初等数学解题方法大全

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目 录

一、基本逻辑知识

（一）什么是逻辑学

（二）逻辑思维的基本形式

1.概念

（1）什么是概念

（2）概念的内涵和外延

（3）概念间的关系

①同一关系

②交叉关系

③从属关系

④矛盾关系

⑤反对关系

（4）概念的限定和概括

①概念的限定

②概念的概括

（5）概念的定义

（6）概念的划分

2.判断

（1）什么是判断

（2）判断的分类

（3）数学中的判断

①性质判断

②关系判断

③假言判断

④选言判断

⑤联言判断

⑥负判断

3.命题

（1）什么是命题

（2）命题的结构

（3）简单命题与复合命题

①假言命题

②选言命题

③联言命题

④等价命题

⑤否定命题

（4）命题的四种形式及其关系

（5）命题的演算规则

（6）命题的条件

（7）公理、定理、推论

（8）分断式命题

（9）逆命题的制造

4.推理

（1）什么是推理

（2）演绎推理

（3）归纳推理

（4）类比推理

5.数学证明

（1）什么是证明

（2）证明的规则

（三）逻辑思维的基本规律

1.同一律

2.矛盾律

3.排中律

4.充足理由律

二、怎样解数学题

（一）解数学题的实质

（二）解题的要求

1.解答数学题要正确合理

2.解题过程要符合逻辑

3.解题方法力求简单清楚

4.解题理由要充分

5.解题的答案要详尽无遗

6.解题的最后结果形式要简单

7.注意命题条件与结论的推广

（三）解题步骤

1.审题

（1）分析条件，理解题意

（2）注意题中的常数

2. 探求解 题方 法

（1）区分习题类型

（2）观察、联想、转化

①观察

②联想

③转化

3.写出习题的解答过程

4.检查答案是否合理

（1）推理要正确

（2）检查答案是否完备、确切

（3）检查解答是否合乎要求

（四）解题后的回忆

1.解题方法的回忆

2.错误分析

三、解数学题的常用方法

（一）观察法

（二）定义法

（三）分析法

（四）综合法

（五）反证法

（六）同一法

（七）数学归纳法

（八）第二数学归纳法

（九）整体法

（十）配方法

（十一）换元法

（十二）待定系数法

（十三）参数法

（十四）相消法

（十五）代入法

（十六）比较法

（十七）“1”的代换法

（十八）试探法

（十九）赋值法

（二十）构造法

（二十一）三角法

（二十二）直角坐标法

（二十三）极坐标法

（二十四）复数法

四 各种题型的常用解法

（一）算术问题的解法

1.式题的解法

（1）四则计算题的计算方法

（2）四则混合式题的计算方法

①基本法

②简算法

③约分法

④拆数法

（3）繁分数的化简方法

①相除法

②倍数法

③约分法

④逐次减层法

（4）速算的方法

①凑整法

②凑同法

③基准数法

④反数法

⑤拆数法

⑥公式法

（5）验算的方法

①正算法

②逆算法

③弃九法

2.文字题的解法

①直译法

②意译法

③分析法

④综合法

⑤缩句法

⑥分段法

⑦代数法

3.应用题的解法

①综合法

②分析法

③图解法

④直接法

⑤列举法

⑥追踪法

⑦逆推法

⑧消元法

⑨假设法

⑩对应法

⑾不变量法

⑿变换条件法

⒀增元法

⒁类比法

⒂比例法

⒃归一法

⒄倍比法

⒅归总法

（19）公式法

（20）代数法

（二）初等代数问题的解法

1.代数式问题的解法

（1）整式的运算方法

①基本运算法

②竖式运算法

③公式法

④分离系数法

⑤综合除法

⑥比较系数法

⑦数值代人法

（2）因式分解的方法

①提取公因式法

②公式分解法

③分组分解法

④十字相乘法

⑤求根法

⑥配方法

⑦余元定理法

⑧比较系数法

⑨数值代入法

（3）分式的运算法

①基本运算法

②比较系数法

③数值代入法

④乘因式法

（4）根式的运算法

①有理化因式法

②基本运算法

③公式法

2.代数方程与方程组的解法

（1）有理方程的解法

①同解变形法

②分解因式法

③求根公式法

④换元法

⑤韦达定理法

⑥配方法

⑦余元定理法

⑧比较系数法

（2）无理方程的解法

①乘方法

②观察法

③配方法

④因式分解法

⑤换元法

⑥共轭根式法

（3）方程组的解法

①代入消元法

②加减消元法

③换元法

④韦达定理法

⑤分解因式法

⑥行列式法

3.代数不等式问题的解法

（1）整式不等式的解法

①基本运算求解法

②配 方法

③分解因式法

（2）分式不等式的解法

①运算求解法

②不等式联立法

③转化法

（3）绝对值不等式的解法

①公式法

②区间分析法

（4）无理不等式的解法

①运算求解法

②不等式联立法

