《2013中公版学科专业知识小学数学-教师招聘考试专用教材》书评

内容摘要

一、整数（一）整数及其基本概念1.十进制计数法:一（个）、十、百、千、万……都叫做计数单位。其中“一”是计数的基本单位。10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是十。这种计数方法叫做十进制计数法。2.整数的读法：从高位一级一级读，读出级名（亿、万），每级末尾0都不读。其他数位一个或连续几个0都只读一个“零”。3.整数的写法：从高位一级一级写，哪一位一个单位也没有就写0。4.整数大小的比较：位数多的数较大，数位相同、最高位上数大的就大，最高位相同时看第二位较大就大，以此类推。（二）近似数1.四舍五入法：在取小数近似数的时候，如果尾数的最高位数字是4或者比4小，就把尾数去掉。如果尾数的最高位数是5或者比5大，就把尾数舍弃并且在它的前一位进“1”，这种取近似数的方法叫做四舍五入法。2.有效数字：具体地说，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。所谓能够测量到的是包括最后一位估计得不确定的数字。我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。把测量结果中能够反映被测量的大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字。（三）整数的四则运算四则运算法则及各级运算关系：同级运算：按照顺序，从左向右，依次计算。异级运算：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号内的。■【例题1】若实数a、b互为相反数，则下列等式中恒成立的是（ ）。A.a-b=0 B.a+b=0C.ab=1 D.ab=-1【答案】B。解析：∵a=-b，∴a+b=0。【例题2】太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为3.8×1023千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，到达地球的辐射能功率为多少千瓦？（ ）（用科学记数法表示，保留两个有效数字）A.1.9×1014 B.2.0×1014 C.7.6×1015 D.1.9×1015【答案】A。解析：■=1.9×1014。■二、小数把整数1平均分成10份、100份、1 000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……这些分数可以用小数表示。如■记作0.1，■记作0.07。三、分数和百分数（一）分数和百分数的意义1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示取了多少份的数，叫做分数的分子；其中的一份，叫做分数单位。2.百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数的形式，而用特定的“%”来表示。3.百分数表示两个数量之间的倍比关系，它的后面不能写计量单位。4.成数：几成就是十分之几。（二）分数的种类按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数。（三）分数和除法的关系及分数的基本性质1.除法是一种运算，有运算符号；分数是一种数。因此，一般应叙述为被除数相当于分子，而不能说成被除数就是分子。2.由于分数和除法有密切的关系，根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。3.分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质，它是约分和通分的依据。（四）约分和通分1.分子、分母是互为质数的分数，叫做最简分数。2.把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。3.约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。4.把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。5.通分的方法：先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。（五）倒数1.乘积是1的两个数互为倒数。2.求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。3.1的倒数是1，0没有倒数。（六）分数的大小比较1.分母相同的分数，分子大的那个分数就大。2.分子相同的分数，分母小的那个分数就大。3.分母和分子都不同的分数，通常是先通分，转化成同分母的分数，再比较大小。4.如果被比较的分数是带分数，先要比较它们的整数部分，整数部分大的那个带分数就大；如果整数部分相同，再比较它们的分数部分，分数部分大的那个带分数就大。（七）百分数与折数、成数的互化例如：三折就是30％，七五折就是75％，成数就是十分之几，如一成就是10%，则六成五就是65%。（八）纳税和利息税率：应纳税额与各种收入的比率。利率：利息与本金的百分率。由银行规定按年或按月计算。利息的计算公式：利息=本金×利率×时间（九）百分数与分数的区别1.意义不同百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。如：可以说1米是5米的20％，不可以说“一段绳子长为20％米”。因此，百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”。分数不仅可以表示两数之间的倍数关系，如：甲数是3，乙数是4，甲数是乙数的■；还可以表示一定的数量，如：■米等。2.应用范围不同百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。3.书写形式不同百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“％”来表示。如：百分之四十五，写作：45％；百分数的分母固定为100，因此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。【例题3】２４÷７的商的小数点后面第２００２位数字是几？【解析】２４÷７＝３．４２８ ５７１ ４２８ ５７１ ４２８ ５７１…＝３．■■■ ■■■，商是一个纯循环小数，循环节有６个数字，即六个一循环，２ ００２÷６＝３３３……４，说明循环节一共循环了３３３次还多４个数字，也就是循环第３３４次时的第４个数字，即２４÷７商的小数点后面第２ ００２位数字是５。【例题4】在下图的方格中填上适当的数，直线上面填假分数，下面填带分数。■【解析】从左往右依次是：■、１■、２■、■。【例题5】某厂上半月完成计划的７５％，下半月完成计划的５０％，这个月增产（ ）。Ａ.２５％ Ｂ.４５％ Ｃ.３０％ Ｄ.２０％【解析】这个月总共完成了计划的７５％＋５０％＝１２５％，比单位“1”多１２５％－１＝２５％，因此这个月比计划增产２５％，故选Ａ。【例题6】一列火车从甲地开往乙地，如果将车速提高２０％，可以比原计划提前１小时到达；如果先以原速度行驶２４０千米后，再将速度提高２５％，则可提前４０分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及火车原来的速度。【解析】速度比为１∶（１＋２０％）＝５∶６，时间比为６∶５。由于车速提高２０％，可比原计划提前１小时，而６比５正好多１份，因此１份是１小时，于是原速行完全程需６小时。速度比为１∶（１＋２５％）＝４∶５，时间比为５∶４，因此，５∶４＝６∶ｘ，ｘ＝４．８，６－４．８＝１．２小时＝７２分钟，甲、乙两地间距离为２４０÷■＝５４０千米，火车原来速度为５４０÷６＝９０千米／小时。故甲、乙两地之间的距离为５４０千米，火车原来的速度为９０千米／小时。四、数的整除（一）整除的意义整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）。（二）约数和倍数1.如果数a能被数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的约数。2.