具体数学
出版社:人民邮电出版社
出版日期:2013-4-1
ISBN:9787115308108
作者:Ronald L.Graham,Oren Patashnik,Donald E.Knuth
页数:562页
章节摘录
版权页： 插图：
名人推荐
“希望这本书能说服计算机科学以及数学领域的众多教育工作者。开设这样的课程定能取得成效！” ——J.H.Van Lint，《国际教育评论》 “翻阅这本书总是心情愉悦。书中充满了对数学的细致解释和满腔热忱的描述。” ——Volker Strehl，美国《数学评论》
媒体关注与评论
希望这本书能说服计算机科学以及数学领域的众多教育工作者，开设这样的课程定能取得成效！ ——J. H. Van Lint，《国际教育评论》 翻阅这本书总是心情愉悦，书中充满了对数学的细致解释和满腔热忱的描述。 ——Volker Strehl，美国《数学评论》
内容概要
Ronald L. Graham（葛立恒）著名数学家，美国加州大学圣迭戈分校计算机与信息科学专业教席（Jacobs Endowed Chair），AT&T实验室研究中心荣誉首席科学家，美国数学学会前任主席。Graham于1999年成为美国计算机学会会士，200 3年获得美国数学学会的斯蒂尔终身成就奖，2012年成为美国数学学会会士。他还曾获得美国数学学会颁发的Lester R. Ford奖和Carl Allendoerfer奖以及其他众多奖项。
Donald E. Knuth（高德纳）著名计算机科学家，算法与程序设计技术的先驱者、斯坦福大学计算机系荣休教授、计算机排版系统TEX和METAFONT字体系统的发明人，因诸多成就以及大量富于创造力和具有深远影响的著作（19部书，160篇论文）而誉满全球。近些年，他将精力全部投入到《计算机程序设计艺术》七卷集的史诗般创作中。Knuth教授获得过许多奖项和荣誉，包括美国计算机协会图灵奖、美国国家科学奖章、美国数学学会的斯蒂尔奖，以及因发明先进技术于1996年荣获的京都奖。1996年，设立了以其名字命名的Donald E. Knuth奖，授予那些为计算机科学基础做出杰出贡献的人。
Oren Patashnik 著名计算机科学家，BibTeX的创始人之一，是位于拉荷亚的通信研究中心的研究员。他1976年毕业于耶鲁大学，后来在斯坦福大学师从Knuth，1980年就职于贝尔实验室。1985年与Leslie Lamport合作创建了BibTeX（LaTeX的一种工具，用于管理文献、产生文献目录）。
译者简介
张明尧：1945年12月出生，安徽大学数学系毕业并获得中国科学院数学研究所博士学位。长期从事解析数论、代数数论以及计算数论方面的研究工作，参与翻译的著作有《数论中未解决的问题（第2版）》（R. K. Guy著）、《纯数学教程（纪念版）》（G. H. Hardy著）、《哈代数论（第6版）》（G. H. Hardy著）和《算术探索》（C. F. Gauss著）等。
张凡：1982年7月出生，加拿大Concordia大学数学系毕业，并获得统计专业硕士学位。参与翻译的著作有《数论导引（第5版）》（G. H. Hardy著）和《哈代数论（第6版）》（G. H. Hardy著）等。
书籍目录
中文版致辞
前言
记号注释
第1章 递归问题
1.1 河内塔
1.2 平面上的直线
1.3 若瑟夫问题
习题
第2章 和式
2.1 记号
2.2 和式和递归式
2.3 和式的处理
2.4 多重和式
2.5 一般性的方法
2.6 有限微积分和无限微积分
2.7 无限和式
习题
第3章 整值函数
3.1 底和顶
3.2 底和顶的应用
3.3 底和顶的递归式
3.4 mod：二元运算
3.5 底和顶的和式
习题
第4章 数论
4.1 整除性
4.2 素数
4.3 素数的例子
4.4 阶乘的因子
4.5 互素
4.6 mod：同余关系
