《拓扑学》章节试读

《拓扑学》的笔记-第23页 - 集合论与逻辑

真是太巧妙的定义。
实数集的一个子集($A$)称为归纳的(inductive), 如果它包含着数1, 并且只要($x∈A$)则必有($x+1∈A$). 设($\mathcal A$)为($\mathbb R$)中所有包含1的归纳子集的族. 正整数集($\mathbb Z_+$)定义为
($$\mathbb Z_+ = \bigcap_{A \in \mathcal A} A$$)
注意，正实数集($\mathbb R_+$)包含1而且是归纳集（若($x>0$)，则($x+1>0$)），于是($\mathbb R_+$)属于($\mathcal A$). 因此($\mathbb Z_+ \subset \mathbb R_+$), ($\mathbb Z_+$)的元素都是整数，这正是我们选用这个术语的原因. 因为所有实数($x$)($(x \geq 1)$)的集合是归纳集并且包含1，所以1就是($\mathbb Z_+$)的最小元。

《拓扑学》的笔记-第50页 - 1.10 良序集

**一個問題**
關於**引理10.2的證明**, ($C$) 中的元 ($\Omega$) 能找到麼? 能不能構造一個 ($A$) 的實例?
我的一個想法: 設 ($B=\{\{0\}^\omega,\{1\}^\omega,\{2,3\}^\omega,\{4,5\}^\omega\},\{6,7\}^\omega,\cdots\}$), 則 ($\Omega=\{4,5\}$), ($A=\{\{0\}^\omega,\{1\}^\omega,\{2,3\}^\omega,\{4,5\}^\omega\}\}, S_\Omega=\{\{0\}^\omega,\{1\}^\omega,\{2,3\}^\omega\}$). 以上各元在**字典序**下能夠滿足引理10.2.

《拓扑学》的笔记-15 - 15

有一个问题：
习题2.证明当f是单射时，式中包含关系可换为等号可是f本身就是单射啊，在之前的函数定义中说函数是一个指派法则，而指派法则满足单射，所以f不应该就是单射的吗？

《拓扑学》的笔记-译者序 - 译者序

5. 汉语“是”通常有两种含义，一是“等于”，二是“属于”……在科技文献中不允许有歧义，因此在本书中“是”只表示等于的意思，而属于的意思则用“是一个”来表示……
7. 在汉语中常常难于区别单数和复数，而在英语的表达中（特别在本书中）又常常对于名词的复数形式与集合名词不加区别……因此，我们也是宁可啰嗦一点，以保证不被误解。
都学着点，那些什么它字病患者可以治了。

《拓扑学》的笔记-第27页 - 1.5 笛卡爾積

P27
**定義**
1. 設 ($\mathcal{A}$) 是一個非空集族, 其指標函數是滿射 ($f:J\xrightarrow{f}\mathcal{A}$), 其中 ($J$) 稱為指標集. 族 ($\mathcal{A}$) 連同指標函數 ($f$) 一併稱為一個集的加標族或加標集族.
2. 設 ($\alpha \in J$), 集 ($f\left(\alpha\right)=A_\alpha$), 則該加標集族本身記為 ($\{A_\alpha\}_{\alpha\in J}$), 讀作 " ($\alpha$) 取遍 ($J$) 時, 所有 ($A_\alpha$) 的族 ".
3. 指標函數的用處之一是, 給集合的任意交與並一個新記號. 如 ($\bigcap_{\alpha \in J}A_\alpha$) 和 ($\bigcup_{\alpha \in J}A_\alpha$) 分別表示加標集族 ($\{A_\alpha\}$) 各元素的交與並.
4. ($S_n=\{1,\cdots, n\}$) 和 ($\mathbb{Z}_+$) 是兩個極為常見的指標集. 記以 ($S_n$) 为指标集的加標集族為 ($\{A_1, \cdots, A_n\}$), 成員並與交為 ($A_1\cup\cdots\cup A_n$) 和($A_1\cap\cdots\cap A_n$); 以 ($\mathbb{Z}_+$) 为指标集的加標集族為 ($\{A_1, A_2, \cdots\}$), 成員並與交為 ($A_1\cup A_2\cup\cdots$) 和($A_1\cap A_2\cap\cdots$).
P28
**定義**
1. ($m$) 是正整數, 對於給定的集合 ($X$), ($X$) 中元素的一個**($m$)-串** ( ($m$)-tuple ) 定義為函數 ($\mathbb{x}:\{1, \cdots, m\}\longrightarrow X$).
若 ($\mathbb{x}$) 是一個 ($m$)-串, 則往往記 ($\mathbb{x}$) 在 ($i$) 處的值為 ($x_i$), 並稱之為 ($\mathbb{x}$) 的第 ($i$) 個**座標**, 函數 ($\mathbb{x}$) 本身用 ($\left(x_1, \cdots, m\right)$) 表示.
2. 設 ($\{A_1, \cdots, A_m\}$) 是一個以 ($\{1, \cdots, m\}$) 為指標集的加標集族. 令($X=A_1\cup\cdots\cup A_m$), 則這個加標集族的笛卡爾積 (Cartesian product) 記作 ($\prod_{i=1}^m A_i$) 或 ($A_1\times\cdots\times A_m$), 定義為 ($X$) 中元素的所有 ($m$)-串 ($\left(x_1, \cdots, x_m\right)$) 的集合, 使得對於每一個 ($i$) 有 ($x_i\in A$).
3. 給定集合 ($X$), ($X$) 中元素的一個**($\omega$)-串** ( ($\omega$)-tuple ) 定義為函數 ($\mathbb{x}:\mathbb{Z}_+\longrightarrow X$); 這種函數也稱為 ($X$) 中元素的一個**序列**或**無窮序列**.
若 ($\mathbb{x}$) 是一個 ($\omega$)-串, 則往往記 ($\mathbb{x}$) 在 ($i$) 處的值為 ($x_i$), 並稱之為 ($\mathbb{x}$) 的第 ($i$) 個**座標**, 函數 ($\mathbb{x}$) 本身用 ($\left(x_1, x_2, \cdots\right)$) 或 ($\left(x_n\right)_{n\in \mathbb{Z_+}}$) 表示.
4. 設 ($\{A_1, A_2, \cdots\}$) 是一個以 ($\mathbb{Z}_+$) 為指標集的加標集族, ($X=A_1\cup A_2\cup\cdots$), 則這個加標集族的笛卡爾積 (Cartesian product) 記作 ($\prod_{i\in \mathbb{Z}_+}^m A_i$) 或 ($A_1\times A_2\times\cdots$), 定義為 ($X$) 中元素的所有 ($\omega$)-串 ($\left(x_1, \cdots, x_m\right)$) 的集合, 使得對於每一個 ($i$) 有 ($x_i\in A$).
5. 對於上述定義, 不要求 ($A_i$) 兩兩不同. 當 ($A_i$) 取同一個集 ($X$) 時, ($A_1\times\cdots\times A_m$) 恰為 ($X$) 的所有 ($m$)-串的集, 記為 ($X^m$); ($A_1\times A_2\times\cdots$) 恰為 ($X$) 的所有 ($\omega$)-串的集, 記為 ($X^\omega$).
6. ($\mathbb{R}$) 是實數集, 則 ($\mathbb{R}^m$) 表示實數的所有 ($m$)-串的集合, 即大名鼎鼎的 ($m$)-維歐氏空間 ( Euclidean ($m$)-space); ($\mathbb{R}^\omega$) 即無窮維歐氏空間, 它是所有實數 ($\omega$)-串的集合, 即所有函數 ($\mathbb{x}: \mathbb{Z}_+\longrightarrow \mathbb{R}$) 的集合.