一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。3.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，它没有最大的倍数。（三）奇数和偶数1.能被2整除的数叫偶数。例如：0、2、4、6、8、10…（注：0也是偶数）2.不能被2整除的数叫奇数。例如：1、3、5、7、9…（四）整除的特征1.能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8。2.能被5整除的数的特征：个位上是0或5。3.能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3整除。（五）质数和合数1.一个数只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（素数）。2.一个数除了1和它本身外，还有别的约数，这个数叫做合数。3. 1既不是质数，也不是合数。４．自然数按约数的个数可分为：质数、合数（０、１除外）。（六）分解质因数1.每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。例如：18=3×3×2，3和2叫做18的质因数。2.把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数。3.几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。公因数只有1的两个数，叫做互质数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数。4.特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。（1）如果几个数中，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的约数，则较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公约数。（2）如果几个数两两互质，则它们的最大公约数是1，最小公倍数是这几个数连乘的积。（七）奇数和偶数的运算性质1.相邻两个自然数之和是奇数，之积是偶数。2.奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数；奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数；奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。■【例题7】下面的数中，哪些是合数，那些是质数？1、13、24、29、41、57、63、79、87【答案】合数有：24、57、63、87；质数有：13、29、41、79。【例题8】写出两个都是质数的连续自然数。【答案】2和3。【例题9】判断：（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（ ）（2）偶数都是合数，奇数都是质数。（ ）（3）7的倍数都是合数。（ ）（4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（ ）（5）只有两个约数的数，一定是质数。（ ）【答案】（1）错；（2）错；（3）错；（4）对；（5）对。【例题10】已知质数p，q满足关系式3p+5q=31，则满足条件的p，q共有（ ）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对【答案】B。解析：满足条件的p和q有p=7，q=2和p=2，q=5。【例题11】若11个连续奇数的和是1 991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是（ ）A.185 B.183 C.181 D.179【答案】C。【例题12】将1到100这100个自然数任意排成一行，其中所有相邻两数的和中至少有 个偶数，至多有 个偶数。【答案】0，98。【例题13】设有n盏亮着的拉线开关灯，规定每次必须拉动（n-1）个拉线开关，试问：能否把所有的灯都关闭？证明你的结论或给出一种关灯的办法。【解析】开始时灯亮，故每个拉线开关被拉奇数次之后变为灭。（1）当n为奇数时，则所有拉线被拉的次数之和为奇数，而此时每次拉线的次数n-1为偶数，故不能把所有的灯都关闭；（2）当n为偶数时，每次拉动n-1个开关，是可以把所有灯都关闭的。设这n个开关的编号依次是1，2，…，n，从第一次开始，满足第n次拉动除编号为n以外余下n-1个开关的拉线，则经过n次以后，每个开关的拉线都被拉动了n-1次，n-1是一个奇数，故此时所有灯都为灭。■五、整数、小数、分数四则混合运算（一）四则运算的法则1.加法（1）整数和小数：相同数位对齐，从低位加起，满十进一。（2）同分母分数：分母不变，分子相加；异分母分数：先通分，再相加。2.减法（1）整数和小数：相同数位对齐，从低位减起，哪一位不够减，退一当十再减。（2）同分母分数：分母不变，分子相减；异分母分数：先通分，再相减。3.乘法（1）整数和小数：用乘数每一位上的数去乘被乘数，用哪一位上的数去乘，得数的末位就和哪一位对齐，最后把积相加，因数是小数的，积的小数位数与两位因数的小数位数相同。（2）分数：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。能约分的先约分，结果要化简。4.除法（1）整数和小数：除数有几位，先看被除数的前几位，（不够就多看一位），除到被除数的哪一位，商就写到哪一位上。除数是小数时，先化成整数再除，商中的小数点与被除数的小数点对齐。（2）甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。（二）运算定律加法交换律a＋b=b＋a结合律（a＋b）＋c=a＋（b＋c）减法性质a－b－c=a－（b＋c） a－（b－c）=a－b＋c乘法交换律a×b=b×a结合律（a×b）×c=a×（b×c）分配律（a＋b）×c=a×c＋b×c除法性质a÷（b×c）=a÷b÷c a÷（b÷c）=a÷b×c （a＋b）÷c=a÷c＋b÷c （a－b）÷c=a÷c－b÷c商不变性质m≠0 a÷b=（a×m）÷（b×m）=（a÷m）÷（b÷m）积的变化规律：在乘法中，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。推广：一个因数扩大A倍，另一个因数扩大B倍，积扩大AB倍。一个因数缩小A倍，另一个因数缩小B倍，积缩小AB倍。商不变规律：在除法中，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。推广：被除数扩大（或缩小）A倍，除数不变，商也扩大（或缩小）A倍。被除数不变，除数扩大（或缩小）A倍，商反而缩小（或扩大）A倍。利用积的变化规律和商不变规律性质可以使一些计算简便。但在有余数的除法中要注意余数。如：“8 500÷200=”可以把被除数、除数同时缩小100倍来除，即“85÷2=”，商不变，但此时的余数1是被缩小100倍后的，所以还原成原来的余数应该是100。六、比和比例（一）比两个数相除，叫做两个数的比，比的前项和后项同时乘上或者除以一个相同的自然数（0除外），比值不变。（二）比例两种相关的量，一种量变化，另一种量也随着变化。表示两个比相等的式子叫做比例，例如：3∶6=9∶18。比例是一个等式。1.比例的一些概念比例有四个项，分别是两个内项和两个外项。例如在7∶9=21∶27中，其中7与27叫做比例的外项，9与21叫做比例的内项。（1）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。（2）求比例中的未知项，叫做解比例。（3）解比例的方法：根据比例的基本性质解比例，先把比例转化成外项乘积与内项乘积相等的形式（即方程），再通过解方程来求出未知项的值。2.正比例与反比例（1）正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为y∶x=k。（2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，他们的关系就叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例关系可以用式子表示xy=k。