历届美国数学奥林匹克试题集

章节摘录

版权页：   插图：   某次数学家大会上，每两个数学家或互为朋友或互为陌生人。会场提供两个餐厅，且用餐的时候，每一位到会的数学家都坚持要和偶数个朋友在同一个餐厅。求证：符合所有数学家的要求的就餐位置的安排方法数是2的正整数次幂。 证明 设参加会议的数学家有n人，下面对n进行归纳。 当n=1时，这位数学家可被任意安排在两个餐厅之一，安排的办法数为2=21。 设n≥2.如果存在某位数学家P没有朋友，则P可被任意安排在两个餐厅之一，这时安排的方法数为去掉P后剩下n—1位数学家时安排方法的两倍，而由归纳假设，n—1位数学家安排就餐的方法数为2k，因此在这种情况下n位数学家的安排方法数为2×2k=2k+1。故下面我们只需考虑参加会议的每位数学家至少有一个朋友。 下面分两种情形进行讨论：存在某种数学家有奇数个朋友和每位数学家都有偶数个朋友。 情形1：某位数学家Z有奇数个朋友。 先去掉Z，再改变Z的每一朋友对（X，Y）的关系（即若X和Y是朋友，则变为陌生人，若X和Y是陌生人，则变为朋友）。先证明下面的命题。 命题 去掉Z，再改变Z的每一朋友对（X，Y）的关系不改变就餐安排方法数。 命题的证明 根据假设，在Z就餐的餐厅里有偶数个Z的朋友，不妨设为a个。 如果a=0，去掉Z后的安排仍然满足题目的要求。 如果a>0，设X为和Z同一餐厅的X的任意一个朋友。根据假设，X在该餐厅里也有偶数个朋友。去掉X后，X变为有奇数个朋友，而Z在餐厅里有奇数个不包含X的朋友，则改变X和Z的每一个朋友的关系后，X在该餐厅里仍然有偶数个朋友。在另一个餐厅里，Z有奇数个朋友，则他们中的第一人改变关系偶数次，在这个餐厅里他们仍然有偶数个朋友。 此外，因为在这种情形下只有一个餐厅含有Z的偶数个朋友，所以不包含Z的每一个合理安排都由包含Z的一安排唯一导出，命题得证。 因此，在这种情形下n位数学家合理的安排方法数为n一1位数学家时的两倍，而由归纳假设，n—1位数学家时的合理安排方法数为2的幂次，故n位数学家时的合理安排方法也是2的幂次。 情形2：每一位数学家都有偶数个朋友。 在这种情形下，对于每一个合理的安排，每一位数学家在两个餐厅里的朋友数都为偶数。

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