4.7 独立剩余
4.8 进一步的应用
4.9 函数和 函数
习题
第5章 二项式系数
5.1 基本恒等式
5.2 基本练习
5.3 处理的技巧
5.4 生成函数
5.5 超几何函数
5.6 超几何变换
5.7 部分超几何和式
5.8 机械求和法
习题
第6章 特殊的数
6.1 斯特林数
6.2 欧拉数
6.3 调和数
6.4 调和求和法
6.5 伯努利数
6.6 斐波那契数
6.7 觭夹行列式
习题
第7章 生成函数
7.1 多米诺理论与换零钱
7.2 基本策略
7.3 解递归式
7.4 特殊的生成函数
7.5 卷积
7.6 指数生成函数
7.7 狄利克雷生成函数
习题
第8章 离散概率
8.1 定义
8.2 均值和方差
8.3 概率生成函数
8.4 抛掷硬币
8.5 散列法
习题
第9章 渐近式
9.1 量的等级
9.2 大O记号
9.3 O运算规则
9.4 两个渐近技巧
9.5 欧拉求和公式
9.6 最后的求和法
习题
附录A 习题答案
附录B 参考文献
附录C 习题贡献者
译后记
索引
编辑推荐
顶级数学家和计算机科学家合著的经典著作被世界多所知名大学采纳为教材当代计算机科学方面的一部重要著作，TAOCP的前奏曲不仅讲述数学问题和技巧，更侧重教导解决问题的方法或平淡、或深刻、或严肃、或幽默的涂鸦，让你在轻松愉悦的心境下体会数学的美妙第二作者、图灵奖得主计算机科学泰斗Donald E. Knuth（高德纳）在接受图灵社区的访谈时如是说：“《具体数学》是一份‘纲领’，它的内容是我对于数学诸多方面应该如何教与学的思考。熟练掌握代数公式的基础技能，对我来说始终都是关键所在。这些内容在TAOCP里都有讨论，但只能是蜻蜓点水；在斯坦福大学的课程中，我得以深入更多的细节，而那些课程都被囊括在这本书中了。” 学习本书可以：1、学会怎样分析复杂问题：首先研究小的情形，然后加以推广求出数学表达式，找出其封闭形式并予以证明2、学会计算机科学中用到的数学知识及技巧，为学习计算机算法奠定坚固的数学基础3、挑战六大类500多道习题，锻炼你的数学思维能力
作者简介
本书介绍了计算机的数学基础，内容涉及求和、取整函数、数论、二项式系数、特殊数、母函数（发生函数）、离散概率、渐近等等，面向从事计算机科学、计算数学、计算技术诸方面工作的人员，以及高等院校相关专业的师生。
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精彩书评 (总计3条)
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假如让你提出一个数学问题，你想这个问题以怎样的方式被解决？作为解题者，你又想以怎样的方式解决一个数学问题？通常点到即止或许是我们最佳的选择，因为这是最有效率和最舒服的方法，然而作者有着完全不一样的答案，在【3.2 - 底和顶的应用】一节中，作者对所有数学书中提出的问题定义了五个水平，我这里缩简一下水平1：对所宣称的某个事实寻求一个证明水平2：对所宣称的某个事实寻求一个证明，并且这个证明具有一般性水平3：证明一个命题，并尝试寻求一个反例来推翻它（对新事物必须有挑剔怀疑的眼光）水平4：我们得到的结论有时可能是复杂的，应该尝试去简化它，即从中寻求一个更简单结论水平5：从命题中寻找一个有趣的性质（纯粹的研究）很少人敢于提出水平5的问题，因为它看起来毫无规律，你的大脑需要在混沌的世界里摸索，犹如大海捞针，花费大量的精神和时间最终也可能一无所获。但是现实世界的情况就是如此，所有的一切都是由于混乱中的机缘巧合产生的，如果想要解决实际的问题，你就必需要投身到这混沌的世界里去，这就是具体数学想要告诉你的东西。书中很多问题都向着水平5靠拢，所以有一定的难度，但不表示你需要非常优秀的数学基础，而是需要一颗冷静的头脑和一股浓烈的兴趣。我读此书时写了一些笔记在http://melondeng.com/math/concrete-mathematics-notes-index.html，时间问题更新比较慢，但希望能帮到一些朋友，也欢迎大家交流。---------------------------------“创造性的天才需要先进行愉悦的脑力活动才能进入激烈的思辨状态. ‘需求是发明之母’是缺乏常识的俗话. 而‘需求是无用的托词之母’更接近于真理. 现代发明的发展建立在科学的发现的基础之上，而科学几乎就是愉悦的求知欲的结果.” ——怀特海 -