3.比例尺（1）图上距离∶实际距离=比例尺或图上距离÷实际距离=比例尺。（2）比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的倍比关系，一次不能带有计量单位。【例题14】一个三角形的内角度数比是１∶２∶３，求各个内角度数，以及这是什么三角形？【答案】内角度数分别是３０°、６０°、９０°，是个直角三角形。【解析】三角形的内角和（三个角的度数加起来）是１８０°，则三角分别为■＝３０°，■＝６０°，■＝９０°。故为直角三角形。【例题15】甲乙两地相距１５０千米，画在一幅地图上是３厘米，这幅地图的比例尺是（ ）；从这幅地图上量得乙丙两地的图上距离是５厘米，乙丙两地间的实际距离是（ ）千米。【答案】１∶５ ０００ ０００，２５０。【解析】比例尺应为３ｃｍ∶１５０ｋｍ＝１∶５ ０００ ０００，注意单位换算。由比例性质可知乙丙两地距离为250千米。■一、量的种类长度、面积、体积（容积）、质量、时间。二、常用单位1.常用的长度单位有千米、米、分米、厘米和毫米。除千米外，相邻单位间的进率是（10）。2.常用面积单位有平方米、平方分米和平方厘米。相邻单位间的进率是（100）。3.常用地积单位有平方千米、公顷、公亩和平方米，相邻两个单位之间的进率是（100）。4.常用体积单位有立方米、立方分米和立方厘米。相邻单位间的进率是（1 000）。5.计量液体时常用单位有升和毫升。相邻单位间的进率是（1 000）。6.常用质量单位有吨、千克和克。相邻单位间的进率是（1 000）。7.常用的时间单位有世纪、年、月、日、时、分、秒。8.常用货币单位元、角和分。相邻单位间的进率是（10）。三、单位表1.长度单位2.面积单位表中的平方米、平方千米和公顷通常又称地积单位，适合在计算土地面积时做单位。3.体积单位相邻长度单位之间的进率是10，相邻面积单位间的进率是多少？相邻体积单位之间的进率是多少？它们之间有什么联系呢？四、单位间的换算（一）单名数与单名数之间的换算400克＝（0.4）千克400÷1000＝0.46.003升＝（6003）毫升1000×6.003＝6003（二）单名数与复名数之间的换算1小时15分＝（1.25）小时＝（75）分钟15÷60＝0.25 60×1＋15＝7521400毫升＝（21）升（400）毫升21400÷1000＝21…400（三）时间3小时＝（180）分（60×3＝180）2.5小时＝（150）分（60×2.5＝150）■小时＝（45）分（60×■＝45）五、常用计算公式表（１）长方形面积＝长×宽，计算公式S＝ａｂ（２）正方形面积＝边长×边长，计算公式S＝ａ×ａ（３）长方形周长：（长＋宽）×２，计算公式C＝（ａ＋ｂ）×２（４）正方形周长＝边长×４，计算公式C＝４ａ（５）平形四边形面积＝底×高，计算公式S＝ａｈ。（６）三角形面积＝底×高÷２，计算公式S＝ａ×ｈ÷２（７）梯形面积＝（上底＋下底）×高÷２，计算公式S＝（ａ＋ｂ）×ｈ÷２（８）长方体体积＝长×宽×高，计算公式V＝ａｂｈ（９）圆的面积＝圆周率×半径平方，计算公式S＝πｒ２（１０）正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算公式V＝ａ３（１１）长方体和正方体的体积都可以写成底面积×高，计算公式V＝Sｈ（１２）圆柱的体积＝底面积×高，计算公式V＝Sｈ■一、代数式代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。如：ａｘ＋２ｂ。在实数范围内，代数式可分为有理式和无理式。有理式包括整式（除数中没有字母的有理式）和分式（除数中有字母且除数不为０的有理式）。这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算。（一）整式１．单项式没有加减运算的整式叫做单项式。单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式（或字母因数）的数字系数，简称系数。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。２．多项式几个单项式的代数和叫做多项式；多项式中每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。（二）分式分式的基本概念：形如■，A、Ｂ是整式，Ｂ中含有未知数且Ｂ不等于０的整式叫做分式。其中A叫做分式的分子，Ｂ叫做分式的分母。判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是■的形式，关键要满足：１．分式的分母中必须含有未知数。２．分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。（三）数式的运算合并同类项：把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。去括号法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。添括号法则：添括号后，括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“－”号，括到括号里面的各项都改变符号。二、简易方程（一）等式与方程表示相等关系的式子叫等式。含有未知数的等式叫方程。判断一个式子是不是方程应具备两个条件：一是含有未知数；二是等式。所以，方程一定是等式，但等式不一定是方程。（二）方程的解和解方程使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。求方程的解的过程叫解方程。在列方程解文字题时，如果题中要求的未知数已经用字母表示，解答时就不需要写设，否则首先要将所求的未知数设为ｘ。（三）解方程的方法１．直接运用四则运算中各部分之间的关系去解加数＋加数＝和；一个加数＝和－另一个加数；被减数－减数＝差；减数＝被减数－差；被减数＝差＋减数；被乘数×乘数＝积；一个因数＝积÷另一个因数；被除数÷除数＝商；除数＝被除数÷商；被除数＝除数×商。２．先把含有未知数ｘ的项看作一个数，然后再解如：３ｘ＋２０＝４１。先把３ｘ看作一个数，然后再解。３．按四则运算顺序先计算，使方程变形，然后再解如：２．５×４－ｘ＝４．２。要先求出２．５×４的积，使方程变形为１０－ｘ＝４．２，然后再解。４．利用运算定律或性质，使方程变形，然后再解如：２．２ｘ＋７．８ｘ＝２０。先利用运算定律或性质使方程变形为（２．２＋７．８）ｘ＝２０，然后计算括号里面使方程变形为１０ｘ＝２０，最后再解。5．其他方程的解法（１）一元二次方程的解法①配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：ｘ２＋２ｘ－３＝０。解：把常数项移项得：ｘ２＋２ｘ＝３，等式两边同时加１（构成完全平方式）得：ｘ２＋２ｘ＋１＝４，因式分解得：（ｘ＋１）２＝４，解得：ｘ1＝－３，ｘ２＝１，用配方法解一元二次方程小口诀：二次系数化为一；常数要往右边移；一次系数一半方；两边加上最相当。②公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过判别式Δ＝b2-4ac来判断一元二次方程有几个根，当Δ＝b2-4ac＜０时，ｘ无实数根；当Δ＝b2-4ac＝０时，ｘ有两个相同的实数根，即x1＝x2；当Δ＝b2-4ac＞０时，ｘ有两个不相同的实数根。当判断完成后，若方程有根可属于后两种情况，可根据公式：ｘ＝■来求得方程的根。③因式分解法（可解部分一元二次方程）因式分解法又分“提公因式法”和“十字相乘法”。如：解方程：ｘ２＋２ｘ＋１＝０。解：利用完全平方公式因式分解得：（ｘ＋１）２＝０，解得ｘ１＝ｘ２＝－１。（２）二元一次方程组的解法在解二元一次方程组的时候通常使用消元法，常用两种消元法：①代入消元法■解：由（１）得　　 ｘ＝５－ｙ （３）　　把（３）代入（２），得 ６（５－ｙ）＋１３ｙ＝８９，即ｙ＝■。把ｙ＝■代入（３），得ｘ＝５－■，即 ｘ＝－■。故ｘ＝－■，ｙ＝■为方程组的解。②加减消元法■解：由（１）＋（２）得：２ｘ＝１４，即ｘ＝７，把ｘ＝７代入（１），得７＋ｙ＝９ 解得ｙ＝２，故ｘ＝７，ｙ＝２为方程组的解。（３）可化为一元一次的分式方程解分式方程的一般步骤：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程。