伽罗瓦理论

章节摘录

版权页：   插图：    史料记载，伽罗瓦“像读小说一样”很快读完勒让德（Adrien Marie Legendre，1752—1833）的《几何原理》并得其要领，而这本书是两年的教程。他向大师们学习，阅读了拉格朗日的论文集《论数值方程解法》和专著《解析函数论》。1828年伽罗瓦报考当时法国最著名的高校巴黎综合理工大学（Ecole Polytechnique），据说失败的原因是面试时解释不充分。次年他再次报考巴黎综合理工大学又告失败，据说因父亲不久前去世而变得没有耐心，口试中他认为考官的问题尤趣并与之发生争执。1830年初伽罗瓦只得进入声望较低的师范学院学习，它就是今天法国最著名的高校巴黎高等师范大学（EcoleNormale Sup6rieurel的前身。 1828年，17岁的伽罗瓦提交关于高次方程代数解的论文，法国科学院交柯西（Augustin Louis Cauchy，1789—1857）审理，柯西是当时法国科学院的首席数学家，其丰富的创造力少有人能比，作品数量仅次于欧拉[或许还有凯莱（Arthur Cayley，1821—1895）]。据说柯西未审论文便将稿件丢失。1830年，伽罗瓦再次呈交论文，但负责审理的法国科学院秘书傅里叶（Joseph Fourier，1768—1830）不久去世。

书籍目录

序言

前言

§0. 伽罗瓦理论概述

§1. 有限伽罗瓦扩张

1.1 伽罗瓦对应

1.2 阿廷引理 10

1.3 戴德金无关性引理 12

1.4 有限伽罗瓦扩张 14

习题 15

§2. 伽罗瓦理论基本定理 17

2.1 表述及意义 17

2.2 证明 19

2.3 注记与例子 21

2.4 代数基本定理 26

习题 27

§3. 伽罗瓦群的计算 29

3.1 伽罗瓦的原始思想 29

3.2 判别式 32

3.3 4 次方程 34

.3.4 纯粹方程 36

3.5 分圆域 38

3.6 素数次对称群 39

3.7 布饶尔的构造 40

习题 42

§4. 一般方程的伽罗瓦群 45

4.1 一般方程 45

4.2 伽罗瓦反问题 47

习题 49

§5. 方程根式可解的伽罗瓦大定理 51

5.1 历史背景及表述 51

5.2 充分性的证明 54

5.3 必要性的证明 55

5.4 3 次方程求根公式 57

5.5 4 次方程求根公式 59

习题 61

§6. 模 p 法 63

6.1 有理函数域 63

6.2 模 p 法 65

6.3 对称群 68

习题 70

§7. e 和 π 的超越性 71

7.1 林德曼–魏尔斯特拉斯定理 71

7.2 证明 73

7.3 公开问题 77

习题 77

§8. 尺规作图问题 79

8.1 几何定义与代数描述 79

8.2 三大古典难题 84

8.3 可构数的另一判定法 85

8.4 正 n 边形的尺规作图 86

习题 87

§9. 附录 i: 所需群和环中的结论 89

9.1 有限群中若干结论 89

9.2 有限阿贝尔群 93

9.3 可解群 94

9.4 对称多项式基本定理 95

9.5 唯一因子分解整环上的多项式环 97

9.6 中国剩余定理 98

§10. 附录 ii: 域论摘要 101

10.1 域扩张的基本概念 101

10.2 分裂域和同构延拓定理. 104

10.3 有限域 107

10.4 可分扩张和正规扩张 108

10.5 单位根与分圆多项式 111

10.6 狄利克雷素数定理的特例 115

参考文献 119

中英文名词索引 121

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《伽罗瓦理论:天才的激情》可作为高等学校数学类各专业的教材，也可供其他相关专业参考。

作者简介

这是一本专门讲述伽罗瓦理论的教材。内容包括伽罗瓦理论基本定理和多项式方程的根式可解性、伽罗瓦群的计算及其反问题，《伽罗瓦理论：天才的激情》强调通过伽罗瓦对应，可将代数数域中的问题转化成群论的问题加以解决。作为这种思想的应用，证明了代数基本定理，解决了e和的超越性及尺规作图的四大古代难题。为方便读者查阅，附录中详细梳理了所要用到的群、环、域方面的结论。每节配有充足的习题并包含提示。

《伽罗瓦理论：天才的激情》可作为高等学校数学类各专业的教材，也可供其他相关专业参考。

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