（摘自本人博客：http://blog.zhenghui.org/2013/07/24/magic-of-math/或：http://en.zhenghui.org/2013/05/18/magic-of-math_CN/）人民邮电出版社出版的《具体数学——计算机科学基础》译自经典名著 《Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science》。 简单地称赞这是一本好书，虽毫无风险性，却也毫无信息量。 那么《具体数学》（以下简称《具》）具体好在何处呢？ 简言之两个词：一曰充分，二曰实在。充分此所谓充分，系指一本书在深度、广度、高度、细度、角度等各维度上的充分。深度在不过分为难目标读者的前提下，足够的深度始终是专业书籍的核心价值所在，否则“专业”二字只是枉谈。 哪怕是入门书籍，也不应轻易地点到为止。好书如严师，严师方能出高徒。让人一直轻松的书，通常 也会轻松地被人遗忘。《具》书之深，似乎无庸赘述。充斥全书的数学符号，足令大多数非数学专业者望而却步。 此书基于Donald Knuth（第二作者）在斯坦福大学的讲义而成，便是这所全球顶级大学的学生 也倍感不易。虽然不少人推荐该书为The Art of Computer Programming（TAOCP） 的预备书籍，但若仔细比较二者，前者甚至在一些专题上的深入度比后者犹有过之。 好在书中虽不乏抽象的数学理论，但均适可而止，且最终皆为实际问题服务。 这在降低难度的同时，也增加了实用性和亲和力。其实，深度并不一定意味着复杂、玄妙或高深，更非概念、理论、公式、数据或代码等单纯的堆砌。 关键是作者能否拨开笼罩在知识周围的迷雾和光晕，引领读者渐入深境，让他们获得头脑 与知识内在的硬核产生正面撞击的机会（这大概是人们恍然大悟时喜欢摸后脑勺的原因吧？）。《具》书的主线是从递归问题到求和问题，再到二项式系数，接着从特殊的数列到一般的生成函数， 内容环环相扣并逐步加深。书中屡见不鲜的情形是：某一问题看似已挖掘至极限，但随着更深刻的 理论或更强大的工具的推出，原问题有了更妙的解法或更强的结论。广度深度可反映一本书对知识的纵向开采程度，广度则反映它对知识的横向拓展程度。 坦率地说，《具》书的广度不如其深度突出。作为计算机科学基础的数学教材，它未涵盖的内容还有不少， 如图论、自动机理论、博弈论、信息论、可计算性理论等，也没有更基础的集合论或数学逻辑。 另外，数论与离散概率虽有涉及，但篇幅较少。当然，这与作者明确的目的有关。正如书中前言所说，“具体”数学是针对“抽象”数学而设的名称。 纯粹数学工作者大都有个通病：醉心理论的抽象而不屑实际的应用。本书试图证明， 兼顾具体性与抽象性、实用性与通用性的数学，同样可以很高级、很优美。 因此它并不打算覆盖全部的离散数学，而是提供一套系统的、有关离散运算的工具和方法。 故仅就其所重视的主线而言，该书的广度也是可观的。高度一本书应通过深度由表及里，通过广度由此及彼，把局部孤立的知识点编织成整体联系的知识面。 进一步地，它还应上升到一定的高度，让知识图案变得立体而丰满。具体数学另有一个双关的解释：连续与离散数学的混合（CONtinuous与disCRETE混合 成CONCRETE）。