千年难题

章节摘录

　　第零章 挑战已经发出 求知欲是人类的本性之一。遗憾的是，已确立的各种宗教不 再提供令人满意的答案，这就转变成对确定性和真理的一种需求。这就是数学为什么而运作，为什么人们为之奉献终身。它是对真 理的渴望，是对驱动着数学家的数学之美妙和优雅的回应。——克莱（Landon Clay），克莱千年难题的赞助人 2000年5月24日，在巴黎法兰西学院（College de France）的演讲 大厅，世界著名的英国数学家阿蒂亚（Michael Atiyah）爵士和美国数学 家泰特（John Tate）宣布，对首先解决七个最困难的悬而未决的数学问 题中任何一个的人或团体将授予100万美元的奖金。他们说，这些问 题从此将被称为“千年难题”（Millennium Problems）。这700万美元的奖金——每个问题100万美元，解答在时间上没 有限制——是由一位富有的美国共同基金投资公司巨头和业余数学爱 好者克莱捐赠的。一年前，克莱就建立了克莱数学促进会（Clay Mathematics I titute，简称CMI），这是设在他的家乡马萨诸塞州剑桥 的一个非营利性组织，旨在促进和支持数学研究。CMI组织了巴黎会 议，并将掌管千年大奖的角逐。这七大难题是由一个国际知名数学家小组经过数月选出的。这个 小组由克莱促进会首任会长贾菲（Arthur’Jaffe）博士领导，其成员由 CMI的科学顾问委员会选定。贾菲曾任美国数学学会会长，现在是哈 佛大学的克莱数学教授。选题委员会一致认为选出的这七大难题是当 代数学中最重要的未解决问题。对此大多数数学家都会赞同。这些问 题位于数学主要领域的中心，全世界许多最优秀的数学家曾试图解决 它们，但都无功而返。拟订这个问题表的专家之一是怀尔斯（Andrew Wiles）爵士，费马 大定理这个有330年历史的难题没被选人的唯一理由显然是因为六年 前已被他解决了。其他的专家，除了贾菲之外，还有阿蒂亚和在巴黎作 了演讲的泰特，以及法国的孔涅（Alain Connes）和美国的威滕（Edward Witten）。很奇怪，克莱本人不是数学家。作为哈佛大学的本科生，他主修的 是英文。然而他在其母校资助设立了一个数学教席，接着创办了克莱 数学促进会（目前他的捐赠达到9000万美元）和现在的千年大奖。他 说之所以有这些创举，部分是因为他看到一个如此重要的学科，从公众 得到的资助却如此之少。通过提供一大笔奖金并邀请世界新闻界参加 宣布解题竞赛开始的会议，克莱确保这些千年难题——乃至整个数 学——会引起国际媒体的注意。但是为什么要到巴黎开会？答案是历史。正是在100年前的1900年，巴黎是一次类似事件的 发生地。起因是第二届国际数学家大会。8月8日，德国数学家希尔 伯特（David Hillbert）——数学领域中的一位国际领袖，应邀发表演讲，他在演讲中提出了一个20世纪数学的议程表。希尔伯特列举了他判 定为数学中意义最重大的23个未解决难题。它们随后被称为“希尔伯 特问题”，是指引数学家迈向未来的灯塔。希尔伯特陈述的问题中有少数几个比他预料的要容易，不久就被 解决了。还有几个问题太不准确而不能得到一个确定的答案。但是绝 大多数问题确实是十分困难的数学问题，这些“真正的”希尔伯特问题 中的任一个能得到解答将立即使解答者在数学界声誉鹊起，完全就像 获得诺贝尔奖一样意义重大。而且还有这样的好处：这些获得成功的 数学家能立刻享有他们（所有的解答者都是男性）成功带来的好处，而 不必等待数年之久——在数学界确认解答正确之时，荣誉同时到达。到2000年，所有真正的希尔伯特问题除了一个之外都已被解决，这 正是数学家再一次总结的适宜时间。哪些是第二个千年结束之时最有 价值的问题？哪些未解决问题是每个人都认为的数学之珠穆朗玛峰？巴黎会议部分地是对创造历史的一种尝试，但并非完全是。正如 怀尔斯指出的，在拟订千年难题表时CMI的目的与希尔伯特并不完全 相同。“希尔伯特试图用他的问题引导数学的发展，”怀尔斯说，“我们 则试图记载重大的未解决难题。在数学中有着一些大问题，它们很重 要，但很难从中孤立出单独的问题来在这张列表中占有一席之地。”换 句话说，千年难题不可能向你提供关于数学走向的思想。但是它们十 分精彩地简述了现今的前沿在何处。七大难题 那么千年难题是些什么问题？当今数学的状态使得它们没有一个 能在缺乏相当多背景知识的情况下被正确地描述出来。这就是为什么 你是在阅读一本书而不是一篇文章。但现在我至少能为你提供它们的 名称，并让你对它们有个初步印象。黎曼假设这是1900年希尔伯特列出的问题中唯一一个至今还 未解决的问题。全世界的数学家都认为这个关于一特定方程之可能解 的看上去晦涩难懂的问题，是数学中意义最重大的未解决难题。1859年，德国数学家黎曼（Bernhard。Riemann）试图回答数学中最 古老的问题之一：如果素数在全体计数数中的分布具有一定的模式，那么这个模式是什么？在这个过程中，他提出了这个假设。大约公元 前350年，著名的希腊数学家欧几里得（Euclid）证明了素数是无穷尽 的，即存在无穷多个素数。此外，由观察可知，当你向大整数方向行进 时，素数好像越来越“稀疏”、越来越少见了。但是你能说得比这更多些 吗？正如我们将在第一章中看到的，答案是肯定的。黎曼假设的证明 将加深我们对素数和对描述素数的方法的理解。它远远不只是满足数 学家的好奇心。此外，它在数学中的影响远远超过了素数的分布模式。它还将在物理学和现代通信技术中产生影响。杨一米尔斯理论和质量缺口假设数学发展的许多动力来自科学，特别是来自物理学。例如，由于物理学的需要，17世纪数学家牛顿 （Isaac Newton）和莱布尼茨（Gottfried Leibniz）发明了微积分。通过 为科学家提供了描述连续运动的一种数学上的精确方法，微积分彻底 改变了科学。虽然牛顿和莱布尼茨的方法奏效了，但人们大约花了 250年的时间才使微积分背后的数学得以严格地建立起来。今天，在 过去大约半个世纪以来发展起来的物理学的某些理论中，存在着类似 的情况。这第二道千年难题向数学家发出再次赶上物理学家的挑战。杨一米尔斯方程来自于量子物理学。大约50年之前，物理学家杨 振宁和米尔斯（Robert Mills）在描述除引力之外所有的自然力时建立 了这些方程。他们做了一项杰出的工作。来自这些方程的预测描述了 在世界各地实验室中观察到的粒子。虽然从实践的角度说杨一米尔斯 理论成功了，但它作为一个数学理论却还没有研究出来。在某种程度 上，这第二道千年难题是要求从公理开始，补上这个理论的数学发展。这种数学将必须符合一些在实验室中已被观察到的情况。特别是，它 将（在数学上）确定“质量缺口假设”，这涉及杨一米尔斯方程的假设存在 的解。这个假设已被大多数物理学家接受，它提供了电子为什么有质 量的一种解释。质量缺口假设的证明被看作对杨一米尔斯理论的数学 发展的一个极好的检验。它同时也使物理学家受益。他们都不能解释 电子为什么有质量；他们仅仅观察到它们有质量。P对NP问题这是唯一一个关于计算机的千年难题。许多人将 认为这一点很令人意外。“毕竟，”他们会问，“现在大多数数学问题不 都是在计算机上做的吗？”不，事实上不是。的确，绝大多数数值计算是 在计算机上完成的，但是，数值计算仅仅是数学的很小一部分，而不是 数学的主要部分。虽然电子计算机出自于数学——在20世纪30年代，首台计算机 建成之前数年，有关数学的最后部分被解决——但计算机领域迄今仅 仅产生了两个值得包含在世界最重大问题之中的数学问题。这两个问 题涉及的计算是作为概念上的过程而不是任何特殊的计算设备，然而 这不妨碍它们对真正的计算发挥重要的影响。希尔伯特把它们中的一 个作为第10个问题写在他的1900年列表上。这个问题在1970年被 解决，它要求证明某类方程不能由计算机解出。P1-5