②解这个整式方程。③验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是0，若结果不是０，说明此根是原方程的根；若结果是０，说明此根是原方程的增根，必须舍去。还应当注意：ａ．去分母时，先确定最简公分母；若分母是多项式，要进行因式分解；ｂ．去分母时，不要漏乘不含分母的项；ｃ．最后不要忘记验根。■【例题1】已知ｘ１，ｘ２为方程ｘ２＋３ｘ＋１＝０的两实根，则ｘ１３＋８ｘ２＋２０＝ 。【答案】－１。解析： ∵ｘ１为方程ｘ２＋３ｘ＋１＝０的根，∴ ｘ１２＋３ｘ１＋１＝０∴ ｘ１２＝－３ｘ１－１，由根与系数的关系可知ｘ１＋ｘ２＝－３∴ ｘ１３＋８ｘ２＋２０＝（－３ｘ１－１）ｘ１＋８ｘ２＋２０＝－３ｘ１２－ｘ１＋８ｘ２＋２０＝－３（－３ｘ１－１）－ｘ１＋８ｘ２＋２０＝８ｘ１＋８ｘ２＋２３＝－１【例题2】当ｍ满足 时，关于ｘ的方程ｘ２－４ｘ＋ｍ－■＝０有两个不相等的实数根。【答案】ｍ＜■。解析：由Δ＝（－４）２－４（ｍ－■）＞０得ｍ＜■。【例题3】关于一元二次方程（ｍ－２）ｘ２＋ｘ＋ｍ２－４＝０的一个根为０，则ｍ的值是（ ）A．±２ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．４【答案】Ｂ。解析：把０代入一元二次方程得ｍ２－４＝０，解得ｍ＝±２因为ｍ－２≠０，所以ｍ＝－２，故选Ｂ。■■一、数感在数学教学中发展学生的数感主要指使学生具有应用数字表示具体的数据和数量关系的能力；能够判定不同的算术运算，有能力进行计算，并具有选择适当方法（心算、笔算、使用计算器）实施计算的经验；能根据数据进行推论，并对数据和推论的精确性和可靠性进行检验，等等。培养学生的数感的目的就在于使学生学会数学地思考，学会用数学的方法理解和解释现实问题。数感的培养有利于学生提出问题和解决问题能力的提高。学生在遇到问题时，自觉主动地与一定的数学知识和技能建立起联系，这样才有可能建构与具体事物相联系的数学模型。具备一定的数感是完成这类任务的重要条件。如：怎样为参加学校运动会的全体运动员编号？这是一个实际问题，没有固定的解法，你可以用不同的方式编，而不同的编排方案可能在实用性和便捷性上是不同的。如：从号码上就可以分辨出年级和班级，区分出男生和女生，或很快的知道一名队员是参加哪类项目。数概念本身是抽象的，数概念的建立不是一次完成的，学生理解和掌握数的概念要经历一个过程。让学生在认识数的过程中，更多地接触和经历有关的情境和实例，在现实的背景下感受和体验会使学生更具体更深刻地把握数的概念，建立数感。在认识数的过程中，让学生说一说自己身边的数，生活中用到的数，如何用数表示周围的事物等，会让学生感觉到数就在自己身边，运用数可以简单明了地表示许多现象。估计一页书的字数，一本书有多少页，一把黄豆有多少粒等，这些对具体数量的感知与体验，是学生建立数感的基础，这对学生理解数的意义会有很大的帮助。无论在哪个学段，都应鼓励学生用自己独特的方式表示具体的情境中的数量关系和变化规律，这是发展学生符号感的决定性因素。引进字母表示，是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的重要一步。尽可能从实际问题中引入，使学生感受到字母表示的意义。第一，用字母表示运算法则、运算定律以及计算公式。算法的一般化，深化和发展了对数的认识。第二，用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系。例如，匀速运动中的速度ｖ、时间ｔ和路程ｓ的关系是ｓ＝ｖｔ。第三，用字母表示数，便于从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并确切地表示出来，从而有利于进一步用数学知识去解决问题。例如，我们用字母表示实际问题中的未知量，利用问题中的相等关系列出方程。字母和表达式在不同场合有不同的意义。如：５＝２ｘ＋１表示ｘ所满足的一个条件，事实上，ｘ这里只占一个特殊数的位置，可以利用解方程找到它的值；ｙ＝２ｘ表示变量之间的关系，ｘ是自变量，可以取定义域内任何数，ｙ是因变量，ｙ随ｘ的变换而变化；（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2表示一个一般化的算法，表示一个恒等式；如果ａ和ｂ分别表示矩形的长和宽，Ｓ表示矩形的面积，那么Ｓ＝ａｂ表示计算矩形面积公式，同时也表示矩形的面积随长和宽的变化而变化。二、如何培养学生的符号感要尽可能在实际问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式意义，在解决实际问题中发展学生的符号感。必须要对符号运算进行训练，要适当地、分阶段地进行一定数量的符号运算。但是并不主张进行过繁的形式运算训练。学生的符号感的发展不是一朝一夕就可以完成的，而是应该贯穿于数学学习的全过程，伴随着学生数学思维的提高逐步发展。■１．下列各组数中，相等的是（ ）Ａ．（－１）３和１ Ｂ．（－１）2和－１ Ｃ．■和－１ Ｄ．-（－１）和-1２．设ａ，ｂ为两实数，则下列命题中是假命题的是（ ）A．若ａ＋ｂ＝０，则a=b Ｂ．若a+b=0，则ａ＝ｂ＝０Ｃ．若ａ2＋ｂ2＝０，则ａ＝ｂ＝０ Ｄ．若a+b=0，则ａ＝ｂ＝０３．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）Ａ．■ Ｂ．３ Ｃ．６ Ｄ．９４．计算■-1-（2004+■）0+（-2）2×■+■５．已知■=■，求■÷■-x-2的值６．已知α+β=-5，αβ=2，求■+■的值。７．已知x=1是关于x的一元一次方程ax-1=2（x-b）的解，y=1是关于y的一元一次方程b（y-3）=2（1-a）的解。在y=ax2+bx-3中，求当x=-3时y值。８．试说明：只用２×２及３×３的两种瓷砖不能恰好铺盖住２３×２３的正方形地面。■一、单项选择题1.【答案】Ｄ。２．【答案】Ｄ。Ｄ中比如a=3，b=-3。３．【答案】Ｂ。解析：解方程知两条直角边分别是2+■，2-■再根据勾股定理知斜边为３。４．【解析】原式＝3-1+4×■+■＝2+4×■+■＝2+1+■+1＝■+4归纳：（１）注意负指数的意义：（a）-p=■p或（a）-p=■其中a≠0，Ｐ是正整数，在本题中■-1=■=3（２）任何非零实数的０次方等于１，在本题中，2004+■≠0，故（2004+■）0=1５．【解析】化简原式，有■÷■-x-2＝■÷■-（x+2）=■÷■-■＝■÷■＝■•■＝-■把■看成一个整体，求出■的值即可带入上式求值，由■=■得：■=■+■+1∴■=1-■=■+■+1∴■=-（■+■）∴原式＝-■=-■•■＝-■•-（■+■）=■６．【解法1】（１）∵α+β=-5，αβ=2∴α＜0，β＜0，■＞0，■＞0∴■+■＞0∴■+■=■＝■＝■＝■【解法2】∵α＜0，β＜0∴原式＝■+■＝-■•■＝-■•■＝■７．【解析】将x=1，y=1分别代入方程得ａ－１＝２（１－ｂ）ｂ（１－３）＝２（１－ａ），得ａ＝■ｂ＝■所以原式=■x2+■x-3，当x=-3时代入求得■x2+■x-3=10。８．【答案】将２３×２３的正方形地面中第１，４，７，１０，１３，１６，１９，２２列中的小方格都涂成黑色剩下的方格涂成白色，于是白色的小方格总数为１５×２３是一个奇数，又因每块２×２砖总能盖住二黑格和二白格或四白格。每块３×３的砖总能盖住三黑格和六白格，故无论多少２×２及３×３砖盖住的白格数总是一个偶数，不可能盖住１５×２３个白格，所以只用２×２及３×３砖不能盖住２３×２３的地面。■■１．长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆的特征；求周长、面积、体积、容积等问题的方法。２．三角形和平行四边形的特性，三角形的分类；直线、射线、线段、角、距离、垂线、平行线、垂直、平行、相交等概念；求出相关角的度数。３．轴对称与中心对称。■■一、点、线、面的基本概念１．直线：直线是几何中的基本概念，比如日常生活中的绳子、线、树等给我们一种直的感觉，从而抽象为一个数学模型，它没有尽头，可以向两端无限延伸。２．线段：平面中两点间的连线叫线段。３．射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线或半直线。４．角：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角相等或互补。５．