虽说计算机科学主要建立于离散数学之上，而本书又特别强调具体性和实用性， 但仍不可避免地涉及到更具抽象性和理论性的连续数学。原因无他，后者的层次更高。人们都有这个体会：一个难解的观点或问题往往在“更上一层楼”之后，立刻一目了然。 以数学为例，在引入代数方程后，算术应用题变得轻而易举；借助高等数学，许多初等数学中的难题 迎刃而解。《具》书中这类例子不胜枚举。如：用L'Hospital法则求极限、用导数或积分求和， 用Taylor级数展开生成函数（generating function）、估算近似值，等等。 令人印象最深的是，该书5.2节提出了8个级数问题，一道比一道难，读时目不转睛、屏气凝神，唯恐迷失。 直到后来提升到更一般的超几何级数（hypergeometric series），这才恍然大悟：原来 那些问题不过是些特例罢了。同样有启发性的是9.5节，在证明欧拉求和公式前，提供了一个非正式但 高层次的（high-level）推理。此外，出于严谨，在谈到为何书中经常忽略无穷级数的收敛性 时，用到了域（field）的概念。从抽象代数的高度来解释，自然言简意赅。细度除了宏观的深度、广度和高度外，微观的细度也是衡量书籍的一个标准。 一本书不应也不可能事无巨细，面面俱到，但一定要有足够的细节，以填补大多数读者的思维盲点。 令人稍感意外的是，《具》书的细度毫不逊色于深度。细首先体现在思虑周到、推理严谨。书中不断地在考察：分母是否为零？如何定义退化情形下的函数值？ 数列的负下标是否有意义？级数的收敛性如何？等等。程序员若有这份细致，就不会常犯逻辑混乱、 考虑欠周、忽略边界检查等编程错误了。如果说这些只是对数学专业书籍的基本要求，那么 在求得答案后还经常不厌其烦地用特殊值验证就不是那么常见了。这倒不是说数学工作者不如程序员 那么重视测试，而是他们通常不会将此过程写入书中。在分析和讲解问题时，本书可谓细致入微。许多细腻的数学小技巧是其他书中鲜有提及的，比如： 如何从特殊情形入手，逐步过渡到一般情形；如何猜测答案，又如何不通过猜测而获取答案； 如何调整级数的下标以利计算；如何通过变换逐步降低求和的难度，等等。不时还夹杂一些 忠告，如：计算效率不等于理解效率（efficiency of computation is not the same as efficiency of understanding）（译本中将efficiency译为“有效性”似有不妥，易被认为“效果”effectivity之效）， 这对那些为微小改进效率而牺牲代码可读性的程序员同样有警示作用。最能体现本书之细的是关于数学符号的选取和解释。例如，用k而非常见的i做数列下标，以避免 与虚数i混淆；解释用< >代表欧拉数（Eulerian number）、用上下横杠分别代表上下阶乘幂的合理性； 不吝用4个自然段来说明O记号中的等号；为追求表达式的合理性，不惜采用非标准的记法，如 从编程语言APL中引入[]记号、用\代替|作为整除符号、用⊥表示互素、用倒置而非前置的! （即¡）表示子阶乘（subfactorial，译本干脆译为倒阶乘）、采用简化的超几何函数符号、采用象形 的立方体、硬币、骰子、铺砖符号等。有人或会对本书如此讲究符号不以为然，那他一定低估了简洁直观、自然优美的符号对于数学的重大意义。 数学家兼哲学家怀特海（Whitehead）在《数学导论》中曾说：良好的数学符号能解除大脑多余的工作， 使之集中于更高级的问题，从而有效地提高了心智的力量。本书的作者之一Knuth显然赞同此点，这 从其所著的《Mathematical Writing》中便可看出。无论所编程语言的发明者还是使用者， 均应从中获得启示：良好的语法设计和变量命名有助于提高代码的可读性和编程的效率。本书在字体设计上也颇费心思，真正做到了从內在到外表处处展现数学之美。 考虑到Knuth是排版软件TeX的设计者，这也不足为奇。角度从不同的角度看待同一问题，通常会有不同解释方式和解决方式。