内容概要

基思·德夫林（Keith Devlin，1947—）是美国加利福尼亚州莫拉加市圣玛丽学院科学系主任，斯坦福大学语言与信息研究中心高级研究员，美国科学院数学科学教育委员会委员，世界经济论坛成员，美国科学促进会成员，美国全国公共电台数学普及节目主持人。他是22本书的作者，其中包括《数字化的生命》（Life by the Numbers）、《数学：模式的科学》（Mathematics：The Science of Patterns）与《千年难题》（The Millennium Problems）等。

书籍目录

对本书的评价

内容提要

作者简介

序言

第零章 挑战已经发出

第一章 素数的音乐：黎曼假设

第二章 构成我们的是场：杨-米尔斯理论和质量缺口假设

第三章 当计算机无能为力的时候：P对NP问题

第四章 制造波动：纳维-斯托克斯方程

第五章 关于光滑行为的数学：庞加莱猜想

第六章 解不出方程也明白：伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想

第七章 没有图形的几何学：霍奇猜想

进一步的读物

作者简介

《千年难题(七个悬赏1000000美元的数学问题)》由基思·德夫林著，沈崇圣译。2000年，美国马萨诸塞州剑桥的克莱基金会发起了一场颇具历史意义的竞赛：任何能够解决七大数学难题之一的人，在专家认定其解答正确之后，都可以获得100万美元的奖金。之前也有过这样的先例：1900年，当时最伟大的数学家之一希尔伯特(David Hilbert)提出了23个问题(现被称作希尔伯特问题)，在很大程度上为20世纪的数学设定了议程。千年难题很可能获得同样的地位。对它们的解答(或者解答不出)将对21世纪的数学研究起到巨大的影响。这些问题涉及纯粹数学和应用数学中大多数最迷人的领域：从拓扑学和数论到粒子物理学、密码学、计算理论甚至飞机设计。著名的数学阐释者德夫林在《千年难题(七个悬赏1000000美元的数学问题)》中向我们讲了这七大难题的内容、由来以及它们对数学和科学的意义。

图书封面

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