球踢进去。我们年轻的数学家完全能够做到。加洛瓦野心勃勃：他想到法国最有名的巴黎高科（ÉcolePolytechnique）继续学习，那里是法国数学的孵化器。但是他没有接受数学老师的建议，拒绝系统的学习方法，拒绝交作业，拒绝针对考试进行学习。最后，艾瓦里斯特参加了入学考试，可是由于准备不足和过分自信，他没有考上。20年后，一位颇有影响的法国数学家欧利•特尔奎姆（OrlyTerquem），在一份著名的期刊上解释了加洛瓦失败的原因：“有一位高级知识的候选人由于次级知识的问题被淘汰。因为他们不了解我，我是个不开化的人。”现代的评审者更注重沟通技巧，他会通过观察来判断一个高级知识的候选人是否符合要求。加洛瓦毫不妥协的个性对自己没有任何帮助。因此，加洛瓦只能继续待在路易勒朗格学院，在那儿，他偶尔还会获得人们的赏识。一个叫路易-保尔•理查德的老师发现了加洛瓦的天赋，而加洛瓦也开始跟着他学习高等数学的课程。保尔•理查德认为，以加洛瓦的天分，他应该免试进入巴黎高科，但是理查德也认为加洛瓦不会通过巴黎高科的入学考试。我们现在没有理查德曾向向巴黎高科阐明自己观点的证据，即使他这样做了，也没有人会注意。1829年，加洛瓦发表了自己的第一篇研究论文，是由一些片段组成的，分量十足却单调乏味。他未发表的作品却更具野心：他已经为方程理论作出了根本性贡献。他把自己得出的一些结果写下来，寄给了法兰西科学院，希望能在法兰西学院的期刊上发表。一位期刊方面的专家说，和现在一样，当时的所有投稿都会递给审查人，由他根据一篇论文的创新性、价值，和兴趣点进行评价。当时的审查人应该是柯西，他是当时法国的首席数学家。在加洛瓦所投论文内容所涉及的研究领域里，柯西是不二人选。不幸的是，柯西非常忙。传闻说是柯西弄丢了加洛瓦的手稿，有人说这是因为他嫉妒加洛瓦的才华。然而，事实却没有这么复杂。柯西给法兰西学院写过一封信，日期是1830年1月18日，信中说由于自己“在家中感到不适”，所以未能提呈关于“年轻的加洛瓦”的论文的报告，信中还顺便提到了自己的著作。这封信告诉了我们几件事。首先是柯西并没有扔掉加洛瓦的论文，而且一直保存了六个月。第二是柯西肯定读过了加洛瓦的论文，并且认为这篇论文非常重要，应该引起法兰西科学院的重视。但是在下次会议上他只提交了自己的论文。加洛瓦的手稿弄哪儿去了呢？法国数学家勒内•泰顿（RenéTaton）认为加洛瓦的论文深深震动了柯西。也可能是由于柯西太吃惊了，所以他没有给法兰西学院提交加洛瓦的论文，而是建议加洛瓦对自己的论文进行扩充，或建议他就自己的理论做进一步的研究，然后参评法兰西学院的数学大奖，这是一项非常高的荣誉。我们现在并没有关于柯西这些建议的资料证据，但是我们知道，1830年2月，加洛瓦确实向法兰西学院大奖投了稿。我们并不太清楚加这个文件的详细内容，但是也可以通过他的遗稿猜出个大概。如果加洛瓦那些重要的著作能够悉数保存下来，历史也许就不是我们现在看到这个样子了。可惜，这些手稿都遗失了。1831年，圣西门主义（一场新教社会学运动）的刊物《环球》给出了一个大致可信的解释。《环球》上讲了一场官司，控告加洛瓦公然威胁国王的人身安全。文章说：“这部论著……应该赢得大奖，因为它解决了拉格朗日未能解决的问题，柯西同意将大奖授予作者。但不知何故，这部论著丢失了，大奖也根本没有这位新人的份。”我们必须弄清这篇文章的事实依据问题。1830年9月，为了躲避革命中的反智倾向，柯西出逃国外，所以，这篇文章的内容不会出自柯西之口。相反，这些内容更像是加洛瓦自己说的。加洛瓦有一个好朋友叫奥古斯特•夏维利耶，是他邀加洛瓦加入了圣西门公社。