《拓扑学》的笔记-第18页 - 1.3 關係-序關係

集合 ($A$) 的一個關係 ($C$) 稱為**序關係**(或稱全序或線序)滿足可比較性, 非自反性和傳遞性.
*非自反性和傳遞性綜合起來排除了可比較性中隱含的對稱性.
($A$) 和 ($B$) 稱為**序型**相同, 如果在他們之間有一個**一一保序對應**, 即存在 ($f: A\to B$), 使得 ($a_1<_A a_2 \Longrightarrow f\left( a_1\right) <_B f\left( a_2 \right)$).

《拓扑学》的笔记-第11页 - 1.2 函數

一個概念的說明
本頁下方函數的定義中，集B並不是我們通常所說的值域，而應作陪域。
也就是說B不僅包含r的像集，也可以包含非r的像集的元素。
*值域和像集應該是對應的概念。

《拓扑学》的笔记-第16页 - 1.3 關係

1. 集合($A$)上的一個關係是笛卡爾積 ($A\times A$) 的一個子集($C$)。即($C \subset A\times A$)。
2. 等價關係對集中的元滿足自反、對稱和傳遞性。
3. 等價關係將集分拆為一個或多個等價類（子集），在每個等價類之內的點滿足該等價關係。即等價關係可以導出分拆。

《拓扑学》的笔记-第5页 - 1.1 基本概念

只要假設成立則結論成立，然而假設在任何條件下都不會成立的論斷稱為**虛真論斷（vacuously true）**。

《拓扑学》的笔记-第24页 - 1.4 整數與實數

**良序性質** ( ($\mathbb{Z}_+$) 的每一個非空子集有一個最小元 ) 的證明.
1. 首先使用歸納法證明, ($\forall n\in \mathbb{Z}_+, \{1, \cdots, n\}$) ( ($\mathbb{Z}_+$) 的任意截 ) 的每一个非空子集有最小元. 通過歸納證明 ($A$) 是包含1的歸納集, 得到 ($A=\mathbb{Z}_+$), 另外也證明了含n+1的 ($\{1, \cdots, n+1\}$) 的非空子集有最小元.
2. 將待證非空子集 ($D$) 與 ($\mathbb{Z}_+$) 求交, 該交集非空且有最小元, 也即待證非空子集的最小元.
**強歸納原理**, 對以正整數為元素的集 ($A$), 設 ($\forall n\in \mathbb{N}_+$), 有 ($S_n\subset A \Rightarrow n \in A$), 則 ($A=\mathbb{Z}_+$).
**實直線的Archimedean有序性質**, ($\mathbb{Z}_+$) 在 ($\mathbb{R}$) 中沒有上界, 可以由上確界公理證明.