普林斯顿微积分读本（修订版）

内容概要

阿德里安•班纳（Adrian Banner）

澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士，普里斯顿大学数学博士。2002年起任职于INTECH公司，现为INTECH公司首席执行官兼首席投资官。同时，他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。

书籍目录

第1章　函数、图像和直线　　1

1.1 函数　　1

1.1.1 区间表示法　　3

1.1.2 求定义域　　3

1.1.3 利用图像求值域　　4

1.1.4 垂线检验　　5

1.2 反函数　　6

1.2.1 水平线检验　　7

1.2.2 求反函数　　8

1.2.3 限制定义域　　8

1.2.4 反函数的反函数　　9

1.3 函数的复合　　10

1.4 奇函数和偶函数　　12

1.5 线性函数的图像　　14

1.6 常见函数及其图像　　16

第2章　三角学回顾　　21

2.1 基本知识　　21

2.2 扩展三角函数定义域　　23

2.2.1 ASTC 方法　　25

2.2.2 [0; 2π] 以外的三角函数　　27

2.3 三角函数的图像　　29

2.4 三角恒等式　　32

第3章　极限导论　　34

3.1 极限：基本思想　　34

3.2 左极限与右极限　　36

3.3 何时不存在极限　　37

3.4 在∞ 和-∞ 处的极限　　38

3.5 关于渐近线的两个常见误解　　41

3.6 三明治定理　　43

3.7 极限的基本类型小结　　45

第4章　求解多项式的极限问题　　47

4.1 x → a 时的有理函数的极限　　47

4.2 x → a 时的平方根的极限　　50

4.3 x → ∞ 时的有理函数的极限　　51

4.4 x → ∞ 时的多项式型函数的极限　　56

4.5 x → -∞ 时的有理函数的极限　　59

4.6 包含绝对值的函数的极限　　61

第5章　连续性和可导性　　63

5.1 连续性　　63

5.1.1 在一点处连续　　63

5.1.2 在一个区间上连续　　64

5.1.3 连续函数的一些例子　　65

5.1.4 介值定理　　67

5.1.5 一个更难的介值定理例子　　69

5.1.6 连续函数的最大值和最小值　　70

5.2 可导性　　71

5.2.1 平均速率　　72

5.2.2 位移和速度　　72

5.2.3 瞬时速度　　73

5.2.4 速度的图像阐释　　74

5.2.5 切线　　75

5.2.6 导函数　　77

5.2.7 作为极限比的导数　　78

5.2.8 线性函数的导数　　80

5.2.9 二阶导数和更高阶导数　　80

5.2.10 何时导数不存在　　81

5.2.11 可导性和连续性　　82

第6章　求解微分问题　　84

6.1 使用定义求导　　84

6.2 用更好的办法求导　　87

6.2.1 函数的常数倍　　88

6.2.2 函数和与函数差　　88

6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数　　88

6.2.4 通过商法则求商函数的导数　　90

6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数　　91

6.2.6 那个难以处理的例子　　94

6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由　　96

6.3 求切线方程　　98

6.4 速度和加速度　　99

6.5 导数伪装的极限　　101

6.6 分段函数的导数　　103

6.7 直接画出导函数的图像　　106

第7章　三角函数的极限和导数　　111

7.1 三角函数的极限　　111

7.1.1 小数的情况　　111

7.1.2 问题的求解——小数的情况　　113

7.1.3 大数的情况　　117

7.1.4 “其他的” 情况　　120

7.1.5 一个重要极限的证明　　121

7.2 三角函数的导数　　124

7.2.1 求三角函数导数的例子　　127

7.2.2 简谐运动　　128

7.2.3 一个有趣的函数　　129

第8章　隐函数求导和相关变化率　　132

8.1 隐函数求导　　132

8.1.1 技巧和例子　　133

8.1.2 隐函数求二阶导　　137

8.2 相关变化率　　138

8.2.1 一个简单的例子　　139

8.2.2 一个稍难的例子　　141