距离：两点间连线的长度叫做距离，在高等数学中距离是定义在度量空间中的一种函数。例如：在日常生活中，最常见的距离就是欧几里德空间中的距离，是２阶范数；在图论中，距离是两个顶点之间最短路径经过的边的数目；在坐标几何中，距离是１阶范数。６．垂直：两条直线、两个平面相交，或一条直线与一个平面相交，如果交角成直角，叫做互相垂直。７．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。８．垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫垂足。９．相交：如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交。该公共点就叫做这两条直线的交点，两条直线在同一平面内不平行也不重合，那么他们的关系就是相交。　１０．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，平行线具有传递性。１１．平面：即在相交的两直线上各取一动点，并用直线连接起来，所有这些直线构成一平面。二、直线的基本性质（一）垂直的性质１．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。２．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。（二）平行线的性质１．两直线平行，同位角相等。２．两直线平行，同旁内角互补。３．两直线平行，内错角相等。　４．其他性质：（１）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。（２）平行公理的推论（平行的传递性）：平行于同一直线的两直线平行。（３）平行线间的距离，处处相等。（４）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（三）平行线的判定１．同位角相等，两直线平行。２．内错角相等，两直线平行。３．同旁内角互补，两直线平行。■【例题１】经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ）A．一条或三条 Ｂ．三条 Ｃ．两条 Ｄ．一条【答案】A。解析：因为三点都在同一直线上时，可以画出一条直线；当三点不在同一直线上时，根据两点确定一条直线，可以确定三条直线，故选A。【例题２】在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（ ）Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个【答案】Ｃ。解析：两点确定一条直线，所以①正确；两条不同直线平行时无公共点，②错误；③和④是垂直和平行的相关公理，所以①③④正确，故选Ｃ。■【例题3】如图：（１）已知∠3=∠4，求证l1∥l2。证明：由∠3=∠4（已知），＝∠３（对顶角相等），则 ＝∠４，故l1∥l2（同位角相等，两直线平行），从而得到定理 。【答案】∠１；∠１；内错角相等，两直线平行。【例题4】如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC，如果∠ABC=31°，∠ADE应为多少度？【答案】３１°。【解析】要使ＤＥ∥ＢＣ，则需有∠ABC=∠ADE，又知∠ABC=31°，故∠ADE应为31°。【例题5】在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直线是否平行？为什么？■【解析】在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么①通过度量∠３的度数，若满足∠２＋∠３＝１８０°，根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；②通过度量∠４的度数，若满足∠２＝∠４，根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；③通过度量∠５的度数，若满足∠２＝∠５，根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论。■一、三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。（一）三角形分类１．按角度分（１）锐角三角形：三个角都小于９０°。（２）直角三角形：简称Ｒｔ△（Ｒｉｇｈｔｔｒｉａｎｇｌｅ），其中一个角必须等于９０°。（３）钝角三角形：其中一个角必须大于９０°。其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。２．按边分不等边三角形；等腰三角形（含等腰直角三角形、等边三角形）。（１）等腰三角形等腰三角形的性质：①两底角相等；②两条腰相等；③顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的判定：①等角对等边；②两底角相等；（２）等边三角形等边三角形的性质：①顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（三线合一）；②等边三角形的各角都相等，并且都等于６０°；③四心重合（重心、垂心、外心、内心）。等边三角形的判定：①三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于６０°的等腰三角形是等边三角形。３．判定方法若一个三角形的三边ａ，ｂ，ｃ（ａ＜ｂ＜ｃ）满足：ａ２＋ｂ２＞ｃ２，则这个三角形是锐角三角形；ａ２＋ｂ２＝ｃ２，则这个三角形是直角三角形；ａ２＋ｂ２＜ｃ２，则这个三角形是钝角三角形。（二）三角形的性质１．三角形的两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的两边的差一定小于第三边。２．三角形内角和等于１８０°。３．等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。４．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方——勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。５．三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。６．一个三角形的３个内角中最少有２个锐角。７．三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。８．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长ａ，ｂ，ｃ有下面关系：ａ２＋ｂ２＝ｃ２。那么这个三角形就一定是直角三角形。９．三角形的外角和是３６０°。１０．等底同高的三角形面积相等。１１．底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。１２．三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的３／４。１３．在△ＡＢＣ中恒满足ｔａｎAｔａｎＢｔａｎＣ＝ｔａｎA＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ。１４．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。１５．全等三角形对应边相等，对应角相等。１６．在三角形中至少有一个角大于等于６０°，也至少有一个角小于等于６０°。（三）三角形全等两个能够完全重合的三角形称为全等三角形。三角形全等的判别条件有：１．两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“ＳＳＳ”。２．两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“ＳAＳ”。３．两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“AＳA”。４．两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAＳ”。５．