（5）不等式组的解法

4.指数与对数问题的解法

（1）幂的运算方法

①基本运算法

②代数公式法

（2）对数的运算方法

①基本运算法

②定义法

③换底公式法

（3）指数方程的解法

①比较指数法

②取对数法

③换元法

④分解因式法

（4）对数方程的解法

①定义法

②换底公式法

③比较真数法

④换元法

5.数列问题的解法

（1）求数列通项公式的方法

①观察分析法

②公式法

③转化法

④归纳法

（2）求由递推公式给出的数列通项的方法

①归纳法

②作差求和法

③配项法

④消常数项法

⑤换元法

⑥特征方程法

（3）数列求和的方法

①公式法

②转化法

③通项公式变形法

④和式倒写相加法

⑤和式变倍相减法

⑥复数法

6.排列组合问题的解法

（1）排列、组合和式的求值 化简及组合恒等式的证明方法

①基本公式法

②母函数法

③数学归纳法

④构造模型法

（2）排列组合应用题的解法

①模型类比法

②直接分步法

③直接分类法

④淘汰法

⑤放缩法

⑥集合法

7.函数问题的解法

（1）求函数定义域的方法

（2）求函数值域的方法

①直接法

②反函数法

③图象法

④判别式法

⑤平均 值不等 式法

⑥配方 法

⑦二次函数法

⑧换元法

⑨导数法

（3）求函数解析式的方法

①待定系数法

②“对应”变形法

③过渡变量法

④特殊值法

⑤列解方程（组）法

⑥数学归纳法

（4）作函数图象的方法

①描点法

②平移法

③对称法

④叠加法

⑤绝对值翻转法

⑥导数法

8.复数问题的解法

（1）复数的运算方法

①直接运算法

②“1”的代换法

③“i”的代换法

④“ω”的代换法

⑤向量法

（2）复数综合题的解法

①复数相等法

②共轭复数法

③复数模的不等式法

9.代数证明题的证法

（1）恒等式的证明方法

①一般方法

②公式法

③代值验证法

④待定系数法

⑤数学归纳法

⑥拆项法

⑦母函数法

（2）条件等式的证明方法

①综合法

②分析法

③代人法

④变换法

⑤（代数）消元法

⑥换元法

⑦数学归纳法

（3）不等式的证明方法

①比较法

②综合法

③分析法

④拆项法

⑤放缩法

⑥数学归纳法

⑦反证法

⑧换元法

⑨辅助式法

⑩配方法

⑾判别式法

⑿导数法

⒀构造法

⒁重要不等式法

（三）平面几何问题的解法

1.证明题的证法

（1）普通问题的证明方法

①综合法

②分析法

③反证法

④同一法

⑤枚举归纳法

⑥数学归纳法

⑦叠置法

⑧拼合法

⑨分解法

⑩扩充法

⑾对称变换法

⑿平移变换法

⒀旋转变换法

⒁面积法

⒂射影法

⒃变更问题法

⒄计算法

⒅解析法

(19)复数法

(20)三角法

(21)极坐标法

（22)四点共圆法

（23）构图法

（24）传递法

（25）全等三角形法

（26）等腰三角形法

（27）平行四边形法

（28）相似三角形法

（29）三角形中位线法

（30）定值问题的证明方法

①特殊位置探求法

②计算探求法

（3）极值问题的证明方法

①三角形法

②极值定理法

③代数法

④三角法

2.作图题的作法

①交轨法

②三角形奠基法

③平移法

④对称法

⑤旋转法

⑥放缩法

⑦延长线法

⑧角弧法

⑨游移切线法

⑩辅助圆法

⑾面积割补法

⑿比例线段法

⒀代数法

⒁变更问题法

⒂逆序法

⒃伸缩进退法

3.计算题的解法

①公式法

②等量替换法

③列解方程法

④比例线段法

⑤三角法

⑥解析法

⑦面积割补法

（四）平面三角问题的解法

1.三角函数的计算方法

①定义法

②公式法

③代入法

④综合法

⑤“1”的代换法

⑥平方公式法

⑦赋值法

⑧构造法

2.三角等式的证明方法

①定义法

②分析法

③综合法

④相消法

⑤数学归纳法

⑥化为两弦法

⑦“1”的代换法

⑧降幂法

⑨比较法

⑽反三角运算法

⑾复数法

⑿边角互换法

⒀直推法

⒁代入法

⒂消元法

⒃换元法

⒄构造法

3.三角不等式的证明方法

①比较法

②单位圆法

③万能代换法

④极值法

⑤公式法

⑥构造方程法

⑦构造图形法

⑧反证法

⑨数学归纳法

4.三角作图题的作法

①描点法

②几何法

③变换法

5.三角方程的解法

①变量代换法

②因式分解法

③引用辅助角法

④万能置换法

⑤化为两弦法

⑥消元法

⑦相除法

⑧取三角函数法

（五）立体几何问题的解法

1.计算题的解法

①定义法

②计算法

③判别式法

④体积法

⑤割补法

⑥三角法

⑦穷举寻径法

2.证明题的证法

①定义法

②分析法

③综合法

④反证法

⑤体积法

⑥构造法

⑦三角法

⑧参数法

（六）平面解析几何问题的解法

1.求曲线方程的方法

