出版社:李延林、 刘来福 北京师范大学出版社 (2013-01出版)
出版日期:2013-1
ISBN:9787303158119
页数:162页
章节摘录
版权页： 插图： 7.在某1000个人中有10个人患有一种病，现要通过验血把这10个病人查出来。若采用逐个人化验的方法需化验999次。（这里所需化验次数是指在最坏情况下的化验次数，如果碰巧，可能首先化验的10个人全是病人，10次化验就够了，下面讨论的化验次数均指最坏情况下的化验次数。） 为了减少化验次数，人们采用分组化验的办法，即把几个人的血样混在一起，先化验一次，若化验合格，则这几个人全部正常；若混合血样不合格，说明这几个人中有病人，再对它们重新化验（逐个化验，或再分成小组化验）。 试给出一种分组化验方法使其化验次数尽可能地小，不超过100次。 法1要求不超过100次化验检验出10个病人相当于不超过10次化验检验出1个病人，分组化验时病人肯定处于阳性组内，应该将注意力集中于发现阳性组中的病人，为了以较少的化验次数查出病人，我们希望每次化验都能发现一个阳性组。对于发现的阳性组不断的再细分成小组继续化验直到查出病人，如果发现阴性组，全组的成员不再继续参与化验。 实验 符合上述条件且比较简单的方法是对分法，即每次在阳性组中化验一半病人。显然，1000人的全体肯定是阳性组，从中分出500人进行化验，只需一次化验就可以发现一个阳性组，再分出一半250人继续化验，又可以查出一个阳性组，一直下去可以得到由此可见，使用10次化验就肯定可以查出一个病人，也就是说，使用对分法通过100次化验肯定可以查出这10个病人来。 讨论 问题虽然解决了，但仔细观察发现这种方法的化验次数还有潜力可挖，因为当阳性组的人数为63时，再做6次化验就可查出病人。其实，使用6次化验可以从64个人的阳性组中查出病人来，那么，用对分法通过7次化验可以从l28人的阳性组中查出一个病人，通过8次化验可以从256人的阳性组中查出一个病人，通过9次化验可以从512人的阳性组中查出一个病人，通过10次化验可以从1024人的阳性组中查出一个病人，注意到：64，128，256，512，1024又可以改写为26，27，28，29，218.一般的规律是：一个有24个人的阳性组只需要化验k次就可以查出一个病人。 探索 为了进一步减少化验的次数，我们设计每次从阳性组的人中化验n=24个人，如果这个小组化验的结果为阳性，则继续使用上述的对分法化验k次就可以查出一个病人。这时一共化验了k+1次。如果这个小组化验的结果为阴性，则这个组的成员将被排除在外，不再参与继续的化验。这时在剩余的成员中再化验n个人，直到将病人全部检出，这里不妨称这个方法为二分法。
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《高中数学奥林匹克教程:北京高中数学知识应用竞赛赛题解析(1997-2012)》收录了15届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题解析，试题特点为：题目鲜活：来源于生活实际，原汁原味，较少认为编纂；命题开放：另类数学应用题，条件并非可丁可卯，答案不再唯一确定；思维创新：问题立意新颖，密切联系生活，倡导创新思维；解题灵活：不受题型约束，解题方法灵活。
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