两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“直角边、斜边”或“ＨＬ”。（四）相似三角形形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形具有下列性质：１．相似三角形对应边成比例，对应角相等。２．相似三角形对应边的比叫做相似比。３．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。４．相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比。（五）其他定理１．射影定理射影定理（欧几里得定理）内容为：直角三角形中，斜边上的高是两直边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。几何语言：若△ＡＢＣ满足∠ＡＣB＝９０°，作ＣＤ⊥ＡＢ，则ＣＤ２＝ＡＤ×ＢＤ。射影定理的拓展：若△ＡＢＣ满足∠ＡＣＢ＝９０°，作ＣＤ⊥ＡＢ，（１）ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ（２）ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ（３）ＡＣ×ＢＣ＝ＡＢ×ＣＤ２．正弦定理几何语言：在△ＡＢＣ中，■=■=■=2R（Ｒ是外接圆半径）。３．余弦定理内容：在任何一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的２倍乘以它们夹角的余弦。几何语言：在△ＡＢＣ中，ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃ×ｃｏｓA。【例题1】到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）。A．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点Ｃ．三条边的垂直平分线的交点 Ｄ．三条角平分线的交点【答案】Ｄ。解析：三条角平分线的交点是三角形内切圆的圆心，是三角形的内心，故选Ｄ。【例题2】由三角形三条中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的 。【答案】■。解析：根据三角形中位线的定义及平行四边形的性质可以求得。【例题3】直角三角形的斜边比一直角边长２ ｃｍ，另一直角边长为６ ｃｍ，则它的斜边长（ ）。Ａ．４ ｃｍ Ｂ．８ ｃｍ Ｃ．１０ ｃｍ Ｄ．１２ ｃｍ【答案】Ｃ。【解析】由勾股定理可设一直角边长为x ｃｍ，斜边长为（x+2） ｃｍ，则62+x2=（x+2）2，解得直角边长为８ ｃｍ，斜边长为１０ ｃｍ。【例题4】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数， 得到的三角形是（ ）。Ａ．钝角三角形 Ｂ．锐角三角形Ｃ．直角三角形 Ｄ．等腰三角形【答案】Ｃ。【解析】由题知直角三角形与变化之后的三角形相似，故得到的三角形也是直角三角形。二、其他多边形（一）多边形１．多边形的定义由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形。在不同平面上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形也被称为多边形，是广义的多边形。多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。多边形也可以分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形。２．多边形的性质（1）ｎ边形的内角和等于１８０°×（ｎ－２）。（2）任意凸多边形的外角和都等于３６０°。（3）多边形对角线条数的计算公式：ｎ边形的对角线条数等于■ｎ（ｎ－３）。（二）平行四边形１．定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。２．平行四边形的性质：（１）平行四边形的两组对边分别相等。（２）平行四边形的两组对角分别相等。（３）平行四边形的邻角互补。（４）夹在两条平行线间的平行线段相等。（５）平行四边形的对角线互相平分。（６）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）（7）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。（8）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形、矩形以及菱形都是特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。（9）平行四边形ＡＢＣＤ中（如图），Ｅ为ＡＢ的中点，则ＡＣ和ＤＥ互相三等分，一般地，若Ｅ为ＡＢ上靠近A的ｎ等分点，则ＡＣ和ＤＥ互相（ｎ＋１）等分。■３．平行四边形的判定在同一平面内：（１）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（２）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（３）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（４）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；（５）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。４．面积与周长（１）平行四边形的面积公式：底×高；如用“ｈ”表示高，“ａ”表示底，“Ｓ”表示平行四边形面积，则Ｓ＝ａｈ。（２）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“ａ”“ｂ”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“Ｓ”表示平行四边形的面积，则Ｓ＝ａｂ•ｓｉｎα（３）平行四边形周长可以2×（底１＋底２）；如用“ａ”表示底１，“ｂ”表示底２，“Ｃ”表示平行四边形周长，则平行四边形的周长Ｃ＝２（ａ＋ｂ）。■（三）矩形１．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。２．矩形的性质（１）矩形的四个角都是直角。（２）矩形的对角线相等。（３）具备平行四边形的性质。３．矩形的判定（１）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）。（２）对角线相等的平行四边形是矩形。（３）三个角是直角的四边形是矩形。（四）菱形１．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。２．菱形的性质（１）菱形的四条边都相等。（２）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。（３）具备平行四边形的性质。３．菱形的判定（１）一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）。（２）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（３）四边相等的四边形是菱形。（４）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。（五）正方形１．正方形的定义有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。２．正方形的性质及判定既具备矩形的性质，又具备菱形的性质。证明该四边形既是矩形又是菱形即可。（六）圆１．圆的定义当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。２．圆的相关概念（１）连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径。（２）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。（３）连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径。