实变函数论与泛函分析

章节摘录

插图：从这一章开始我们将要介绍泛函分析。泛函分析是现代数学中的一个较新的重要分支。它起源于经典数学物理中的变分问题、边值问题，概括了经典数学分析、函数论中的某些重要概念、问题和成果，又受到量子物理学、现代工程技术和现代力学的有力刺激。它综合地运用分析的、代数的和几何的观点和方法，研究分析数学、现代物理和现代工程技术提出的许多问题。从本世纪中叶开始，偏微分方程理论，概率论（特别是随机过程理论）以及一部分计算数学，由于运用了泛函分析而得到了大发展。现在，泛函分析的概念和方法已经渗透到现代纯粹数学与应用数学、理论物理及现代工程技术理论的许多分支，如微分方程、概率论、计算数学、量子场论、统计物理学、抽象调和分析、现代控制理论、大范围微分几何学等方面。现在泛函分析对纯粹数学及应用数学中的影响，好像本世纪初叶集论、点集论对后来数学的影响那样。同时泛函分析本身也不断地深入发展。例如算子谱理论以及各种表示理论已经达到相当深入的程度。泛函分析大体分为线性泛函分析和非线性泛函分析两大部分，线性泛函分析比起非线性泛函分析来说要成熟得多，也更基本一些，这是自然的。一般来说，因为对于数学和数学物理中许多问题，人们大抵都是先作一次近似把它“线性化”；而线性问题总是比非线性问题容易研究得多，因而迄今所获得的成果也就要丰富得多。本书中除个别地方外几乎全部讨论线性泛函分析。

书籍目录

目录

第四章 度量空间

§4.1度量空间的基本概念

1.引言（2）2.距离的定义（3）3.极限的概念（5）4.常见度量空间（6）习题4.1（11）

§4.2线性空间上的范数

1.线性空间（13）2.例（15）3.赋范线性空间（17）4.凸集（20）5.商空间（21）习题4.2（22）

§4.3空间

1.上的范数（23）2.平均收敛与依测度收敛的关系（28）3.空间Lo（E，p）（29）4.数列空间（31）习题4.3（32）

§4.4度量空间中的点集

1.内点、开集（33）2.极限点、闭集（35）3.子空间的开集和闭集（39）4.联络点集、区域（40）5.点集间的距离（41）6.n维欧几里得空间中的Borel集（42）7.赋范线性空间中的商空间（42）习题4.4（44）

§4.5连续映照

1.连续映照和开映照（45）2.闭映照（48）3.连续曲线（50）习题4.5（50）§4.6稠密性

1.稠密性的概念（52）2.可析点集（54）3.疏朗集（55）习题4.6（56）

§4.7完备性

完备性的概念（57）2.某些完备空间（59）3.完备空间的重要性质（62）4.度量空间的完备化（65）习题4.7（68）

§4.8不动点定理

1.压缩映照原理（68）2.应用（74）习题4.8（77）

§4.9致密集

1.致密集的概念（79）2.致密集和完全有界集（81）3.某些具体空间中致密点集的特征（84）4.紧集（87）5.紧集上的连续映照（89）6.有限维赋范线性空间（90）7.凸紧集上的不动点定理（94）习题4.9（96）

