高中数学课本习题整合.引伸.推广

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版权页：   插图：   命题158 已知椭圆x2／a2+y2／b2=1（a>b>0），AB⊥x轴。 （1）以AB为对称轴作两直线AM、AN分别交椭圆于点M、N，L是椭圆在点B处的切线，则MN∥L； （2）P是椭圆上异于A、B的任一点，若弦AP和BP分别所在的直线有一条过定点，则另一条也过定点。 该结论对抛物线、双曲线也成立。 命题159 过双曲线上任一点P的切线与过两顶点的切线相交于M、N，求证以MN为直径的圆过两焦点。 双曲线除两条准线外，还有另两条特殊直线——渐近线。渐近线也有一些特殊的性质。 命题160 过双曲线上任一点P的切线与双曲线两渐近线交于A、B两点，双曲线中心为O，求证P为AB的中点，且△AOB的面积为定值。 命题161 一直线交双曲线于A、B两点，交双曲线的渐近线于C、D。求证夹在渐近线和双曲线间的线段AC和BD相等。 命题162 求证：双曲线上任一点到两渐近线距离之积为常数。 命题163 过双曲线上任一点P作两渐近线的平行线，分别交渐近线于A、B，求证｜PA｜•｜PB｜为定值。 下面探讨过二次曲线弦的两端点的切线的性质。 *问题35（阿基米德三角形） 过抛物线的弦AB的两端点作切线，两切线与弦围成的三角形ABQ称为阿基米德三角形。 阿基米德（约公元前287—212年）古希腊著名数学家、物理学家，静力学和流体力学的奠基人。 阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2／3。 阿基米德三角形有许多有趣的性质。 为方便起见，称弦AB为阿基米德三角形ABQ的底边，M为底边AB的中点。 性质1 阿基米德三角形三顶点A、Q、B的纵坐标成等比数列，横坐标成等差数列。 性质2 阿基米德三角形底边上的中线MQ平行于抛物线的轴MQ的中点P在抛物线上，且过点P的切线平行于底边AB。 性质3 若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则顶点Q的轨迹为一条直线L1，该直线平行于以C为中点的弦。

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