（４）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。（５）由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。（６）顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。３．有关圆周角和圆心角的性质和定理（１）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。（２）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。９０°的圆周角所对的弦是直径。圆心角计算公式：θ＝（Ｌ／２πｒ）×３６０°＝１８０°Ｌ／πｒ＝Ｌ／ｒ（弧度）。即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。（３）如果一条弧的长是另一条弧的２倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的２倍。４．圆的方程（１）圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点Ｏ（ａ，ｂ）为圆心，以ｒ为半径的圆的标准方程是（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２。特别地，以原点为圆心，半径为ｒ（ｒ＞０）的圆的标准方程为ｘ２＋ｙ２＝ｒ２。（２）圆的一般方程：方程ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０可变形为（ｘ＋■）２＋（y＋■）２＝■。故有：①当Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＞０时，方程表示以（-■，-■）为圆心，以■为半径的圆；②当Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＝０时，方程表示一个点（-■，-■）；③当Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＜０时，方程不表示任何图形。（３）圆的参数方程：以点Ｏ（ａ，ｂ）为圆心，以ｒ为半径的圆的参数方程是ｘ＝ａ＋ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｂ＋ｒｓｉｎθ（其中θ为参数）。【例题5】下列说法正确的是（ ）。Ａ．平行四边形是一种特殊的梯形 Ｂ．等腰梯形的两底角相等Ｃ．等腰梯形不可能是直角梯形 Ｄ．有两邻角相等的梯形是等腰梯形【答案】Ｃ。【解析】由梯形的定义及性质可知Ａ不正确，Ｂ项表述不清，等腰梯形有两对底角，同一底边的两底角相等，等腰梯形不可能是直角梯形，否则与定义矛盾，此时有两组对边平行，故Ｃ项正确，直角梯形也有两邻角相等，Ｄ不正确。【例题6】四边形的四个内角的度数比是２∶３∶３∶４，则这个四边形是（ ）。Ａ．等腰梯形 Ｂ．直角梯形Ｃ．平行四边形 Ｄ．不能确定【答案】Ｂ。【解析】由已知条件可知此四边形的四个内角度数分别为６０°，９０°，９０°，１２０°，符合直角梯形的条件，故它不可能是等腰，另外这个四边形不可能是平行四边形，故只能是直角梯形。【例题7】如图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ，∠ＡＤＣ＝１２０°，对角线ＣＡ平分∠ＤＣＢ，Ｅ为ＢＣ的中点，试求△ＤＣＥ与四边形ＡＢＥＤ面积的比。■【答案】１∶２。【解析】设ＡＢ＝ＤＣ＝ａ，梯形的高为ｈ。由ＡＤ∥ＢＣ，∠ＡＤＣ＝１２０°，则∠ＤＣＢ＝６０°，∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＣ，由ＣＡ平分∠ＤＣＢ，则∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＝３０°，∠ＡＣＤ＝∠ＤＡＣ，故ＡＤ＝ＤＣ＝ａ。由ＡＢ＝ＤＣ，则∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ＝６０°，故∠ＢＡＣ＝９０°。在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，∠ＡＣＢ＝３０°，则ＢＣ＝２ＡＢ＝２ａ，由Ｅ是ＢＣ的中点，则ＢＥ＝ＥＣ＝ａ，由ＢＥ∥ＡＤ，且ＢＥ＝ＡＤ，故四边形ＡＢＥＤ为平行四边形。由S△DCE=■CE×h=■ah,SABED=BE×h=ah，故S△DCE ∶ SABED=1∶2。■一、轴对称与轴对称图形１．定义如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。２．轴对称图形的基本性质（１）对称轴是一条直线。（2）在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等。（3）在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。（4）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。３．轴对称定理及逆定理定理１：关于某条直线对称的两个图形是全等形。（全等形不一定关于某条直线对称）定理２：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。定理３：两个图形关于某条直线对称，如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交，那么交点在对称轴上。定理３的逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。４．轴对称在生活中的作用（１）为了美观，比如天安门，对称就显的美观漂亮；（２）保持平衡，比如飞机的两翼；（３）特殊工作的需要，比如五角星，剪纸。二、中心对称与中心对称图形１．定义（１）中心对称：把一个图形绕着某一点旋转１８０°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。（２）中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转１８０°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。２．基本性质（１）对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意直线且使中心对称图形的面积被平分。（２）成中心对称的两个图形全等。３．常见的中心对称图形：矩形、菱形、正方形、平行四边形、圆、边数为偶数的正多边形、某些不规则图形等。（１）正偶边形是中心对称图形；（２）正奇边形不是中心对称图形。４．轴对称图形、中心对称图形的区别（１）轴对称图形关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合；（２）中心对称图形关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合；（３）实际区别时轴对称图形要像折纸一样，折叠能重合的是轴对称图形；中心对称图形只需把图形倒置，观察有无变化，没变的是中心对称图形。现将常见的图形归类如下：①只是轴对称图形的有：角、五角星、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等；②只是中心对称图形的有：平行四边形；③既不是轴对称图形又不是中心对称图形的有：不等边三角形、非等腰梯形等；④既是轴对称图形又是中心对称图形的有：长方形、正方形、圆、菱形等。三、图形的平移和旋转１．图形平移的基本要素及特点在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定单位距离，这样的图形运动称为平移。平移的特点：平移不改变图形的形状和大小。２．图形旋转的基本要素及特点在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。图形旋转的特点：旋转不改变图形的形状和大小。【例题】下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）。