量子力学衍义

章节摘录

第1章品味量子力学 孔子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。”初次学习“量子力学”课程，许多人都感觉“只见树木，不见森林”，并认为量子效应很遥远，仅在高精尖实验室才有可能观测到那些细微的效应。这是“学而不思”或“学而少思”所导致的“罔”。与经典力学的直观性不同，量子力学引入了物质波、力学量算符等概念，导致实物粒子运动无轨迹、能量角动量量子化等现象。这些看似“玄”的概念，使初学者不能对量子运动进行直观比喻和分析，难以在思想上形成简单的理论构架，以致离开量子力学教材便觉得一片茫然。虽然，聪明的学生可以处理各种量子力学习题，但却对实际的量子问题感到无从下手，更难于提出量子问题，至于品味量子力学背后的物理，即猜听弦外之音，更是凤毛麟角了。长此以往，学习量子力学便成了一件苦差事，传言“量子力学量力学”，有不少人甚至把“高等量子力学”归属于“天书”之类。 事实上，量子效应就在我们身边，你所面对的这本书就可被描述为一个量子的全同粒子体系，量子效应将导致其褪色；在普通实验室进行的光谱测量、激光与原子分子的相互作用，都涉及显著的量子效应，必须采用量子力学描写电子的运动才能得到与实验观测相吻合的结果。只要经常思考量子力学与经典力学的异同及其与日常经验和现代技术的联系，就能深入理解量子理论。还应注意到，量子力学(特别是高等量子力学)属于理论物理学范畴，而理论物理学之简单明了与博大精深，足以使领悟者如“子在齐闻韶，三月不知肉味”①。因此，欲赏析量子力学，品味其中奥妙，建立明晰构架，还需了解理论物理学的基本特征与辉煌成果。 1.1 经典力学与量子力学 量子力学的特征似乎可用“玄、妙、难”三个字概括。所谓“玄”，即力学量代之以算符，系统状态付之于波函数，而实验人员只能观测到系统“允许”的本征值等。无论你能否接受这些“玄”念，人们已经用量子力学打开了微观世界和反物质世界的大门，并且正在预言着即将被实验所验证的奇妙现象或奇异存在，①杨伯峻. 2006.论语译注. 北京：中华书局。 量 子 力 学 故可谓“妙”。相对于牛顿力学，量子力学所涉及的数学是复杂了一些，但还称不上难。“难”的根源主要在于没有理解量子理论框架，不知数学推演的目标，因此便没有演算的动机，也就不去实践数学推演。事实上，相对于逻辑思辨，物理学中涉及的数学推演要轻松多了，因为它是“机械化”式的流水逻辑，只要你动手做就行了。所以只要究其“玄”，观其“妙”，“难”就不在话下了。 【题外之言】“玄妙”并不仅仅限于现代物理学，它是一种普遍的文化现象。 在中华传统文化中的“玄”念有：“阴、阳”，“经、络”，前者无测度意义，后者无解剖实体，然而在“阴、阳”基础上形成了《周易》逻辑，以“经、络”为线索发展了中医学说。有人说与西方医学相比较，中医没什么作用。然而，在20世纪之前，中华民族只依靠中医祛病延年，汉族人平均寿命并不短于西方民族而且保持了人口最多的世界纪录。事实上，中医理论与中华传统文化血肉交融， 而在中华传统文化中还有许多玄妙现象。传说三国时期，在武昌矶头山修炼的道士费，驾一只黄鹤西去未归，从此道士曾栖身的楼阁便成了人们心目中的黄鹤楼，有“楼兴则国兴”之说。