夏维利耶很可能就是这篇文章的作者，加洛瓦可能也曾参与其中，这正是他生命中最后一段时间里发生的事。如果是这样，这个故事就一定是来自加洛瓦，可能是加洛瓦的杜撰，也可能是柯西真的夸奖过他的著作。让我们回到1829年。在数学研究的前沿，加洛瓦感到越来越沮丧，他渴望能获得数学界的认可，但一直未能如愿。随后，他的个人生活开始分崩离析。堡拉瑞恩的情况也非常糟糕。加洛瓦的父亲尼古拉斯卷入了一场麻烦的政治风波，触怒了村里的牧师。牧师用下流的手段散发关于尼古拉斯亲属的恶毒言论，还在上面伪造了尼古拉斯的签名。绝望的尼古拉斯窒息自杀了。这件事就发生在加洛瓦参加巴黎高科的入学考试的前几天。考试情况也很糟。据记载，加洛瓦曾往一个主考官的脸上扔过黑板擦。尽管这个黑板擦可能是布做的而不是木头做的，但仍引起了主考官的不悦。1899年，J.波特兰（J.Bertrand）讲了当时的详细情况。考官问了一个加洛瓦从未涉足过的问题，惹得加洛瓦大发脾气。无论怎样说，加洛瓦没能通过入学考试，只能被困在原地。他曾经非常自负地以为自己一定会通过，从未想过一旦通不过考试该怎么办，也没有去准备师范大学（Écolepréparatoire）的考试。这所学校如今已更名为巴黎高师，比巴黎高科的名头要响得多，但在当时，只能屈居第二。加洛瓦急急忙忙地开始复习，数学和物理都考得很出色，文学却考得乱七八糟，但到底还是通过了。1829年底，加洛瓦获得了科学和文学学位。我们前面提到，加洛瓦1830年向法兰西学院最高奖投了自己关于方程的论文。当时的秘书约瑟夫•傅里叶（JosephFouier）把论文带回家中，准备抽空浏览一遍。但是不幸又一次阻断了加洛瓦前进的道路：傅里叶不久就去世了，没来得及读那篇论文。更倒霉的是，这篇论文再也没有找到。但是这个奖项还有另外三个负责人：勒让德、拉克鲁瓦克斯(SylvestreFrancoisLacroix)和路易•潘索（LouisPoinsot）。弄丢论文的可能就是他们三个人中的一个。可想而知，这件事把加洛瓦气得暴跳如雷。他开始相信，这是那些庸碌之辈扼杀自己的天才的阴谋。他很快就找到了替罪羊，就是暴虐无道的波旁王朝。他立志要推翻波旁王朝。六年前，也就是1824年，国王查理十世继承了路易十八的王位，但是很不受欢迎。王朝的对头自由派在1827年大选中表现很不一般，1830年更是百尺竿头更进一步，成了多数派。查理十世冒着逊位的危险走了一步险棋，7月25日，他提议取消新闻自由。他完全不考虑人民的情绪，致使国家很快发生了叛乱，三天后，他作出了妥协，由奥尔良公爵路易•菲利普继承自己的王位。巴黎高科（加洛瓦一直想要就读的学校）的学生在这一事件中发挥了重要作用，他们在巴黎的大街上进行了示威游行。但是在这个命运攸关的时刻，积极的废帝主义者加洛瓦在干什么呢？他和自己师范大学的同学一起被关在学校里，校长吉尼奥（M.Guigniault）选择了自保。加洛瓦对自己被剥夺了参与历史进程的权利感到十分愤懑，他在《学校公报》（GazettedesÉcoles）撰文，猛烈抨击了校长吉尼奥：吉尼奥昨天在您的报纸上发表的文章在我看来极不合适。我原以为您一定很希望能揭穿这个人的嘴脸。以下就是事实，四十六名学生可以为此作证。7月28日早上，当若干名师范大学的学生想要加入斗争行列的时候，吉尼奥告诉他们，如若不听劝阻，他有权叫警察来维护学校秩序。这就是为什么7月28日那天来了那么多警察！同一天，吉尼奥还以他一贯的酸溜溜的口吻告诉我们：“有很多勇敢的人同时在与两方作斗争。如果你是个士兵，我不知道你会选择哪一方。你会为自由牺牲，还是为法令牺牲？”这就是这个人的真实嘴脸，昨天，他还在自己的脑袋上扣了个三角帽（共和派的标志）。这就是我们的自由！

