神秘的阿列夫
出版社:上海科学技术文献出版
出版日期:2008-6
ISBN:9787543935532
作者:阿米尔·艾克塞尔
页数:128页
章节摘录
2 古代起源 在公元前5世纪和6世纪间，古希腊人发现了无穷（或无限）。这个概念对人类直觉而言是如此矛盾、怪异，甚至是对它们的颠覆，以致使古代哲学家和发现它的数学家深感困惑，引起了无限痛苦、精神错乱，至少有一个人因此而死。这个发现引起的结果对以后2 500年的科学、数学、哲学和宗教有着深刻影响。 有证据表明古希腊人已接近无穷概念，这就是那时经常出现的伊利亚（Elea）哲学家芝诺（前495-前435）提出的悖论。这些悖论中最著名的是芝诺描述的古代跑得最快者阿其里（Achilles）与一只乌龟之间的赛跑。由于乌龟跑得非常慢，所以开始时是让它在前面。芝诺推理说阿其里在乌龟后面某一处时开始起跑，这时乌龟应在前面有一段距离。然后经过一段时间阿其里到达乌龟开始起跑处，而乌龟也已经进一步向前跑了一小段距离。这样的论断按此方式可继续无穷地进行下去。因而，芝诺得出结论，跑得最快的阿其里绝不能赶上跑得非常慢的乌龟。芝诺由此悖论推断出，在空间和时间可被无穷细分的假设下，运动是不可能的。 另一个芝诺的悖论是两分法，说的是你绝不能离开你在其中的房间。首先你走到你与房门间距离的一半处，然后是剩下距离的一半处，那么仍然剩下从你所在处到房门间的距离的一半，如此等等。甚至进行无穷多次——每次是前一次尺寸的一半——你也绝不能到达并通过房门!这个悖论的背后藏着一个重要的概念：甚至进行无穷多次有时仍能留下一个较完整的有限距离。但是，如果每一次你取得的量值是前一次尺寸的一半，那么虽然你进行无穷多次，你走过的距离的量值是最初的距离的两倍。
内容概要
阿米尔·艾克塞尔，博士，在加利福尼亚大学柏克莱分校同时获得数学硕士和科学学士学位。他现在是麻省沃尔特·班特列学院的统计学副教授。他已为《美国经济》，《统计计算杂志》以及《预测杂志》等刊物写了很多科普文章。他也是《上帝的方程：爱因斯坦，相对论和膨胀的宇宙》等若干本书的作者。
书籍目录
1 德国工业城市哈雷2 古代起源3 喀巴拉——中世纪犹太神秘主义教派4 伽利略和波尔查诺5 柏林6 化圆为方7 学生8 集合论的诞生9 第一个圆圈10 “我看着它，但我不相信它”11 粗暴的攻击12 超限数13 连续统假设14 莎士比亚和精神病15 选择公理16 罗素悖论17 少年哥德尔18 维也纳的咖啡馆19 1937年6月14—15日之夜20 莱布尼茨，相对论和美国宪法21 科恩的证明和集合论的未来22 上帝无限光亮的外袍附录后记注释
作者简介
《神秘的阿列夫:数学、犹太神秘主义教派以及对无穷的探寻》主要内容：19世纪末，一位杰出的数学家在一所精神病院里身心逐渐衰弱而死去。他一系列先进观点造成的最伟大的成就，是他对无穷的特性的超前理解。这就是乔治·康托(GeorgCantor)的故事：他如何得到他的理论，他的改变了世界面貌的研究成果对后代产生了怎样深远的影响。
康托充满智慧的、深奥哲学观点的研究工作，有古希腊数学和在喀巴拉——中世纪犹太神秘主义教派里的源头。康托用阿列夫aleph——希姆莱字母表中的、伴有非同寻常联想的第一个字母——这个神秘数字来表示所有正整数的集合。它不是最大的数，因为——不存在最大的数，但它是一个总能趋近的终极数：恰如数字1之前不存在最后的分数。
图书封面
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精彩书评 (总计3条)
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一般人确实想到无穷就停止了，而康拓却没有停止他的思想，这个也就是和常人不同的地方，包括哥德尔，两人在研究连续统等问题上最后都有或多或少的精神病，一个是转而研究莎士比亚来转移视线，每研究一次精神就出现一次问题，一个是转而研究莱布尼茨等。而哥德尔和爱因斯坦也是好朋友。总之，读这本书让我也陷入了无穷的思考，思考上帝真的是无穷大嘛？上帝是真的人类的思想不可企及的嘛？是不是有些定理不需要证明？是不是可以有无穷证明定理的方法？ -