①定义法

②直译法

③待定系数法

④平面几何法

⑤转移法

⑥交轨法

⑦参数法

⑧极坐标法

⑨复数法

⑩韦达定理法

⑾消去法

2.作图题的作法

①描点法

②简便描点法

③平方法

④分段讨论法

⑤移轴法

3.计算题的解法

①基本公式法

②定义法

③判别式法

④解方程组法

⑤配方法

⑥三角法

⑦韦达定理法

⑧平面几何法

⑨不等式法

⑩复数法

4.证明题的证法

①基本公式法

②定义法

③权几何法

④参数法

⑤极坐标法

⑥三角法

⑦曲线系法

⑧集项法

⑨列解方程组法

⑩韦达定理法

（七）集合问题的解法

1.集合的表示法

①字母表示法

②列举法

③特性表示法

④文氏图表示法

⑤函数图象表示法

2.集合的运算与集合等式的证明方法

①定义法

②公式法

③文氏图法

④函数图象法

（八） 初等微积分问题的解法

1.求极限问题的解法

①四则运算法

②函数值法

③两个重要函数极限公式法

④无穷小分离法

⑤有理化法

⑥约分――通分法

⑦无穷小性质法

⑧三角公式法

⑨换元法

⑩等价无穷小法

⑾夹挤法

⑿实数连续性公理法

⒀双侧极限法

⒁微 分中值公式法

⒂定积分法

⒃积分中值公式法

⒄斯笃兹定理法

⒅洛比达法则法

⒆泰勒公式法

2.求导数问题的解法

①定义法

②直接求导法

③逐层求导法

④对数恒等式法

⑤两边取对数法

⑥隐函数求导法

⑦参数方程法

⑧莱布尼兹法

3.求不定积分问题的解法

①直接积分法

②第一换元法（“凑微分”法）

③第二换元法

④分部积分法

⑤递推公式法

⑥分项分式法

⑦配方添项凑微法

⑧欧拉代换法

⑨万能代换法

⑩多次代换法

⑾积分表法

4.求定积分问题的解法

①定义法

②基本公式法

③换元法

④分部积分法

⑤函数奇偶性质法

5.证明题的证法・

①定义法

②反证法

③微分中值定理法

④积分中值定理法

⑤换元法

⑥保号性定理法

（九）逻辑代数问题的解法

1.二进制数的计算方法

2.二进制数与十进制数的互化方法

①二除取余法

②二乘取整法

3.逻辑式的运算方法

①真值表法

②公式法

③对偶法

④反演法

4.逻辑等式的证明方法

①真值表法

②部分真值代入法

③公式法

④对偶法

⑤反证法

（十）概率统计问题的解法

1. 复杂事 件的 分解 法

①直译法

②分步分解法

③等价事件法

④两次求逆法

2.概率的计算方法

①古典定义法

②公式法

③二项概率法

④概率分布法

⑤切比雪夫不等式法

⑥极限定理法

3.随机变量的分布问题的解法

（1）分布函数、分布列及分布密度的判定方法

（2）分布函数、分布列及分布密度中所含待定常数的确定方法

（3）求离散型随机变量的概率分布的方法

①古典概型法

②直接法

③辅助事件法

（4）分布列或分布密度与分布函数的互求方法

①累加法

②邻值相减法

③求积法

④求导法

（5）求随机变量函数的分布的方法

①等价事件法

②分布函数法

4.求随机变量的期望与方差的方法

（1）求随机变量的期望的方法

①定义法

②典型分布法

③函数期望公式法

④运算性质法

⑤构造法

（2）求随机变量的方差的方法

①定义法

②简便公式法

③典型分布法

④运算性质法

⑤构造法

5.参数估计问题的解法

（1）期望与方差的点估计问题的解法

①顺序统计量法

②矩估计法

③极大似然估计法

（2）估计量优良性的判断方法

（3）期望与方差的区间估计方法

①u估计法

②t估计法

③x2估计法

6.假设检验的方法

①u－检验法

②t－检验法

③x2－检验法

7.回归分析方法

①最小二乘法

②F－检验法

③t－估计法

④预报限反求法

（十一）初等数论问题的解法

1.基础问题的解法

（1）倍数判别问题的解法

①数字和法

②末位数字法

③末两位数法

④隔位法

⑤三位一组求和法

⑥三位一组求差法

⑦商数余数相加法

（2）质数判别问题的解法

①试除法

②筛法

（3）因数分解的方法

（4）最大公因数的求法

①因数分解法

②辗转相除法

（5）最小公倍数的求法

①因数分解法

②最大公因数法

2.简单问题的解法

①因数分解法

②奇数偶数分类法

③剩余类分类法

④因式分解法

⑤二项式定理法

⑥数字法

⑦数学归纳法

⑧反证法

⑨抽屉法

3.综合问题的解法

①因数分解法

②逐个检查法

③公倍数法

④奇数偶数分类法

⑤剩余类分类法

⑥反证法

⑦解不定方程法

⑧抽屉法

（十二）标准化试题的解法

①直接法

②筛选法

③图象法

④特殊值法

⑤反推法

附：本书主要参考文献

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