历史上的黄鹤楼几经战火焚毁，几经国人重建。当下迁址重建的黄鹤楼，拥有其历史上最大的建筑规模。唐代中期的诗人崔颢曾写道： 昔人已乘黄鹤去，此地空余黄鹤楼。黄鹤一去不复返，白云千载空悠悠。晴川历历汉阳树，芳草萋萋鹦鹉洲。日暮乡关何处是？烟波江上使人愁。 此诗的情绪一路直下，似乎照应了国运从盛唐一直衰落到八国联军踏破国门的晚清。耐人寻味的是，自盛唐至清末这长达一千多年的时间里，没有其他著名诗人以黄鹤楼为题言情话志。据说，李白当年登黄鹤楼正欲提笔时，看到了崔颢一诗，自叹道：“眼前有景道不得，崔颢题诗在上头”。1927 年毛泽东主席在黄鹤楼上填写了《菩萨蛮•黄鹤楼》： 茫茫九派流中国，沉沉一线穿南北。烟雨莽苍苍，龟蛇锁大江。黄鹤知何去？剩有游人处。把酒酹滔滔，心潮逐浪高！ 似乎正是词中汹涌澎湃的波涛卷起了从此以后的民族大革命风暴。真可谓： 黄鹤已去空余楼，崔颢一诗千年愁。李仙兴叹不能书，只缘有诗在上头。毛君挥毫黄鹤楼*，茫茫九派泛神州。东方红日照江山，巨龙腾飞争风流。 科学用逻辑推理，诗词寄情景联想，是两种不同的思维通道，科学文化与诗歌文化相互贯通、相互影响。玻尔曾写道：“在说到原子时，语言只能像在诗中那样运用。诗人也是那样，不太关心描述事实，更关心的是创造形象。”当今最活跃的世界数学大师、哈佛大学的丘成桐教授，虽昼夜埋头于数学研究，而吟风弄诗仍是他日常生活的一部分，隔三差五，他便把诗词新作与学生们一起分享。2010年底，他在北京的一次演讲中，谈《诗经》、《楚辞》，咏诗词歌赋，评古今名流，论中外典籍，信手拈来，侃侃而谈，俨然一位文学大家。事实上，音乐也是无言的诗歌，谁敢说爱因斯坦演奏小提琴对其科学发现没有促进作用？世界很玄妙，也正因为如此玄妙，才富有诱人的魅力。如果所有物体的运动都像摆钟那样的简单往复，你不觉得枯燥无味吗？【言归正传】 1.1.1 方法与任务 我们都深信牛顿三定律的正确性，那么当把牛顿第二定律应用于你手中的笔杆时它成立吗？否。你把质量为10g 的钢笔抛向空中，沿水平方向给笔杆一端A 施加1N 的力，这时测量A 端的水平加速度，它肯定大于由牛顿第二定律所得之值(100m/s2)。要记住，F. = ma . 仅对质点成立。所谓质点，是一个有质量而无体积的“玄”念，它是牛顿“发明”的与日常经验相悖的“怪物”。而正是这个“玄”念，使牛顿能够描写行星最微妙的运动，能够解答他那个时代全部的科学之谜。经典力学将一个宏观物理客体视为由若干( N)个质点组成的体系S，对该体系的描写方法是确定每一个质点的位置矢量r. i和相应的速度v. i ( i=1,2,.,N), 由此便可得到体系的能量、动量、角动量等所有的力学性质。对于同一体系S也有3 另外的完全不同的描写方法，如热力学方法只描写体系的压强、体积和温度等物第 1 理量。相对于经典力学的描写，热力学方法涉及的变量数少了很多，不包含微观章 结构层次的信息，但对宏观物理体系却能够方便地给出大量有用信息。例如，利用熵增原理或自由能判据可推知体系应向生成某种物质A 的方向发展，虽然从化品 学反应通道来看，生成其他物质B、C 等也是可能的。……

