抽屉原则-第二辑

章节摘录

版权页：   插图：   （例9）设△ABC是等边的，E是三边上点的全体，对每一个把E分成两个不相交子集的分划，问这两个子集中是否至少有一个子集包含着一个直角三角形的三个顶点？给出证明。（第24届IMO试题第4题） 证明 如图9.1所示，在边BC，CA，AB上分别取三点P，Q，R，使得PC=BC/3，QA=CA/3，RB=AB/3。很明显，△ARQ，△BPR，△CQP都是直角三角形，它们的锐角是30°及60°。 设E=E1∪E2，且E1∩E2为空集。由抽屉原则，P，Q，R中至少有两个点属千同一子集，不妨设P，Q∈E1。如果BC边上除P之外还有属于E1的点，那么结论已明。设BC上的点除P之外全属于E2，那么只要AB上有异于B的点S属于E1。设S在BC上的投影点为S'，则△SS'B为一直角三角形。再设AB上的每一点均不属于E2，即除B之外全属于E1，特别地，R，A∈E1，于是△AQR为一直角三角形，这时三顶点全在E1中。证毕。 注 把点分类和把点“染色”是同一个意思。“分类”的数学味道重一些，染色似乎通俗一些，但本质是一样的。因此，本题可以改述为：对一个等边三角形边界上的每一点染上红色或者绿色中的一种颜色，对任何一种染色方法，你能不能找到同色的三个点，它们组成一个直角三角形？请你给出证明。

书籍目录

前言

1 第一堂算术课

2 三个原则

3 简单例子

4 爱尔迪希一泽克瑞斯定理

5 剩余类

6 平均值原则

7 用有理数逼近无理数

8 面积的重叠原则

9 国际数学奥林匹克中的几个赛题

10 正方形的分解

11 不定方程

12 佩尔方程

练习题

练习题解答概要

附录 第29届国际数学奥林匹克命题的经过

编辑推荐

《数学奥赛辅导丛书•第2辑:抽屉原则》适合中学生、中学教师以及数学爱好者阅读。

作者简介

《数学奥赛辅导丛书•第2辑:抽屉原则》以抽屉原则为主题，着重介绍了它在初等数论中的一些应用。因而，书中还讲述了初等数论中的一些基本知识，例如同余式、用有理数逼近无理数的方法、不定方程、数的几何等，使读者在学到抽屉原则方法的同时，更扩大了知识面，开阔了眼界。

图书封面

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