Ａ．有两个角相等的三角形Ｂ．有一个角为４５°的直角三角形Ｃ．有一个内角为３０°，一个内角为１２０°的三角形Ｄ．有一个内角为３０°的直角三角形【答案】Ｄ。【解析】选项Ａ，两个角相等的三角形是轴对称图形，对称轴是第三个角的平分线所在直线；选项Ｂ，一个角是４５°的直角三角形，则另一个锐角也是４５°，在这个三角形中有两个角相等，是轴对称图形；选项Ｃ，一个内角为３０°，另一个内角为１２０°，则第三个内角为３０°，在这个三角形中也有两个角相等，因此，它是轴对称图形；选项Ｄ中的三角形的三个内角分别是３０°，６０°和９０°，它不是轴对称图形，答案为Ｄ。■一、选择题１．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）。Ａ．任意过顶点的直线 Ｂ．顶角的平分线Ｃ．底边的垂直平分线 Ｄ．腰上的高２．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）。Ａ．角 Ｂ．等边三角形 Ｃ．线段 Ｄ．不等边三角形３．正五角星的对称轴的条数是（ ）。Ａ．１条 Ｂ．２条 Ｃ．５条 Ｄ．１０条４．下列图形中有４条对称轴的是（ ）。Ａ．平行四边形 Ｂ．矩形 Ｃ．正方形 Ｄ．菱形５．下列说法中，正确的是（ ）。Ａ．两个全等三角形组成一个轴对称图形Ｂ．直角三角形一定是轴对称图形Ｃ．轴对称图形是由两个图形组成的Ｄ．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形６．在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＡＣ，若∠Ｄ＝１１０°，∠ＡＣＤ＝３０°，则∠ＢＡＣ等于（ ）。Ａ．８０° Ｂ．９０° Ｃ．１００° Ｄ．１１０°７．等腰梯形中，下列判断正确的是（ ）。Ａ．两底相等 Ｂ．两个角相等Ｃ．同底上两底角互补 Ｄ．对角线交点在对称轴上８．以线段ａ＝１６，ｂ＝１３为梯形的两底，ｃ＝１０，ｄ＝６为腰画梯形，这样的梯形（ ）。Ａ．只能画出一个 Ｂ．能画出２个Ｃ．能画出无数个 Ｄ．不能画出９．已知一个直角三角形的两边长分别为３和４，则第三边长的平方是（ ）。Ａ．２５ Ｂ．１４ Ｃ．７ Ｄ．７或２５１０．如图小方格都是边长为１的正方形，则四边形ＡＢＣＤ的面积是（ ）。Ａ．２５ Ｂ．１２．５Ｃ．９ Ｄ．８．５１１．三角形的三边长满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）。Ａ．等边三角形 Ｂ．钝角三角形Ｃ．直角三角形 Ｄ．锐角三角形１２．已知，如下图，一轮船以１６海里／时的速度从港口Ａ出发向东北方向航行，另一轮船以１２海里／时的速度同时从港口Ａ出发向东南方向航行，离开港口２小时后，则两船相距（ ）。Ａ．２５海里Ｂ．３０海里Ｃ．３５海里Ｄ．４０海里１３．已知四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ）。Ａ．ＡＢ＝ＣＤ Ｂ．ＡＣ＝ＢＤＣ．当ＡＣ⊥ＢＤ时，它是菱形 Ｄ．当∠ＡＢＣ＝９０°时，它是矩形１４．下列命题中：①有两个角相等的梯形是等腰梯形 ②有两条边相等的梯形是等腰梯形③两条对角线相等的梯形是等腰梯形　 ④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分。其中真命题有（ ）。Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个１５．如下图，等腰梯形ＡＢＣＤ，周长为４０，∠ＢＡＤ＝６０°，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，则ＣＤ的长为（ ）。Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．１０ 　 Ｄ．８二、解答题１６．如图，等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ⊥ＢＤ，过Ｄ点作ＤＥ∥ＡＣ交ＢＣ的延长线于Ｅ点。（１）求证：四边形ＡＣＥＤ是平行四边形；（２）若ＡＤ＝３，ＢＣ＝７，求梯形ＡＢＣＤ的面积。■1.【答案】Ｃ。解析：等腰三角形的对称轴应该是底边的垂直平分线，而腰上的高与顶角的平分线都是线段，根据对称轴的定义，对称轴应该是直线，另外，过顶点的直线有无数多条，所以Ｃ正确，Ａ、Ｂ、Ｄ都是错误的，答案为Ｃ。２．【答案】Ｄ。解析：角是轴对称图形，它的角平分线所在直线就是它的对称轴；等边三角形是轴对称图形，每条边上的垂直平分线都是它的对称轴；线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴；不等边三角形只有是等腰三角形时才是轴对称图形，否则就不是；所以答案为Ｄ。３．【答案】Ｃ。解析：正五角星每个锐角的角平分线所在直线是它的对称轴，正五角星有五个锐角，所以它有５条对称轴，答案为Ｃ。４．【答案】Ｃ。解析：一般的平行四边形不是轴对称图形，没有对称轴；矩形长与宽的垂直平分线是它的对称轴，有两条；正方形对边中点连线、对角线所在直线都是它的对称轴，有４条；菱形对角线所在直线是它的对称轴，有两条。所以答案为Ｃ。５．【答案】Ｄ。解析：两个全等的三角形摆放的位置可以是任意的，因此，它们不一定能组成一个轴对称图形；直角三角形只有是等腰直角三角形才是轴对称图形，而一般的直角三角形都不是轴对称图形；轴对称图形可以是一个图形；所以Ａ、Ｂ、Ｃ都不正确；等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形，这个说法正确，答案为Ｄ。６．【答案】Ｃ。解析：根据平行关系可知道∠ＢＣＤ为７０°，因此可以算出∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ都是４０°，再由三角形性质可算出∠ＢＡＣ为１００°。７．【答案】Ｄ。８．【答案】Ｄ。９．【答案】Ｄ。解析：由勾股定理知第三边长的平方为９＋１６＝２５或１６－９＝７，经验证，当第三边长为５或■时均符合题意，故选Ｄ。１０．【答案】Ｂ。解析：ＡＣ把四边形ＡＢＣＤ分成三角形ＡＢＣ与三角形ＡＣＤ两部分，两三角形面积之和即为四边形ＡＢＣＤ的面积。１１．【答案】Ｃ。解析：（a+b）2=c2+2ab整理即得a2+b2=c2，故此三角形为直角三角形。１２．【答案】Ｄ。解析：由题知两船的航行轨迹互相垂直，２小时后两船分别驶离港口３２海里、２４海里，由勾股定理即得两船相距４０海里。１３．【答案】Ｂ。解析：平行四边形两组对边分别平行且相等，对角线互相垂直时是菱形，有一个内角是直角时是矩形，但是一般的平行四边形对角线长不一定相等。１４．【答案】Ｂ。解析：有两个角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形也有两个角相等，并且直角梯形也有可能有两条边相等，故前两个命题均不成立，容易验证后两个命题均为真命题。１５．【答案】Ｄ。解析：梯形的两底边平行，故有∠ABD=∠BDC，又因为BD平分∠ABC，所以∠CBD=∠CDB，BC=CD=AD，由∠BAD=60°可得三角形ABD为直角三角形，且AB=2AD，又已知等腰梯形ABCD的周长为４０，故CD=8。１６．【解析】（1）由ＡＤ∥ＢＣ，则ＡＤ∥ＣＥ，又由ＤＥ∥ＡＣ，故四边形ＡＣＥＤ是平行四边形。（2）过Ｄ点作ＤＦ⊥ＢＥ于Ｆ点，由ＤＥ∥ＡＣ，ＡＣ⊥ＢＤ，则ＤＥ⊥ＢＤ，即∠ＢＤＥ＝９０°，由（１）知ＤＥ＝ＡＣ，ＣＥ＝ＡＤ＝３，由四边形ＡＢＣＤ是等腰梯形，则ＡＣ＝ＤＢ，ＤＥ＝ＤＢ，故△ＤＢＥ是等腰直角三角形，△ＤＦＢ也是等腰直角三角形，所以ＤＦ＝ＢＦ＝■（７+３）＝５。（也可运用：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”）Ｓ梯形ＡＢＣＤ＝■（ＡＤ＋ＢＣ）•ＤＦ＝■（７＋３）×５＝２５。其他方法提示：（1）过对角线交点Ｏ作ＯＦ⊥ＢＣ于Ｆ，延长ＦＯ交ＡＤ于Ｈ，于是ＯＨ⊥ＡＤ，由△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ，得到△ＯＢＣ是等腰直角三角形，ＯＦ＝■ＢＣ＝■，同理ＯＨ＝■ＡＤ＝■，高ＨＦ＝■+■=5。（2）过Ａ作ＡＦ⊥ＢＣ于Ｆ，过Ｄ作ＤＨ⊥ＢＣ于Ｈ，由△ＡＦＣ≌△ＤＨＢ，得高ＡＦ＝ＦＣ＝■（ＡＤ＋ＢＣ）＝５。（3）Ｓ梯形ＡＢＣＤ＝Ｓ△ＡOB+Ｓ△BOC+Ｓ△COD+Ｓ△DOA。