一本时常切换角度的书，对读者 融会概念、贯通方法大有裨益。例如：《具》书对平方项求和问题，先后共计采用8种方法。在数学书中一题多解并不少见，少见的 是多处一题多解。作者常常在介绍一种新技巧后，并不急于解决新问题，而是用它回头更加漂亮地 解决前面早已解决的老问题，不经意地展现数学的和谐与自洽。宛如一个魔术师，不停地用熟练的、 令人眼花缭乱的手法，变换不同的视角，采用不同的形式，展现同样令人称绝的效果。实在以上从多个维度分析了《具》书的精彩之处，然其价值远不止此。最理想的专业教材， 应当既能呈现静态的知识体系和结构，又能重现动态的知识形成和发展。传统数学教材（尤其国内教材）大都按序遵循如下套路：引入概念和定义，提出定理并证明， 列举推论并证明，展示若干例题，布置一堆习题，转入下一章节循环以上过程。 难怪在很多人眼里，数学不过是由一些怪癖的天才们发明的一套冰冷干枯、机械无趣的逻辑系统。《具》书最可贵之处在于，它不仅显示数学的当前形态，而且反映其产生和发展的历史过程， 以便让读者感知鲜活真实的知识、掌握切实可行的方法。起源数学的最终表现通常是高度抽象化和形式化的，但其最初往往起源于具体的实际问题。 本书经常通过一些有趣而实用的问题让数学接上“地气”，既减少了数学的神秘感，也真实 反映了数学的起源。过程在提出问题后，本书一般并不直截了当地给出解法，而是针对不同问题采用不同策略： 或通过有针对性的变换逐步化繁为简；或从特殊情形入手，通过猜测和归纳来证明一般性结论； 或通过类比从已知结论中获得启示；或通过引进强大的工具解决问题； 或通过反复迭代逐步优化结论（如9.4节中介绍的bootstrapping技巧）。 如同名师做示范表演，既有连贯动作，又有分解动作，各种招式和套路都 交代得一清二楚。积累本书尤其强调数学知识库的积累和演进。如5.2节8道基本练习题难度递增，但由于读者在拾级而上 的过程中慢慢积累了经验和技巧，故而显得难度曲线并不那么陡峭。 书中一再从简单情形开始，逐步得出越来越强的结论，并尽可能泛化推广，再应用于特殊情形获得 新的结果，由此建立越来越完备的定理仓库和公式列表（类似软件工程中的迭代增量式开发）。 跟随此书一路学来，你会感到心中慢慢堆起了一座数学小山。试错在实际的数学发现中，单有直觉和洞察力是不够的，更多时候还得靠硬性的计算和反复的试错排除。 可惜绝大多数的教材都是“洁本”——抹去所有的失败痕迹，不见试错的过程或探索的途径，总是每击必中。 《具》书则不然，诸如wrong、fail、embarrassing、impass、lose、loss、mistake、error、deflating等 负面词汇比比皆是，毫不讳言失败，不仅真实再现了数学的探索过程，也告诉读者：不必耻于失败， 也不必因屡次碰壁而怀疑自己。很多时候，失败只是成功路上的一个必要的弯路。 比如，2.5节采用“扰动法”时，从起初的失败中运用类比推理获得正确的解法。 在5.2节的问题6中，作者甚至故卖破绽，给出了一个通过简单验证却仍错误的解法。系统性本书宗旨是培养读者的实际数学运算能力，因此虽不乏令人眼花缭乱的技巧（trick）， 但更着力的却是传授系统成套的技术（technique）（这从书中高频出现“系统”二字便可看出）。 例如：生成函数法、超几何级数法、Gosper算法、Zeilberger算法，等等。 这些方法不复杂难懂（intricate），不倚重人的洞察力（clairvoyance）或灵光一现 （sudden flash of inspiration），不靠聪明和运气（cleverness and luck）或猜测（guesswork）。 它们是系统的（systematic）和有指导性的（instructive），甚至是机械的 （mechanical）、算法的（algorithmical），乃至可用计算机代劳的。