按语：大二那年《数学与人类文明》的课程论文，基本上是基于本书的内容写的。书读得匆忙，对无穷的理解也可能肤浅。拙文一篇，算是向康托，还有历史上所有勇于探索无穷的有名无名的英雄致敬。任何一个其他的问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他的观点都不曾如此有效地激励人类的智力：然而，也没有任何一个概念比它——无穷，更需要澄清。 ——希尔伯特1918年，乔治•康托在德国哈雷的一家精神病院去世，寂寂无闻。尽管他开创性地工作为数学的研究打开了一扇新的大门。第一次听说康托的名字，是在上实变函数课的时候。他发现的那些关于可数无穷大与连续统势的神奇的结果，让我对这位并不熟识的数学家充满敬意。后来，有意识地去读了一些关于他生平的文章，不免为他叹惋。作为现代集合论的奠基者，他的一生是不得志的，而且晚年更是深受精神疾病的折磨。康托的理论不仅不为大众理解，甚至是庞加莱这样的大数学家，也认为他的理论是一种病态，是某一天数学必将给以诊治的顽症，而他的老师克罗内克更是把他称作学术骗子。康托研究的是关于无穷的问题，一个人类早在古希腊时期就开始思考的难题。伊利亚的哲学家芝诺为了捍卫他的老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说提出来了四个关于运动的悖论，难倒了亚里士多德在内的古希腊所有的智者。其中最著名的一个是被称为“阿基琉斯追乌龟”悖论，芝诺断言阿基琉斯——传说中古希腊跑得最快的人，永远无法追上一只乌龟，因为在追上乌龟之前，他每次都要先跑到乌龟的出发点。这个结论无疑是荒谬的，但芝诺的论证却看起来无懈可击。事实上，时至今日，这仍是一个很有迷惑性的论证，虽然在已知阿基琉斯与乌龟的速度时，一个小学生都能轻易算出阿基琉斯追上乌龟的时间，但回到论证本身，却无法从逻辑上找出毛病。当时亚里士多德给出的解释是：如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了。其实这也是芝诺心知肚明的，但在无穷级数等数学概念建立以前，没有人能说明为什么阿基琉斯为何无法越过某个时间或空间。由于提出了这样一些荒谬却又难以被解释的悖论，芝诺在古希腊的名声并不好，甚至是柏拉图也在著作中用不无暧昧揶揄的笔调来写他。（这一点与后来康托的经历颇为相似。）但芝诺的名字注定是要在数学史与哲学史上闪光的，他的悖论引发的关于时间与空间能否细分的悖论启迪了一代又一代哲学家与数学家的思考与讨论，启发他们去发现无穷的秘密。用数学史家E.T贝尔的话说，芝诺是以非数学的语言，最早记录下了人们同连续性与无穷格斗时所遭遇的困难。虽然始终无法解决芝诺的悖论，但是古希腊人还是从芝诺的思想里得到了众多的启迪，其中有代表性的是欧多克斯与阿基米德。他们用早期的极限思想处理了一些面积与体积的计算问题。阿基米德把圆周率π的值计算到了小数点后两位，并推导出了球体体积的计算公式。欧多克斯想到了用有理数去逼近无理数，继而重建了不可公度性发现后的希腊几何学。就这点来说，希腊人已经十分接近无穷的概念，但由于希腊文明的过早衰落，以及一些哲学与宗教上的束缚，让人类探索无穷的脚步不由地停下了近两千年。值得一提的是，在遥远的东方，中国人也曾取得了古希腊人相似的成就。“一日之棰，日取其半，万世不竭”，名家这句精彩的论断与芝诺悖论如出一辙。而后，刘徽与祖冲之又相继在圆周率计算以及球体体积公式推导中取得突破，也与欧多克斯与阿基米德的工作相似。但中国人显然是一个素来重视实用主义的民族，孜孜不倦的执着于圆周率的计算不过是为了获得更精确的历法，因而虽然祖冲之算出的圆周率领先了世界近千年，但中国人对无穷的探索却也止步于此。康托之前，也曾有一大批西方学者试图探究无穷的奥秘，其中也包括牛顿、莱布尼兹、高斯等大人物。但他们大多把无穷大简单的认为是一种比所有数都大的数，即一种潜无穷。人类很早的时候就注意区别了潜无穷和实无穷，前者实际上还是一个有限的数，而后者在大多数数学家眼中其实不是真实存在。1831年，在写给朋友舒马赫的信中，数学王子高斯曾这样说：“我必须强烈反对你使用无穷大作为一种完善的东西，因为在数学上是不允许的，无穷大不过是一种讲话方式，意味着一种极限，当允许某些比率无限增长时，一些特定的比率可以任意地逼近该极限。”