书籍目录

序第1章 品味量子力学1.1 经典力学与量子力学1.1.1 方法与任务1.1.2 自由电子如何飞翔？1.1.3 单摆振动有周期吗？1.1.4 激光束中的氢原子1.1.5 孪生子感应1.1.6 量子革命运动1.2 理论物理的基本特征1.2.1 相对论的诞生1.2.2 逻辑圈技术1.2.3 道与物质波1.3 映像的科学意义1.3.1 自然映像1.3.2 数理映像1.3.3 物理体系的状态1.4 弦外之音1.4.1 观测与存在1.4.2 偶然性与必然性1.4.3 超时空量子相关1.5 本章没有结尾附录第2章 量子力学基本构架2.1 1906年可以发生的故事2.2 相关的数学知识2.2.1 由现实到虚幻2.2.2 集合的基本概念2.2.3 抽象空间2.2.4 算符2.2.5 表象理论2.2.6 位置表象2.2.7 向量空间的直和与直积2.3 继续1906年的故事2.4 量子力学基本原理2.5 量子力学绘景2.5.1 绘景2.5.2 时间演化算符2.5.3 绘景变换2.6 密度矩阵理论2.6.1 问题的提出2.6.2 密度算符和矩阵2.6.3 性质及意义2.6.4 约化密度矩阵2.7 波包与相干态2.7.1 自由粒子波包2.7.2 谐振子波包2.7.3 相干态2.8 量子力学简单应用2.8.1 简谐振子模型2.8.2 制备激发态原子2.8.3 一种非厄米哈密顿算符2.8.4 解读光谱“密码”第3章 相对论性量子力学3.1 狭义相对论的数学构架3.1.1 任意坐标系3.1.2 坐标变换及张量3.1.3 度规张量3.1.4 狭义相对论原理与闵可夫斯基四维时空3.1.5 洛伦兹变换3.1.6 四维速度与四维动量3.2 克莱因-戈尔登方程3.2.1 薛定谔方程的得出及其缺陷3.2.2 克莱因-戈尔登方程3.3 狄拉克方程3.3.1 方程的建立3.3.2 方程的协变形式3.3.3 力学量随时间的变化3.3.4 自由粒子的角动量3.3.5 负能问题3.4 电磁场中的电子3.4.1 运动方程（CGS单位制）3.4.2 泡利方程3.4.3 等效哈密顿量3.4.4 历史上的两个“2”因子3.5 氢原子光谱的精细结构3.5.1 哈密顿久期方程（CGS单位制）3.5.2 中心力场中的守恒量3.5.3 J2、Jz、K的共同本征态3.5.4 H、J2、Jz、K的共同本征态3.5.5 能谱结构3.6 量子霍尔效应3.6.1 霍尔效应简介3.6.2 量子理论模型3.7 克莱因佯谬3.7.1 崂山道士能穿壁吗?3.7.2 刚性壁里有“鬼”3.7.3 谁是谁非3.8 重新诠释克莱因-戈尔登方程3.8.1 诠释3.8.2 汤川秀树与π介子3.9 结语第4章 路径积分4.1 让思想飞翔4.2 传播函数与格林函数4.3 传播函数的路径积分表达4.4 多自由度传播函数4.5 传播函数的特征及计算4.5.1 自由粒子的传播函数4.5.2 传播函数的特征4.5.3 谐振子的传播函数4.6 路径积分与量子统计4.7 简单应用举例4.7.1 求解本征值问题4.7.2 描写体系的演化4.7.3 阿哈拉诺夫-博姆效应第5章 二次量子化方法5.1 全同粒子体系5.1.1 体系波函数基矢5.1.2 粒子数表象5.2 玻色子系统5.2.1 产生、湮没算符5.2.2 空间点ξ处的产生、湮没算符5.2.3 表象变换5.2.4 力学量的表达5.3 费米子系统5.4 二次量子化主要结果5.5 “二次量子化”的意义5.5.1 二次量子化5.5.2 体系演化图景5.6 应用5.6.1 多体体系的一级微扰5.6.2 固体中的电子第6章 量子场理论6.1 经典场论简介6.1.1 粒子与场6.1.2 质点组运动方程6.1.3 场运动方程6.1.4 诺伊特定理6.1.5 诺伊特定理推论6.2 正则量子化方法6.3 薛定谔场量子化6.4 标量场的量子化6.4.1 实标量场6.4.2 复标量场6.4.3 规范场变换及诺伊特荷6.5 狄拉克场量子化6.5.1 经典描述6.5.2 量子化6.6 结语第7章 电磁场的量子效应7.1 经典电磁场理论7.2 正则量子化（洛伦兹规范）7.2.1 拉氏密度的构造7.2.2 光子及其特性7.3 正则量子化（库仑规范）7.4 常见量子化形式7.5 量子效应7.5.1 真空涨落与卡西米尔力7.5.2 兰姆位移7.6 量子电磁场中的电子——量子电动力学基本架构7.7 量子电磁场中的原子分子7.7.1 各种理论模型7.7.2 全量子理论7.7.3 两能级与单模场作用7.7.4 自发辐射和受激跃迁7.7.5 拉比振荡7.8 结语第8章 量子散射理论8.1 散射及意义8.2 模型8.2.1 实验模型8.2.2 理论模型8.3 定态形式理论8.3.1 形式解8.3.2 坐标表象展开8.4 定态形式理论的应用8.4.1 势散射8.4.2 复合粒子散射8.5 含时形式理论8.5.1 含时格林算符8.5.2 散射矩阵方法致谢

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《量子力学衍义》可用作物理类高年级本科生或研究生的“高等量子力学”课程的教材或参考书，也可作为数学、化学、材料和生物等专业研究生的教学参考书。

作者简介

《量子力学衍义》首先论述了量子力学的理论构架，包括主要目标、基本方法及与经典力学之异同，并以普通实验室能够实现的实验观测为例，阐明量子效应的普遍意义以及应用量子力学的必要性。在此基础上依次介绍密度矩阵、相对论性波动方程、路径积分、二次量子化方法、量子场理论、电磁场的量子效应和量子散射理论。其中的量子场理论部分，主要讲述正则量子化的基本思想和方法；而电磁场的量子效应一章，除论述电磁场的正则量子化之外，还给出了量子电磁场与电子场相互作用的基本理论构架及处理具体问题的方法，它是量子电动力学和量子光学的基础。

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