搞数学的喜欢聪明的方法，写程序的喜欢聪明的代码，但这种聪明往往缺少可靠性、 可理解性、可重复性和可推广性。有时需抑制这类聪明，谨记大巧若拙。无人会低估数学智慧和灵感的作用，那是所有数学知识的来源。 只是智慧多源自先天，灵感也可遇不可求，故本书着重后天通过训练可获得的系统性技术。不定性《具》书还原真实数学的另一表现是，让读者充分意识到数学发现的开放性和不定性。 传统的数学教材中往往证明题居多，而实际的数学研究会面对更多的不确定性。 比如，证明或否证一个结论比单纯的证明更困难，因为需要考虑两种不同的可能； 化简表达式也比证明一个等式更费劲，因为方向和目标均不确定。 更为棘手的问题是，找出使某一断言成立的充要条件。 最可怕也最接近真实数学研究的问题则是：给定一个集合，找出其元素所具有的有趣的性质。 按本书3.2节的标准，这属于最高级（第5级）数学问题，因为其最开放、不定性最大。练习《具》书中精彩绝妙的数学技巧层出不穷，令人叹为观止。但它显然不满足于让读者成为 数学魔术的欣赏者，更希望他们成为数学魔术的表演者。 因此，除了充满知识性和启发性的正文外，本书习题之丰富、解答之详尽也是罕见的。 从相对简单的热身题和基础题，到困难的作业题和考试题，乃至超难的附加题和研究题， 如同逐渐升温的熔炉，为读者淬炼越来越锋利的数学兵器。结语综上所述，对数学或计算机理论感兴趣者阅读《具》书，如入宝山而不至空返。 至于程序员，他们中的绝大多数在工作中并不涉及高深的数学知识，本书未必会对其编程有直接的帮助。 然而，只考虑工作需求而无自我追求的程序员绝不是好程序员。 研读此书不仅能增长数学知识，更能提高数学修养。要知道，一名程序员最大的价值， 不在于他对某些编程语言和工具的熟练运用，而在于拥有一个 冷静而清晰、 严谨而灵活、抽象而深刻的头脑。说到本书的翻译，虽非尽善尽美，但总体忠实原文，甚少生硬之处。 尤为难得的是，译者连原书中最难译的（有些还是德语、法语、拉丁语等非英语文字）非技术 性的幽默双关都给出了恰当的翻译和解释，其认真程度可见一斑。 故此，尽管提倡技术人员多看原版书籍，但至少读此译本是无伤大雅的。一直以来，人们只看到数学枯燥无味、艰深晦涩的一面（世上哪门学问又何尝不如此呢？）。 《具》书则揭示了数学生动有趣的另一面，同时也表明：数学不是少数天才们的专属游戏，只要 经过适当的训练，数学魔术人人皆会变。（此文发表于《程序员》2013年7月刊，发表时有删节） -
事情是这样的，以前读过算法导论，但是对于数学部分和证明部分，全部都跳过了，所以读起来倒是很轻松，但是总觉得缺点什么（缺了何止是一点）。后来就打算重读算法导论，就准备读具体数学作为前戏，碍于难度又拿离散数学及其应用作为具体数学的前戏来读。离散数学倒是很简单，我是说那本书简单，但是有些部分讲得还是比较晦涩，没有让人眼前一亮的感觉，就好像读CSAPP或是SICP那种让人拍案叫绝的感觉，并没有体现出来。后来再看了下具体数学这本书，跟离散数学相重合的部分，充满了各种精彩的论证，再一次找到了那种读名著的感觉。不愧是Knuth。
精彩短评 (总计47条)
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学校读书的时候看这个效果最好 -
只能看懂一半，再老点不知道能不能有机会读懂。。。 -
书是好书，不过书压的有点变形。 -
弃。 -
虽然我相信大多数“码农”都读过大学吧。那么对一些算法涉及的数学也就一定不陌生了。算法是每一个程序员必备的知识，而肤浅的懂得在特定语言上按理论实现，而不懂优化也就是专业与非专业的区别。那么优化过的代码自然而然你要提出一定的证明，在实践（数据）下还应该给与理论上的证明。那么证明的过程数学是必不可少的。如果你觉得《算法导论》是一本充斥着奇奇怪怪的符号，一大堆数学的天书。那么我推荐你看一看这本书（仅仅看《程序员的数学》是远远不够的）。具体数学指的是连续性数学和离散数学的集合体。在另外一本计算机数学的书《离散数学及其运用》则对于连续性数学类似极限等微积分初级概念避而不谈。其实这样导致很难理解某些概念。当然《离散数学及其运用》可能广度上胜于这本书。但是这也算狭而精吧。强烈推荐那些想重拾数学攻克算法背后的朋友使用。当然如果你在做和数学完全无关的行业，比如作家，音乐家什么的，就请绕道吧。这个真不适合你。 -