前言

前言1832年5月13日。一片晨雾中，两个法国人相向而立，手枪响了，这是一个年轻的女人引起的决斗。一个男人在一声枪响后倒在了地上，他受了致命伤。两星期后，他死于腹膜炎，年仅二十一岁。他被葬在一个不起眼的墓地，一个普普通通的墓穴中。数学和科学史上最重要的理论之一差点同他一起死去。那位活下来的决斗者已不为人知；而死去的那位，就是艾瓦利斯特•加洛瓦（ÉvaristGlois），一个政治革命家，一个只写了六十页著作的数学迷。但是，加洛瓦留下了一个数学革命的传奇。他发明了描述数学结构中的对称的语言，并推导出其结论。今天，人们把这种语言叫做“群论”，它被人们应用于理论数学和应用数学中，并以此支配着自然世界的框架和模式。对称也是前沿物理学的主角，包括极其微小的量子论世界和极其广阔的相对论世界，它甚至给出了一条探寻“万有理论”（theoryofeverything）的途径、物理学两大主要分支的数学统一。而它只不过开始于一个简单的代数问题，就是如何根据一些数学线索求方程式中的“未知数”。对称不是数字也不是形状，而是一种特殊的变换（transformation），一种移动物体的方式。如果一个物体在经过变换之后看起来与先前相同，那这个变换就是对称。例如，一个正方形在转动九十度之后看起来与先前是相同的。对称理论被扩充之后，成了当今科学解释宇宙及其起源的基本理论。爱因斯坦的相对论的中心原理是，在一切的时空中，物理规律都应该是相同的。即，时空中的运动规律是对称的。量子物理学告诉我们，宇宙万物都是由细小的“基本”粒子构成的。这些粒子的运转受数学方程（自然规律）的支配，而这些规律也具有对称性。粒子以数学的方式变换成完全不同的粒子，这种变换也要遵从这个不变的物理规律。如果没有对对称的深入的数学认识，也就不会有当今前沿物理学那些新近发现的观念。这些认识发端于理论数学，随后便进入了物理学。极其有用的理论可能产生于纯粹抽象的沉思中，就像人们经常引用的著名物理学家尤金•维格纳所说的“数学对自然科学的不可理解的影响”。对于数学，我们经常是取多予少的。从巴比伦的书记员开始，一直到21世纪的物理学家，《为什么美即是真》向我们讲述了数学家们是如何围绕着对称理论摸爬滚打的；也讲述了那些看似无用的研究如何得出了重要公式，从而打开了观察宇宙的新窗口并革新了科学与数学。此外，在关于对称的叙述中，作者还穿插讲述了一些重要理论的文化影响和历史脉络是如何在偶然性的政治与科学变动中鲜明地凸显出来的。本书的前半部分看起来与对称理论毫无关系，也很少涉及自然界。这是因为，对称理论并不像人们想象的那样是通过几何学变成一个普遍理理论的。实际上，当今物理学与数学中奥妙又不可或缺的对称思想，是从代数中来的。因此本书的很大一部分内容都是讲对代数方程解法的研究的。这种追索看起来很学究，事实上却非常迷人，我们的很多主角有着不同寻常的人生。虽然数学家经常沉迷于抽象思考，但他们都是人。他们当中的一些人，生活确实被过多地逻辑化了，但我们会不止一次地看到，事实上我们这些英雄们，都太人性了。我们将看到他们的生与死、爱情与决斗、对优先发明权的激烈争夺、绯闻、醉态和疾病，其间，我们将看到他们的数学思想如何揭示并改变了我们的世界。本书从公元前10世纪开始，到加洛瓦在19世纪将其推向顶峰，追溯了人们一步步征服方程式的过程。这一过程终于在数学家遭遇“五次方”方程时被打断了，被未知的五次幂阻断了。是不是五次方程的某些根本特点让那些方法失效了？还是需要一种类似的、但更有效的方法才能得出其解决公式？是数学家们遇到了真正的障碍还是仅仅因为他们太笨了？弄懂广为人知的五次方程的解法是非常重要的。问题是，它们是否总能用代数方程式来表述？1821年，年轻的阿贝尔证明了五次方程无法用代数方法求解。他的证明神秘而迂曲，而且他只证明了普适解法的不可能性，但没有证明为什么。揭示了五次方程为何无法求解的人是加洛瓦，这种不可能性缘自方程的对称性。如果方程的对称性通过了加洛瓦检验——就是说，这意味着这个等式是以一种特殊的方式组合起来的，我暂时对这种组合方式不予阐释——这个方程就可以用代数公式求解。