康托的伟大就在于他敢于越过高斯口中的不允许，第一次真正提出实无穷的概念。在他看来，否认无穷大就是否认了无理数的存在，因为每个无理数不过是无穷多个有理数的逼近。而且他还发现不止拥有一种无穷大，且这些无穷大之间是有级别的，是可以比较大小的。他的观点在19世纪，无异于一种反叛，也注定他后来他要遭受到一次又一次严厉的攻诘。启迪康托的是伽利略晚年的一篇著作《两种新科学的对话》，作为文艺复兴时期最伟大的科学家，伽利略可以说是为数不多的抓住过实无穷概念的人。在那篇论文中，伽利略提到，平方数和正整数的个数是一样多的。我们知道，对于有限集合，计数的本质就是建立集合当中的元素与正整数间的一一对应的关系，如果将其推广大无穷集合中，那么由于任何一个平方数都能找到一个唯一的正整数与他对应，那么两者的个数应该是一样多的。大数学家希尔伯特喜欢讲的一个无穷旅馆的故事便是这种思想的生动解释。假设有一家旅馆有无穷多的房间，一天来了一位客人，但不巧的是房间都被住满了，正在店员因为客满正要赶这位客人走时，客人建议让原来在1号房的客人住2号房，2号房的住3号房，由于有无穷多间房子，这个过程可以不断进行下去，这样腾出1号房就可以让他住了。但这个结论无疑是惊人的，无穷大上加加减减甚至乘上任何一个有限数都还是无穷大，部分要等于整体，因而即使是伟大如伽利略，也无法相信这个结论，而他的探索也只好止步于此。后来捷克数学家波尔查诺也发现了相同的结论，写了一本叫做《无穷大的悖论》书，但是，长时间里波尔查诺以及他的观点都没能受到足够的重视。康托的天才在于他不仅仅继承了伽利略与波尔查诺的思想，勇敢地提出了实无穷的概念，并用巧妙的方式证明了有理数与正整数一样多的结论，而且，沿着他们的脚步，他发现了一个比正整数集的元素个数更多的无穷大——连续统势，并深入研究了这些无穷大之间的性质，比如给出了一个很漂亮的公式是2^a=c（其中a代表可数无穷大，c代表连续统势）描述了两个无穷大之间的关系。对康托来说，这个探索的过程注定充满的艰难，要冲破延绵数千年的传统观念是谈何容易，而且，他的理论注定无法被当世所理解。没有人能有他的天才，能如此自如地穿梭于无穷的世界，也没有人有他的勇气，去发现甚至是去相信无穷的秘密。“我看着它了，但我不相信它”，在写给朋友戴德金的信中，康托这样描述自己的心情，这是当他发现平面上的点与数轴上的一样多，也就是一个连续统势乘以任何一个有限数还是连续统势时，这会颠覆人们传统对维的观念。看得出，他既兴奋又忐忑。戴德金同样是一位优秀的数学家，他明白康托工作的价值，却也深知他的理论将会受到怎样残酷而迅速的反对，于是在写给康托的回信中，在表达祝贺的同时，他希望康托不要公开反对传统的信仰。这封回信对康托无疑是个不小的打击，也成了他和戴德金渐行渐远的开始。在神秘的无穷面前，康托是孤独的，尤其当后期他的论文由于顽固者的反对无法发表，当他因为自己极端个性与朋友相继决裂，他只能独自感受着无穷带给他的惊喜与困苦。康托的梦想是试图寻找一个无穷大的序列，但这却让他经历了研究开始以来最大的挫折。当他将最小的无穷大——可数无穷大命名为阿列夫零（ℵ_0）的时候，他却无法确定他发现连续统势是否就是第二个无穷大。康托猜想它是，并且一直试图去证明，但一直无法成功。而这个问题也最终摧垮了他的精神。1900年，在第二届国际数学家大会上，当他的理论逐渐被当时的数学家所接受，当希尔伯特将他的连续统假设列为那著名的23个问题中的第一个时，康托却正失去对现实的感知。尽管他为无穷的研究奉献了一生的才华，但由于长期得不到理解，以及始终证明自己的连续统假设，他晚年甚至一度执迷于培根-莎士比亚的研究，以减轻无穷带给他带来的痛苦。在生命的末期，在医院与家中一次次往返之间，康托更多思考着无穷与宗教的关联，思考着上帝的存在。在神秘的无穷面前，他最终停下了脚步，把未尽的使命交给后来的人们。康托之后，人们继续着无穷的探索，从策梅罗到哥德尔，再到科恩，他们不断完善着康托的集合论，不断探索着无穷。但结果是有些遗憾的，哥德尔的不完备定理和科恩的证明表明，康托的连续统假说在现行的公理系统中可能为真也可能为假，并且都不会产生新的矛盾，或许这就现实，绝对的真理，是人类永远难以把握的。