很棒的數學教科書。比國內某濟數學系的高數、線代、概率統計好了不知道多少倍。基本上能做到知識點由故事引出，至少看起來不那麼容易犯困。 -
计算机科学的神奇书籍 -
已购 -
还行，装订很不错，比淘宝好多了 -
东西很棒，价格有点高，不过掌握十分之一就赚回百倍了。有点难度，数学不太好的不介意直接选它。 -
从计算机角度思考问题：递归的简单的封闭形式。由于缺乏了极限的概念，导致了开始离散数学没有太多的工具，但是代数几何和代数学的出现这个现象改变了。差分和求和公式一定意义上的互逆类比连续里的导数和积分；第二个连续和离散的最大的关联是傅里叶级数（代数函数的无穷运算）； -
不得不说作者的数学思维太牛了。 -
高老头出品，必属精品 -
计算机数学各种奇技淫巧的超集 -
#沐雨斋悦读#借了中文版还是只看了第一章，我还是回头继续英文版吧…总之是愉悦不起来的一本书。越来越没精力看这种书了… -
一本教你探索的书 -
一本像副本一样的书，要刷不知道多少遍才能凑齐一套完整的『具体数学』史诗级神装，下回接着刷吧 -
系斯坦福大学同名课程讲义。习题都分好多种：热身题、作业题、考试题、附加题、研究题。 -
厂家发货很快，书的质量也很不错，就是比较贵。很希望厂家能够尽量地降低书的价格，特别是有关计算机方面的书和课本或者多搞促销活动降低书的价格。因为计算机方面的书真的很贵，作为学生的我们有点伤不起哩。。。呵呵 -
很不错的一本书，建议买原版。 -
P=NP?N=1,so P=NP. -
借用网友的话“写的漂亮” -
思路清晰，不会晦涩，不会跟某些教材一样翻来覆去看十多遍还看不懂。印刷还不错，书的尺寸有点反人类，特别宽。 -
书的质量还可以，感觉看这书得要有比较好的数学基础 -
权当知识补充，还是不错的 -
才看了一半，就已经森森折服了，检验智商的好书。。 -
很不错的 -
不愧是knuth的著作，相当棒 -
好书，不过有难度，尤其习题。 -
终于读完混凝土数学了！ -
看不太懂…… -
有几颗星都愿意全加上 -
集奇技淫巧之大成，但是体系太他妈混乱了，goto来goto去的。其实就是根本没有体系。 -
比大学中的高数书有用多了。 -
这本书没读完。但是很棒。 -
好书 非常好的书 -
一直以来认为图灵计算机科学丛书都是很经典，值得研究和收藏的书本。事实上和国内很多枯燥的教材是有很大区别的。印刷清晰，纸质很好。推荐给想在计算机领域有所造诣的人。 -
不做习题也还是看得很累，留着要用的时候再翻吧。看完才发现是高纳德的书，真心棒。 -
翻译的不怎么好。这里就是想讲一下，恳请亚马逊能够尊重一下消费者，把书的包装弄好一点。每次都是用个熟料袋子装，一点保护措施都没有，数到的时候。装订栏都有点开裂了，我也不想换，如果你们还是一直这样，就用个破包装袋子包装，以后就不在亚马逊买书了。我在你们这买的差不多，也有近千元的书了吧，每次都这样，书到时候，很多次都是褶皱的，这次更严重。 -
可以，实用，适用的一本。 -
很有帮助啊,我的性生活时间又延长了. -
反正读的很辛苦 有点像高中奥数 -
点到线，线到面，面到空间 -
高德纳的神书，中文版虽有很多瑕疵，但胜在阅读快，找茬也不难，就随意了 -
:TP301.6/4709 -
非常难。但对于自己的思维，是一个极好的训练。 -
的确是好书，不过最好得有一点数学功底。不要误会，这里不是指什么中考高考数学很高的人就有数学功底了，还是看点修点数学专业课再来看吧。