§4.10拓扑空间和拓扑线性空间

1.拓扑空间（98）2.拓扑线性空间（106）

第五章 有界线性算子

§5.1有界线性算子

1.线性算子与线性泛函概念（108）2.线性算子的有界性与连续性（111）3.有界线性算子全体所成的空间（116）习题5.1（121）

§5.2连续线性泛函的表示及延拓

1.连续线性泛函的表示（123）2.连续线性泛函的延拓（129）3.泛函延拓定理的应用（137）4.测度问题（143）习题5.2（145）

§5.3共轭空间与共轭算子

1.二次共轭空间（148）2.算子序列的收敛性（149）3.弱致密性（弱列紧性）（153）4.共轭算子（155）习题5.3（157）

§5.4逆算子定理和共鸣定理

1.逆算子定理（158）2.共鸣定理（165）3.共鸣定理的应用（167）习题5.4（172）

§5.5线性算子的正则集与谱，不变子空间

1.特征值与特征向量（175）2.算子的正则点与谱点（178）3.不变子空间（191）习题5.5（195）

§5.6关于全连续算子的谱分析

1.全连续算子的定义和基本性质（196）2.全连续算子的谱（202）3.全连续算子的不变闭子空间（208）习题5.6（213）

第六章 Hilbert空间的几何学与算子

§6.1基本概念

1.内积与内积空间（216）2.Hilbert空间（218）习题6.1（222）

§6.2投影定理

1.直交和投影（223）2.投影定理（225）习题6.2（229）

§6.3内积空间中的直交系

1.就范直交系（231）2.直交系的完备性（234）3.直交系的完全性（239）4.线性无关向量系的直交化（241）5.可析Hilbert空间的模型（242）习题6.3（244）

§6.4共轭空间和共轭算子

1.连续线性泛函的表示（246）2.共轭空间（247）3.共轭算子（247）4.有界自共轭算子（252）习题6.4（253）

§6.5投影算子

1.投影算子的定义和基本性质（256）2.投影算子的运算（259）3.投影算子与不变子空间（265）习题6.5（267）

§6.6双线性Hermite泛函与自共轭算子

1.双线性Hermite泛函（269）2.有界二次泛函（273）习题6.6（275）

§6.7谱系、谱测度和谱积分

1.几个例（275）2.谱测度（278）3.谱系（284）4.谱系和谱测度的关系（287）习题6.7（291）

§6.8酉算子的谱分解

1.酉算子的定义（293）2.酉算子的谱分解（295）3.相应于酉算子的谱测度（303）4.L2-Fourier变换（305）5.平稳随机序列（307）6.平移算子（308）习题6.8（313）

§6.9自共轭算子的谱分解

1.引言（315）2.共轭算子（316）3.对称算子与自共轭算子（320）4.Cayley变换（323）5.无界函数谱积分（330）6.自共轭算子的谱分解定理（333）7.函数模型（338）8.全连续自共轭算子（342）习题6.9（343）

§6.10正常算子的谱分解

1.正常算子（345）2.乘积谱测度（347）3.正常算子的谱分解（350）4.算子代数（352）习题6.10（353）

§6.11算子的扩张与膨胀

1.闭扩张（354）2.半有界算子的自共轭扩张（358）3.广义谱系的扩张谱系（365）4.压缩算子的酉膨胀（378）习题6.11（378）

第七章 广义函数

§7.1基本函数与广义函数

1.引言（382）2.基本函数空间（384）3.局部可积函数空间（386）4.广义函数空间（388）习题7.1（390）

§7.2广义函数的性质与运算

广义函数的导函数和广义甬数列的极限（391）2.广义函数的原函数（395）3.广义函数的乘法运算（397）4.广义函数的支集（397）5.有限级广义函数的构造（398）6.自共轭算子的广义特征展开（401）习题7.2（403）

§7.3广义函数的F0urier变换

1.基本函数的Fourier变换（404）2.z空间上的连续线性泛函（407）3.广义函数的F0urier变换的概念（409）4.广义函数的卷积（413）5.常系数线性偏微分方程的基本解（415）6.基本函数空间S（421）7.广义函数空间S（425）习题7.3（427）

参考文献

索引

部分习题答案

编辑推荐

《实变函数论与泛函分析:下册•第2版修订本》是由高等教育出版社出版的。

作者简介

《实变函数论与泛函分析:下册•第2版修订本》第一版在1978年出版。此次修订，是编者在经过两次教学实践的基础上，结合一些学校使用第一版所提出的意见进行的。《实变函数论与泛函分析:下册•第2版修订本》第二版仍分上、下两册出版。上册实变函数，下册泛函分析。本版对初版具体内容处理的技术方面进行了较全面的细致修订。下册内容的变动有：在第六章新增了算子的扩张与膨胀理论一节，对其他一些章节也补充了材料。各章均补充了大量具有一定特色的习题。

《实变函数论与泛函分析:下册•第2版修订本》可作理科数学专业，计算数学专业学生教材和研究生的参考书。

《实变函数论与泛函分析:下册•第2版修订本》下册经王建午副教授初审，江泽坚教授复审，在初审过程中，陈杰教授给予甚大关注。

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