就像康托曾经问过自己的，数存在吗，无穷大存在吗，难道一切不会像无神论者眼中的上帝，不过是人在脑海中所构造的一个形象。康托最坚定的反对者克罗内克就认为除了整数，其他的一切都是人类主观创造的。他的观点或许极端而迂腐，但何尝没有道理。至少，物理学家从来没有发现物质是可以被无限细分的，在他们眼中，存在最小的单元始终是存在的。但是无穷大与连续统在数学领域最初的巨大贡献却是无法被抹去的，否认这些概念也就否认了现代数学的基础。对于这两个问题，康托曾给出自己的观点，数是一个主观和内在的现实性的，在他看来，数学中的无穷大、连续统是不需要通过物理世界的存在来判断的。对于无穷的探索，人类或许还要继续走下去，可能有一天，在某个新的公理系统中，人们可以去证明连续统假说的正确。或许，要就此停下，但是历史永会记住那一个个为探索无穷而奋斗过的名字。“数学的实质在于它的自由之中。”这是康托对数学一生的信念，也是集合论之外，他留给所有后继者最珍贵的东西。 -
虽然这本书里的很多内容我并不能理解或者我不能够肯定我是正确的理解，但阅读此书带来的满足感是巨大的，充满连续性的，甚至是无穷的。我定义这本书是与哲学和宗教问题关联的数学简史，作者娓娓道来一些能够在想象力范围内的简单事实，但随着对这些简单事实的理解与深入，却最终先后把两个包括建立与延续探寻无穷问题的伟大数学家逼疯。对无穷的理解是对智力的永恒挑战，数字中神秘的无穷超越了我们在平面、空间等等维度中的常识。我们会发现，在向外揭示世界神秘性的努力中，上帝已经在你的身边设置了警告线，只要你试图安静下来冥想这样的问题，马上觉得举步维艰，好奇心的大小决定了你精神病的严重程度。因此，我认为，作者能够清醒的写出此书，一定和某个神秘的问题保持了距离。数学是一个求证的过程，这是所有数学家的使命，证明诸如平方数和整数一样多，一条一维的直线、一块二维的正方形和一个三维的立方体，涵盖的点也是等数的等等问题是求证终极问题过程中的片段，也是数学家获得阶段胜利的心理安慰。可是，对无穷的研究最后总会导致哲学命题的给出：有没有不能证明的真理？也就是说，数学家的工作是不是有可能也是一个无穷的工作，一个对世界的完整的终极解释绝无可能，就像无法描述最大的数。如果有终极的解释，这个世界还会存在什么乐趣呢？真正的理解了无穷，思想就有了边界，无异于精神的牢笼，因此本书记述的主人翁，数学家康托，对数学的信心，从某种角度，反倒是因为不可求证；无穷的存在，保证了自由的永存。“数学的实质是在它的自由中。”延展开来也就是，未知是生命最大的乐趣和理由。
精彩短评 (总计16条)
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关于无穷概念的好书。犹太神秘主义对无穷这一概念的认识令我震惊 -
对数学史感兴趣的人可以看看这本书。 -
充满了数学的吸引 -
写得好突兀... -
“发病前他一直在研究连续统，发病后视图证明莎士比亚的作品都是培根的”。。。 -
关于无穷和集合论方面的数学简史，内容很好，不过翻译得比较差。 -
关于数集，序数的科普，及相关的一些历史故事 -
建议参看《论隐秘的上帝》（http://book.douban.com/subject/1034553/）其从一侧面提供了（西方）宗教（理性）文化中对上帝的探索，也方便解读西方的宗教传统。另～古拉・库萨可以说是提出了【人类对上帝不可能完备化理解】的见解么！【宗教届的不完备性原理】
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比较晦涩，到后半段实在是能力所及看不下去鸟... -
我都无法忍受的翻译 -
数学即自由 -
原著好，翻译差
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实无穷和学校里教的不一样
一个个标签：犹太人、数学、真理，曾经迷得失魂落魄
贴着标签过活的日子已经不再：失魂落魄的不是因为沉迷与此，而是因为自己失魂落魄，还沉迷于失魂落魄中 -
看了图书简介挺感兴趣的，没看完 -
我觉得无穷只有一个，其他都是多余，什么连续统，不是我不能理解，实在是可以举出很多自相矛盾的例子，这些数学家难道都没想到吗 -
读起来很平和。