微分方程数值解

书籍目录

第一章 数值分析基础

1.1 一个简单的递推格式

1.1.1 0.1不能被双精度精确表示

1.1.2 函数求值

1.1.3 对于初始扰动的分析

1.2 基本迭代格式

1.2.1 不动点迭代

1.2.2 Newton-Raphson方法

1.2.3 Logistic方程

1.3 离散范数和连续范数

1.4 函数的逼近

1.4.1 函数的插值

1.4.2 插值多项式的Newton表示

1.5 数值积分

1.5.1 复化求积公式

1.5.2 Gauss求积公式

1.5.3 自适应Simpson求积公式

第二章 常微分方程数值方法

2.1 常微分方程

2.1.1 线性系统

2.1.2 适定性

2.2 计算格式的导出

2.2.1 数值微分-导数的近似

2.2.2 Euler格式的收敛性

2.2.3 稳定和绝对稳定区域

2.3 高阶单步方法

2.3.1 Taylor级数法

2.3.2 Runge-Kutta方法

2.3.3 Runge-Kutta-Fehlberg格式和自适应步长调整

2.3.4 高阶单步方法中的基本概念

2.4 线性多步方法

2.4.1 Adams格式

2.4.2 Gear格式（BDF格式）

2.5 线性多步方法的形态分析

2.5.1 局部截断误差估计和相容性

2.5.2 线性多步方法的零稳定性

2.5.3 非齐次情形

2.5.4 收敛=稳定+相容

2.5.5 绝对稳定性和绝对稳定区域

2.6 刚性问题

2.7 其他稳定性

2.8 二阶系统的求解

2.8.1 Newton-Störmer-Verlet-leapfrog方法

2.8.2 Newmark格式

2.8.3 Runge-Kutta方法

2.8.4 线性多步方法

第三章 椭圆型方程的差分方法

3.1 两点边值问题的差分方法

3.1.1 两点边值问题

3.1.2 能量意义下的稳定性

3.1.3 三点差分格式

3.1.4 紧致差分格式

3.1.5 收敛性分析

3.1.6 特征值问题

3.2 高维情况

3.3 求解器

3.3.1 迭代方法

3.3.2 多重网格

3.3.3 FFT算法

3.3.4 区域分解

第四章 发展方程的差分方法

4.1 抛物型方程

4.2 抛物型方程的基本差分格式

4.3 稳定性分析

4.3.1 直接法

4.3.2 分离变量法

4.3.3 传播因子法

4.3.4 按最大模范数稳定

4.3.5 交替方向方法

4.4 对流方程

4.5 波动方程

第五章 有限元方法简介

5.1 有限元方法

5.1.1 有限元离散

5.1.2 线性三角形元

5.1.3 单元刚度矩阵和质量矩阵

5.1.4 边界条件处理

5.2 Lagrange型单元

5.2.1 Lagrange型三角形元

5.2.2 Lagrange型矩形元

5.2.3 有限元定义

5.3 Hermite型单元

5.3.1 Hermite型三角形元

5.3.2 Hermite型矩形元

5.4 数值算例

5.4.1 一维边值问题

5.4.2 二维边值问题

5.5 时间相关问题的计算

5.5.1 抛物型方程

5.5.2 双曲型方程

第六章 有限元方法误差分析

6.1 变分问题适定性

6.1.1 Sobolev空间初步

6.1.2 Lax-Milgram引理

6.1.3 Poisson方程边值问题适定性

6.2 有限元误差估计

6.2.1 有限元逼近

6.2.2 H^1-模估计

6.2.3 L^2-模估计

6.3 其他类型有限元

6.3.1 数值积分的影响

6.3.2 等参有限元

6.3.3 非协调有限元

6.4 自适应有限元方法

6.4.1 后验误差分析

6.4.2 自适应算法

参考文献

作者简介

本书主要介绍了常微分方程和偏微分方程的数值解法，具体包括：数值分析基础、常微分方程数值解法、椭圆型方程的差分方法、发展方程的差分方法、有限元方法简介以及有限元方法误差分析。

本书在编写过程中注重由浅入深、理论和数值试验结合；着重培养学生掌握基本的数值格式，并能对模型问题进行数值模拟和对数值结果进行一定的分析。

本书可以作为数学类各专业微分方程数值解课程的教学用书或参考书，对其他理工科学生学习常微分方程和偏微分方程数值解法也具有参考价值。

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