如果它们没有通过加洛瓦检验，就找不到相应的公式了。一般的五次方程都不能用代数公式求解，因为它们的对称是有问题的。这项伟大的发现引出了本书的第二个主题：“群”——数学上的“对称微积分”。加洛瓦把代数这一古老的数学传统改造成了研究对称的工具。在本书的这一部分中，“群”这种词还是让人莫名其妙的行话，这些词的词义在叙述中变得重要时，我会对其进行解释的。但我一般只会用一些简单的术语，这就足以弄明白那一大堆林林总总的条目了。如果你遇到了我没有立即论述的行话之类的东西，那它就只不过是个符号而已，其实际意义并不太重要；有时，这些意义会在你的阅读过程中以某种方式呈现出来。“群”是个关键概念，但其涵义也是到了本书的中间部分才出现的。本书还要讲到数学中一些神奇数字的独特意义。我没有借用物理学的内容，而借用了数学中的（希腊字母pi）之类的数字。比如光速，原则上说，它应该是不定的，但它在我们的宇宙中却偶然地成了186000千米/秒。然而，却总是稍稍大于3.14159，它的值是无法改变的。五次方程的无法求解告诉我们，5和一样特殊，它是使对称群集无法通过加洛瓦的检验的最小数字。另一个奇特的例子是1，2，4，8组成的数列。针对被称为四元数和八元数的复杂数字，数学家们提出了常规实数的一序列延伸集的概念，这些数字是分别由实数的两倍、四倍和八倍构成的。接下来呢？人们会很自然地想到16，而事实上，在这个数字系统已经没有其他合理的延伸集了。这就告诉我们，数字8是特殊的。这种特殊性不是表面意义上的，而是在数学的潜在结构层面上的。除了5和8之外，对其他一些数字的论述也使本书显得别具一格，这些数字中突出的有14，52，78，133和248。这些奇特的数字是“例外李群”（exceptionalLiegroup）的维数，它们的影响遍及整个数学和很大一部分的数学物理学。这些数字在数学的舞台上扮演着关键角色，而一些看起来与它们相差无几的数字，却只不过是些小角色而已。在19世纪末现代抽象代数出现时，数学家们仅仅发现了这些数字非常特殊。这些数字自身并不重要，重要的是它们在代数基本法则中发挥的作用。与这些数字中的每一个都有一定关联的，是性质独特而鲜明的“李群”（Liegroup）。这些群在现代物理学中起着基础性作用，并且与时间、空间和物质的深层结构有着明显的联系。这就引出了我们的最后一个主题：基础物理学。物理学家们一直为空间具有三个维度而时间却只有一个维度感到困惑，为什么我们生活于四维时空呢？超弦理论是物理学家们试图将整个物理学统一在一个一致的规律下的最新尝试，物理学家们想知道时空结构是否存在着某种“隐匿”（hidden）维度。这种想法看起来很荒唐，但却有着很多的历史先例。多维理论是超弦理论中最容易为人们接受的一面。超弦理论更具争议性的一面是，它认为仅靠相对论和量子论这两大现代物理学的支柱就可以建构一种新的时空理论。统一这两种相互矛盾的理论将会是一个数学课题，而不是探求新的革命性的实验的过程。数学美感被看成是物理学真理的首要条件，这可能是个危险的假设。我们不能忽视物理领域，因为任何最终在当今人类的深思熟虑后诞生的理论，无论其数学渊源有多深，都离不开对物理实验和观察的参照。尽管如此，我们还是有很好的理由走上数学的道路。其一，在令人信服的成熟理论建构起来以前，没人知道该进行什么样的试验；另外，数学中的对称理论在相对论和量子论中都扮演着至关重要的角色，而后两者又缺乏共同点，所以我们必须重视我们能够发现的、哪怕是一点点共同点。空间、时间和物质的可能结构是由对称决定的，而且，一些最重要的可能性似乎也与数学中的独特结构相关。也许，时空结构的性质中，只有为数不多的几种得到了数学的认定。这样，进行数学研究也就顺理成章了。为什么宇宙看起来这么具有数学性呢？人们提出了很多的答案，但我发现每种答案都不太令人信服。数学思想与物理世界的对称、美感与最重要的数学形式中的对称，是一个深刻然而也许无法猜透的秘密。没人能够说清为什么美即是真，真即是美，我们能做的，不过是对这种关系的无限复杂性的沉思而已。