8.2.3 一个更难的例子　　142

8.2.4 一个非常难的例子　　144

第9章　指数函数和对数函数　　148

9.1 基础知识　　148

9.1.1 指数函数的回顾　　148

9.1.2 对数函数的回顾　　149

9.1.3 对数函数、指数函数及反函数　　150

9.1.4 对数法则　　151

9.2 e 的定义　　153

9.2.1 一个有关复利的问题　　153

9.2.2 问题的答案　　154

9.2.3 更多关于e 和对数函数的内容　　156

9.3 对数函数和指数函数求导　　158

9.4 求解指数函数或对数函数的极限　　161

9.4.1 涉及e 的定义的极限　　161

9.4.2 指数函数在0 附近的行为　　162

9.4.3 对数函数在1 附近的行为　　164

9.4.4 指数函数在∞ 或-∞ 附近的行为　　164

9.4.5 对数函数在∞附近的行为　　167

9.4.6 对数函数在0 附近的行为　　168

9.5 取对数求导法　　169

9.6 指数增长和指数衰变　　173

9.6.1 指数增长　　174

9.6.2 指数衰变　　176

9.7 双曲函数　　178

第10章　反函数和反三角函数　　181

10.1 导数和反函数　　181

10.1.1 使用导数证明反函数存在　　181

10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题　　182

10.1.3 求反函数的导数　　183

10.1.4 一个综合性例子　　185

10.2 反三角函数　　187

10.2.1 反正弦函数　　187

10.2.2 反余弦函数　　190

10.2.3 反正切函数　　192

10.2.4 反正割函数　　194

10.2.5 反余割函数和反余切函数　　195

10.2.6 计算反三角函数　　196

10.3 反双曲函数　　199

第11章　导数和图像　　202

11.1 函数的极值　　202

11.1.1 全局极值和局部极值　　202

11.1.2 极值定理　　203

11.1.3 求全局最大值和最小值　　204

11.2 罗尔定理　　206

11.3 中值定理　　209

11.4 二阶导数和图像　　212

11.5 对导数为零点的分类　　215

11.5.1 使用一次导数　　215

11.5.2 使用二阶导数　　217

第12章　绘制函数图像　　219

12.1 建立符号表格　　219

12.1.1 建立一阶导数的符号表格　　221

12.1.2 建立二阶导数的符号表格　　222

12.2 绘制函数图像的全面方法　　224

12.3 例题　　225

12.3.1 一个不使用导数的例子　　225

12.3.2 完整的方法：例一　　227

12.3.3 完整的方法：例二　　229

12.3.4 完整的方法：例三　　231

12.3.5 完整的方法：例四　　234

第13章　最优化和线性化　　239

13.1 最优化　　239

13.1.1 一个简单的最优化例子　　239

13.1.2 最优化问题：一般方法　　240

13.1.3 一个最优化的例子　　241

13.1.4 另一个最优化的例子　　242

13.1.5 在最优化问题中使用隐函数求导　　246

13.1.6 一个较难的最优化例子　　246

13.2 线性化　　249

13.2.1 线性化问题：一般方法　　251

13.2.2 微分　　252

13.2.3 线性化的总结和例子　　254

13.2.4 近似中的误差　　256

13.3 牛顿法　　258

第14章　洛必达法则及极限问题总结　　263

14.1 洛必达法则　　263

14.1.1 类型A：0/0 　　263

14.1.2 类型A：±∞/ ±∞ 　　266

14.1.3 类型B1: (∞－∞) 　　267

14.1.4 类型B2: (0 ×±∞) 　　269

14.1.5 类型C:

作者简介

本书阐述了求解微积分的技巧, 详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，旨在教会读者如何思考问题从而找到解题 所需的知识点, 着重训练大家自己解答问题的能力.

本书适用于大学低年级学生、高中高年级学生、想学习微积分的数学爱好者以及广大数 学教师. 本书既可作为教材、习题集, 也可作为学习指南, 同时还有利于教师备课.

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