内容概要

伊恩•斯图尔特，华威大学数学教授，曾写了140多篇关于力学对称、模式生成、混沌以及数学生物学等主题的研究文章。他还有大量的大众读物，包括《致青年数学家的信》（Letters to a Young Mathematician）、《上帝掷骰子吗》（Does God play Dice?）等畅销作品。2001年，斯图尔特被选为英国皇家学会会员。

书籍目录

前言

1 巴比伦的书记员

2 家喻户晓的人

3 波斯诗人

4 嗜赌的学者

5 狡狐

6 受挫的博士和多病的天才

7 背运的革命

8 平庸的工程师和卓越的教授

9 酒醉的破坏者

10 冒牌的士兵和虚弱的书虫

11 专利局职员

12 量子论五重奏

13 五维的人

14 政治记者

15 胡思乱想的数学家

16 真与美的追寻者

参考读物

编辑推荐

《对称的历史》编辑推荐：1.充满故事性，文字生动；2.让大众对数学和物理产生兴趣的入门书。3.深入浅出，揭示宇宙之谜。

作者简介

《对称的历史》中，世界著名的数学家伊恩•斯图尔特讲述了对称理论如何变成现代科学中最重要的概念的历史，讲述这些以及一些偶然出现的天才的故事。讲述了对称理论从巴比伦到21世纪的历史。

这是一个很特别的历史，投身于对称研究的数学家反映了对称神奇魅力和无穷奥妙。我们会发现文艺复兴时期的骗子、学者和赌徒卡达诺怎样窃取了三次方程的解法。我们会发现加洛瓦这位革命青年以通过发现群理论，从而以一己之力复兴了数学，而他在21岁时死于一场为一个女人进行的决斗，之前没发表过任何作品。也许最让人揪心的是汉密尔顿，他把那些意义重大的发现刻在他与精神错乱的酒鬼的比赛用的桥牌上。

《对称的历史》用小说的笔调讲述科学史，用故事演绎数学的发展，深入浅出，而其对一些天才数学家故事的讲述有扣人心弦的力量。同时作者从数学出发，旁涉审美的基本概念，让人文科学与自然科学在同一舞台上精彩演出，是一本很有特色的科学史著作。

图书封面

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